金融工程 第十章 期权的回报与价格分析

2019/5/26 目录 期权的回报与盈亏分布 期权价格的基本特性 美式期权的提前执行 期权价格曲线 看涨看跌期权平价关系

2019/5/26 目录 期权的回报与盈亏分布（自学） 期权价格的基本特性 美式期权的提前执行 期权价格曲线 看涨看跌期权平价关系

看涨期权多头的回报与盈亏分布

看涨期权空头的回报与盈亏分布

看跌期权多头的回报与盈亏分布

看跌期权空头的回报与盈亏分布

欧式期权到期回报和盈亏公式

2019/5/26 目录 期权的回报与盈亏分布 期权价格的基本特性 美式期权的提前执行 期权价格曲线 看涨看跌期权平价关系

如何定义平值点？

平值点的作用 计算内在价值 计算BS隐含波动率 计算隐含波动率指数（VIX） 识别期权套利空间

平值点的常见定义 常见定义 X=S，如𝐻𝑢𝑙𝑙 2015 、 Neftci（2009）、上交所、万得资讯等 缺点 平值看涨与看跌期权价格不等 2019/5/26 平值点的常见定义 常见定义 X=S，如𝐻𝑢𝑙𝑙 2015 、 Neftci（2009）、上交所、万得资讯等 缺点 平值看涨与看跌期权价格不等 期权时间价值可能为负 平值点的时间价值不是最大 没有区分美式与欧式期权 没有考虑卖空受限市场的特殊情况

差别多大？ 2015年9月2日，上证50股指期货行情如下 如果按两种平值点计算方法的平值点最多相差20%以上！ 2015.9.2 2015年9月2日，上证50股指期货行情如下 如果按两种平值点计算方法的平值点最多相差20%以上！ 当天S=2.188，按常见定义平价点，平价点为2.20 而按我们的定义，平价点分别为9月2.00,10月1.85,12月 1.80,3月1.75

新定义的特点 它是自然定义，而不是人为定义 美式期权的平值点不同，可以解释美式平值期权价格不相 等的问题 区分完美市场与不完美市场两种不同的情形 提出上证50EFT期权的适用公式

新定义的优点 可以保证期权的时间价格不会小于0 所有期权价格的下限就是其内在价值 期权的时间价值都在平值点最大 同样期限的欧式平值看涨期权价格等于看跌期权价格 平值期权定价公式可以简化为： 𝑐 𝑆 = 𝑝 𝑆 ≈0.4𝜎 𝑇−𝑡 同样期限同样行权价欧式看涨和看跌期权的时间价值相等 可以解释美式平值看涨与看跌期权价格不同的问题：平值 点不同

内在价值与时间价值 两分法：期权价格（价值） = 内在价值 + 时间价值 期权的时间价值是在期权尚未到期时，标的资产价格 的波动为期权多头带来收益的可能性所隐含的价值（ 即：波动带来的价值）。由于权利和义务不对称，期 权时间价值应该大于0 。 期权的内在价值是在标的资产价格没有波动的情况下 期权条款赋予期权多头的最高价值。由于期权多头只 有权力没有义务，期权的内在价值也应该大于0 。 时间价值会受内在价值的影响，但内在价值不受时间 价值的影响。所以可以使用两分法。

欧式看涨期权的内在价值 在红利已知情况下，无论是美式还是欧式，期权的内在价 值是确定的和可计算的。 如果不考虑时间价值，欧式看涨期权合约与远期合约多头 的唯一区别就是前者只有权力没有义务。因此，看涨期权 内在价值就是 max 𝑓 𝑡,𝑇 ,0 = max 𝐹 𝑡,𝑇 −𝑋 𝑒 −𝑟 𝑇−𝑡 ,0 1 注：这里的f为远期合约的市场价值，F为市场远期价格。 在完美市场中，利用远期价格和现货价格的关系，看涨期 权内在价值也可表示为： 无收益资产：max⁡ 𝑆−𝑋 𝑒 −𝑟 𝑇−𝑡 ,0 2 有收益资产：max⁡ 𝑆−𝐼 −𝑋 𝑒 −𝑟 𝑇−𝑡 ,0 3

欧式看跌期权的内在价值 如果不考虑时间价值，欧式看跌期权合约与远期合约空头 的唯一区别就是前者只有权力没有义务。因此，看跌期权 内在价值就是 max −𝑓 𝑡,𝑇 ,0 = max 𝑋−𝐹 𝑡,𝑇 𝑒 −𝑟 𝑇−𝑡 ,0 4 在完美市场中，利用远期价格和现货价格的关系，看涨期 权内在价值也可表示为： 无收益资产：max⁡ 𝑋 𝑒 −𝑟 𝑇−𝑡 −𝑆,0 5 有收益资产：max⁡ 𝑋 𝑒 −𝑟 𝑇−𝑡 − 𝑆−𝐼 ,0 6

上证50ETF期权的内在价值 由于上证50ETF期权有红利保护机制，而且中国有卖空限 制（不完美市场），因此虽然其标的资产是有收益资产， 但其内在价值只能用如下公式计算： 认购期权的内在价值 max 𝐹 𝑡,𝑇 −𝑋 𝑒 −𝑟 𝑇−𝑡 +𝐼,0 7 认沽期权的内在价值 max 𝑋− 𝐹 𝑡,𝑇 𝑒 −𝑟 𝑇−𝑡 −𝐼,0 8

无收益资产美式看涨期权的内在价值 美式期权多头由于可以随时行权，而且多头会选择在最有 利的时点行权。因此，美式看涨期权可以看做是以所有可 能行权日为到期日的一系列欧式期权中价格最高者。该美 式看涨期权的内在价值也就是这些欧式期权中的最高内在 价值。 在完美市场中，由于 𝐹 𝑡,𝜏 −𝑋 𝑒 −𝑟 𝜏−𝑡 是行权日（𝜏） 的递增函数，可以发现不提前行权时无收益资产美式看涨 期权内在价值是最大的，因此无收益资产美式看涨期权的 内在价值与欧式期权是一样的。 在不完美市场中，则只能用如下公式 max 𝑓 𝑡, 𝜏 𝑖 ,0 = max 𝐹 𝑡, 𝜏 𝑖 −𝑋 𝑒 − 𝑟 𝜏 𝑖 𝜏 𝑖 −𝑡 ,0 9

无收益资产美式看跌期权的内在价值 美式看跌期权可以看做是以所有可能行权日为到期日的一 系列欧式期权中价格最高者。该美式看跌期权的内在价值 也就是这些欧式期权中的最高内在价值。 同理，在完美市场中，由于 𝑋−𝐹 𝑡,𝜏 𝑒 −𝑟 𝜏−𝑡 是行权日（ 𝜏）的递减函数，可以发现立即行权时无收益资产美式看跌 期权内在价值是最大的，因此无收益资产美式看跌期权的 内在价值为： max⁡ 𝑋−𝑆,0 10 在不完美市场中，则只能用如下公式 max −𝑓 𝑡, 𝜏 𝑖 ,0 max 𝑋−𝐹 𝑡, 𝜏 𝑖 𝑒 − 𝑟 𝜏 𝑖 𝜏 𝑖 −𝑡 ,0 11

有收益资产美式看涨期权的内在价值 在不完美市场中，则只能用公式（9） 以只派发一次红利为例，我们可以将期权有效期以股权登记日 （𝜏）为界分为两段。在这两段时间中，标的资产都可视为无收 益资产。按照前面的分析，在完美市场中，其内在价值为： max 𝐹 𝑡,𝜏 −𝑋 𝑒 − 𝑟 𝜏 𝜏−𝑡 , 𝐹 𝑡,𝑇 −𝑋 𝑒 − 𝑟 𝑇 𝑇−𝑡 ,0 12 或者写成： max 𝑆−𝑋 𝑒 − 𝑟 𝜏 𝜏−𝑡 ,𝑆−𝐼−𝑋 𝑒 − 𝑟 𝑇 𝑇−𝑡 ,0 𝟏𝟑 在不完美市场中，则只能用公式（9）

有收益资产美式看跌期权的内在价值 在不完美市场中，则只能用公式（11） 以只派发一次红利为例，我们可以将期权有效期以除权日（𝜏） 为界分为两段。在这两段时间中，标的资产都可视为无收益资 产。按照前面的分析，在完美市场中，其内在价值为： max 𝑋−𝑆, 𝑋−𝐹 𝑡,𝜏 𝑒 − 𝑟 𝜏 𝜏−𝑡 ,0 14 或者写成： max 𝑋−𝑆,𝑋 𝑒 − 𝑟 𝜏 𝜏−𝑡 − 𝑆−𝐼 ,0 𝟏𝟓 在不完美市场中，则只能用公式（11）

实值期权、平值期权与虚值期权 根据行权价的高低，期权可以分为： 实值期权（In the Money） 虚值期权（Out of the Money） 平值期权（At the Money） 平值点就是使得期权由实值变为虚值的行权价格。

平值点

如何确定远期价格 如果没有远期市场，可以用同期限的期货价格 近似替代。 但中国的股指期货到期日为第3个周五，而 50ETF期权到期日为第4个周四。 解决方法 插值 用PCP平价推导出隐含的远期价格

如何用PCP倒推出隐含的远期价格 50ETF每年都会分红，属于有收益资产。但由 于上交所的50ETF期权有红利保护，因此只能 视同无收益资产。其PCP为 c+X 𝑒 −𝑟 𝑇−𝑡 =𝑝+𝐹 𝑒 −𝑟 𝑇−𝑡 +𝐼 选择流动性好的接近平价的X，用上述算出F

如何用PCP倒推出隐含的S 由于上交所的50ETF期权有红利保护，因此 只能视同无收益资产。其PCP为 c+X 𝑒 −𝑟 𝑇−𝑡 =𝑝+𝑆 选择c和p价格最接近的X，用上述算出隐含 的S。

在值程度（moneyness） 与实值期权和虚值期权密切相关的概念是期权的在值 程度。 欧式看涨期权的在值程度可以表示为ln 𝐹 𝑡,𝑇 𝑋 正值表示实值期权，负值表示虚值期权，0表示平值 期权。 也常常统一表示为ln 𝑋 𝐹 𝑡,𝑇

期权时间价值与内在价值的关系 0 在值程度 时间价值

案例 ：内在价值与时间价值 A 股票（无红利）的市价为 9.05 元，A 股票的 两种欧式看涨期权的执行价格分别为 10 元和 8 元，有效期均为 1 年，1 年期无风险利率为 10%（连续复利）。这两种期权的内在价值分 别为 期权 1 处于平值点，而期权 2 是实值期权。哪 一种期权的时间价值高呢？

假设这两种期权的时间价值相等，都等于 2 元，则期权 1 的价格为 2 元，期权 2 的价格为 3 假设这两种期权的时间价值相等，都等于 2 元，则期权 1 的价格为 2 元，期权 2 的价格为 3.81 元。如果让读者从中 挑一种期权，你们愿意挑哪一种呢？为了比较这两种期权 ，假定 1 年后出现如下三种情况： 情况一： ST ≥ 10 元。则期权 1 获利 期权 2 获利 期权 1 获利等于期权 2 。

情况二： 元。则期权 1 亏 元，而期 权 2 亏 元, 介于 2.21 元与 4.21 元之间。期 权 1 亏损少于期权 2 。 情况三： 元，则期权 1 亏 元，而期权 2 亏 元。期权 1 亏损少于期权 2 。

由此可见，无论未来 A 股票价格是涨是跌还 是平，期权 1 均优于或等于期权 2 。显然，期 权 1 的时间价值不应等于而应高于期权 2 。 再引入期权 3 ： 元，其他条件相同。比 较平价期权 1 和虚值期权 3 ，通过同样的分析 可以发现期权 1 的时间价值应高于期权 3 。 推广上述结论可以发现，无论期权 2 和期权 3 执行价格如何选择，只要是虚值或实值期权， 其时间价值一定小于平值期权，且时间价值随 期权实值量和虚值量增加而递减。

期权价值的影响因素 变量 欧式看涨 欧式看跌 美式看涨 美式看跌 标的资产价格 ＋ － 行权价 红利 标的资产波动率 剩余期限 ？ 无风险利率

无红利资产欧式看涨期权下限 构造组合 T 时刻的组合价值 组合 A ：一份欧式看涨期权加金额为 的现 金 组合 B ：一单位标的资产

由于 因此，在 t 时刻组合 A 的价值也应该大于组合 B ，即 结论：由于期权的价值一定为正，因此无红利 资产欧式看涨期权价格下限为：

有红利资产欧式看涨期权下限 只要将上述组合 A 的现金改为 其中 I 为期权有效期内资产红利的现值，并经 过类似的推导，就可得出有红利资产欧式看涨 期权价格的下限为：

无红利资产欧式看跌期权下限 构造组合 T 时刻的组合价值 组合 C ：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产 组合 D ：金额为 的现金

由于组合 C 的价值在 T 时刻大于等于组合 D ，因此组合 C 的价值在 t 时刻也应大于等于组 合 D ，即： 由于期权的价值一定为正，因此无红利资产欧 式看跌期权价格下限为：

有红利资产欧式看跌期权下限 将上述组合 D 的现金改为 可得出有红利资产欧式看跌期权价格的下限为：

期权价格上下限

2019/5/26 目录 期权的回报与盈亏分布 期权价格的基本特性 美式期权的提前执行 期权价格曲线 看涨看跌期权平价关系

问题 无收益资产美式看涨期权的价格一定高于其他 条件相同的欧式期权价格，对吗？

提前执行无红利资产美式看涨期权的合理性 提前执行无红利资产的美式看涨期权是不明智的。 构造组合 不提前执行： 组合 A ：一份美式看涨期权加金额为 的现金 组合 B ：一单位标的资产 不提前执行： T 时刻组合 A 的价值为 ，而组合 B 的价值 为 ，组合 A 在 T 时刻的价值一定大于等于组合 B 。

结论：提前执行是不理智的。无红利资产美式看 涨期权价格的价格下限为 若在 𝜏 时刻提前执行： 组合 A 的价值为 ，组合 B 的价值为 。 由于 ，因此 。也就是说， 若提前执行美式期权的话，组合 A 的价值将小于组合B 。 结论：提前执行是不理智的。无红利资产美式看 涨期权价格的价格下限为

提前执行无红利资产美式看跌期权的合理性 构造组合 若不提前执行，则到 T 时刻，组合 A 的价值为 组合 B ：金额为 的现金 若不提前执行，则到 T 时刻，组合 A 的价值为 ，组合 B 的价值为 X ，因此组合 A 的价值大于等于组合 B 。 若在𝜏时刻提前执行，组合 A 的价值为 X ，组合 B 的价值为 ，因此组合 A 的价值也高于 组合 B 。

结论：是否提前执行无红利资产的美式看跌期 权，主要取决于期权的实值额 、无 风险利率水平等因素。一般来说，只有当 S 相 对于 X 来说较低，或者 r 较高时，提前执行无 红利资产美式看跌期权才可能是有利的。 由于无红利资产的美式看跌期权可能提前执行 ，期权价格下限变为：

提前执行有红利资产美式看涨期权的合理性 在有红利情况下，只有在除权前的瞬时时刻提 前执行美式看涨期权方有可能是最优的。因此 我们只需推导在每个除权日前提前执行的可能 性。 如果在 时刻提前执行期权，则期权多方获 得 的回报。若不提前执行，则标的资产 价 格将由于除权降到 。

因此如果 提前执行是不明智的。

如果 则在 提前执行有可能是合理的（仅是有可能 并非必然要提前执行）。实际上，只有当 时 刻标的资产价格足够大时提前执行美式看涨期 权才是合理的。

类似地，对于任意时刻，在 时刻不能提前执 行有红利资产的美式看涨期权条件是 相应地期权下限变为

提前执行有红利资产美式看跌期权的合理性 由于提前执行有红利资产的美式看跌期权意味 着自己放弃红利权，因此与无红利资产的美式 看跌期权相比，有红利资产美式看跌期权提前 执行的可能性变小，但仍无法完全排除提前执 行的可能性。

2019/5/26 目录 期权的回报与盈亏分布 期权价格的基本特性 美式期权的提前执行 期权价格曲线 看涨看跌期权平价关系

无红利资产 欧式看涨期权价格曲线

无红利资产 欧式看跌期权价格曲线

2019/5/26 目录 期权的回报与盈亏分布 期权价格的基本特性 美式期权的提前执行 期权价格曲线 看涨看跌期权平价关系

欧式期权PCP平价 （假设标的资产不付红利）

有红利资产欧式期权PCP 平价关系的理解

用F表示PCP 无论有无红利，下式都成立 𝑐+𝑋 𝑒 −𝑟(𝑇−𝑡) =𝑝+𝐹 𝑒 −𝑟(𝑇−𝑡) 或者 𝑐−𝑝=(𝐹−𝑋) 𝑒 −𝑟(𝑇−𝑡) 存在卖空限制从而使套利活动受限时，应该使 用这个公式。 上证50ETF期权由于受红利保护，其PCP平价 为 𝑐+𝑋 𝑒 −𝑟(𝑇−𝑡) =𝑝+𝐹 𝑒 −𝑟(𝑇−𝑡) ＋I

无红利资产美式期权PCP 考虑如下两个组合： 组合 A ：一份欧式看涨期权加金额为 X 的现金 组合 B ：一份有效期和协议价格与组合 A 中看涨 期权相同的美式看跌期权加上一单位标的资产 无论美式期权是否提前执行， A 的价值都不 低于 B 的价值，所以在当前 t 时刻， A 的价值 也应不低于 B 的价值：

由于 所以

有红利资产美式期权PCP 只要将上述组合 A 的现金改为 I+X ，就可得 到有红利资产的美式期权满足 同时我们有 和 由此可得