§2 方阵的特征值与特征向量

(lEn)An = An (lEn) = lAn ． 引言 纯量阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即 (lEn)An = An (lEn) = lAn ． 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB ≠ BA ． 数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即 l (AB) = (lA)B = A(lB)． Ax = l x ? 例：

一、基本概念 定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量． 例： 则 l = 1 为 的特征值， 为对应于l = 1 的特征向量.

一、基本概念 定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量． Ax = l x = lE x 非零向量 x 满足 (A−lE) x = 0（零向量） 齐次线性方程组有非零解 系数行列式 | A−lE | = 0

特征方程 特征多项式 特征方程 | A−lE | = 0 特征多项式 | A−lE |

二、基本性质 在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算）． 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann l1 l2 … ln = |A|

例：求矩阵 的特征值和特征向量． 解：A 的特征多项式为 所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l1 = 2 时， 对应的特征向量应满足 ，即 解得基础解系 ． k p1（k ≠ 0）就是对应的特征向量．

例：求矩阵 的特征值和特征向量． 解：A 的特征多项式为 所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l2 = 4 时， 对应的特征向量应满足 ，即 解得基础解系 ． k p2（k ≠ 0）就是对应的特征向量．

例：求矩阵 的特征值和特征向量． 解： 所以 A 的特征值为 l1 = −1，l2 = l3 = 2 ．

例：求矩阵 的特征值和特征向量． 解（续）：当 l1 = −1 时，因为 解方程组 (A + E) x = 0． 解得基础解系 ． k p1（k ≠ 0）就是对应的特征向量．

例：求矩阵 的特征值和特征向量． 解（续）：当 l2 = l3 = 2 时，因为 解方程组 (A−2E) x = 0． 解得基础解系 ． k2 p2 + k3 p3 （k2 , k3 不同时为零）就是对应的特征向量．

二、基本性质 在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算）． 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann l1 l2 … ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系 就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组．

例：设 l 是方阵 A 的特征值，证明 (1) l2 是 A2 的特征值； (2) 当 A 可逆时，1/l 是 A−1 的特征值． 结论：若非零向量 p 是 A 对应于特征值 l 的特征向量，则 l2 是 A2 的特征值，对应的特征向量也是 p ． lk 是 Ak 的特征值，对应的特征向量也是 p ． 当 A 可逆时，1/l 是 A−1 的特征值，对应的特征向量仍然是 p ．

二、基本性质 在复数范围内 n 阶矩阵 A 有n 个特征值（重根按重数计算）． 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann l1 l2 … ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系 就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组． 若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + … + am l m 是矩阵多项式 j (A) = a0 + a1 A + … + am A m 的特征值．

例：设3 阶方阵 A 的特征值为1, −1, 2，求 A* +3A−2E 的特征值． 解： A* +3A−2E = |A| A−1 +3A−2E = −2A−1 +3A−2E = j (A) 其中|A| = 1×(−1) ×2 = −2 ． 设 l 是 A 的一个特征值， p 是对应的特征向量．令 则

定理：设 l1, l2, …, lm 是方阵 A 的特征值， p1, p2, …, pm 依 例：设 l1 和 l2 是方阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征 向量依次为 p1 和 p2， 证明 p1 + p2不是 A 的特征向量．