第四节 控制系统性能的频域分析 第四章 控制系统的频率特性 第一节 频率特性的基本概念 第二节 典型环节的Bode图 第四章 控制系统的频率特性 第一节 频率特性的基本概念 第二节 典型环节的Bode图 第三节 控制系统的开环Bode图的绘制 第四节 控制系统性能的频域分析

第一节 频率特性的基本概念 一、频率特性的定义 系统 采用正弦信号作为输入信号，当系统稳定后，其输出称频率响应。 输入 第一节 频率特性的基本概念 一、频率特性的定义 采用正弦信号作为输入信号，当系统稳定后，其输出称频率响应。 系统 输入 r(t)=ArSin（t＋ r） 输出（稳定后） c(t)=AcSin（t+c） 系统对不同频率的正弦输入的响应特性称为频率特性。 系统（或环节）输出量与输入量幅值之比为幅值频率特性，简称幅频特性，它随角频率ω变化，常用M(ω)表示。 输出量与输入量的相位差为相位频率特性，简称相频特性，它也随角频率ω变化，常用φ(ω)表示，

幅频特性和相频特性统称为频率特性，用G(jω)表示 图4－1 Ar不变，改变角频率ω 幅频特性和相频特性统称为频率特性，用G(jω)表示

二、频率特性与传递函数的关系 传递函数 频率特性 G(s) G(jω) 三、频率特性的表示方法 （指数坐标表示法） 1、数学式表示法 图4-2 1、数学式表示法 （直角坐标表示法） （极坐标表示法） （指数坐标表示法）

例4-1 写出惯性环节的幅频特性、相频特性和频率特性。 解：惯性环节的传递函数为 其频率特性为 幅频特性为 相频特性为

定义： L(ω)=20lgM(ω)—— 对数幅频特性 φ(ω)= ∠G(ω)—— 对数相频特性 2、图形表示法 1）极坐标图（又称奈奎斯特图） 当ω从0→∞变化时，根据频率特性的极坐标式G(jω)=M(ω)∠φ(ω)，可以算出每一个ω值所对应的幅值M(ω)和φ(ω)，将它们画在极坐标平面图上，就得到了频率特性的极坐标图。 2）对数频率特性（Bode图） 定义： L(ω)=20lgM(ω)—— 对数幅频特性 φ(ω)= ∠G(ω)—— 对数相频特性 对数幅频特性曲线（半对数坐标图） 对数相频特性曲线 见图4-3

图4-3

第二节 典型环节的Bode图 一 、 比例环节 传递函数 ： 频率特性 ： 对数频率特性 ： Bode图 ： 图4-4 传递函数 ： 频率特性 ： 对数频率特性 ： Bode图 ： 对数幅频特性L(ω)为水平直线，其高度为20lgK。 对数相频特性φ(ω)为与横轴重合的水平直线。 如图4-4所示。 比例环节放大倍数K变化，系统的L(ω)上下平移，但φ(ω)不变。

对数幅频特性L(ω)过点（1，20lgK）、斜率为-20dB/dec的一条直线 。 对数相频特性φ(ω)为一条-90o 的水平直线 。 图4-5 二 、 积分环节 传递函数 ： 频率特性 ： 对数频率特性 ： Bode图 ： 对数幅频特性L(ω)过点（1，20lgK）、斜率为-20dB/dec的一条直线 。 对数相频特性φ(ω)为一条-90o 的水平直线 。 如图4-5所示。

对数幅频特性L(ω)为过点（1，20lgτ）、斜率为20dB/dec的一条直线。 对数相频特性φ(ω) φ(ω)为一条90o 的水平直线。 三、 理想微分环节 图4-6 传递函数 ： 频率特性 ： 对数频率特性 ： Bode图 ： 对数幅频特性L(ω)为过点（1，20lgτ）、斜率为20dB/dec的一条直线。 对数相频特性φ(ω) φ(ω)为一条90o 的水平直线。 如图4-6所示。

四、惯性环节 传递函数 ： 频率特性 ： 对数频率特性 ： Bode图 ： 对数幅频特性L(ω) 两条线交于 处 折线近似方法 低频渐近线： 高频渐近线： 两条线交于 处

修正量：最大误差发生在交接频率ω=1/ T处，该处的实际值为 对数相频特性L(ω) 低频渐近线：当ω→0时，φ(ω)→0。 高频渐近线：当ω→∞时，φ(ω) →-90o。 交接频率处的相位：当ω=1/ T时，φ(ω)=-arctan1=-45o。 图4-7

因为其对数幅频特性和对数相频特性与惯性环节只相差一个符号，所以只要把惯性环节的Bode图向上翻转一下即可。 如图4－8 五、 比例微分环节 图4－8 传递函数 ： 频率特性 ： 对数频率特性 ： Bode图 ： 因为其对数幅频特性和对数相频特性与惯性环节只相差一个符号，所以只要把惯性环节的Bode图向上翻转一下即可。 如图4－8

六、振荡环节 传递函数 ： 频率特性 ： 对数频率特性 ：

对数幅频特性L(ω) 为一条0dB的水平线。 低频渐近线：当ω《ωn时 为过点（ωn，0）、斜率为-40dB/dec的一条直线。 高频渐近线：当ω》ωn时 交接频率：振荡环节的交接频率为ω=ωn。 修正量：当ω=ωn时，该处的实际值为 误差不仅与ω有关，还与ξ有关。误差计算结果见表4-2。

低频渐近线：当ω→0时，φ(ω)→0。因此，低频渐近线为一条φ(ω)→0的水平线。 计算表明，在ω=ωn处，当0.4＜ξ＜0.7时，误差小于3dB，可以不对渐近线进行修正；但当ξ＜0.4或ξ＞0.7时，误差较大，必须对渐近线进行修正。 对数相频特性φ(ω) 低频渐近线：当ω→0时，φ(ω)→0。因此，低频渐近线为一条φ(ω)→0的水平线。 高频渐近线：当ω→∞时，φ(ω) →-180o。因此，高频渐近线为一条φ(ω)→-180o的水平线。 交接频率处的相位：当ω=ωn时，φ(ω)=-90o。

第三节 控制系统的开环Bode图的绘制 一、系统开环Bode图的简便画法 若系统的开环传递函数G(s)为 G(s)=G1(s)G2(s)G3(s) 其对应的开环频率特性为 G(jω)=G1(jω)G2(jω)G3(jω) 其对应的开环幅频特性为 L(ω)=20lg〔M1(ω) M2(ω) M3(ω)〕 =20lg M1(ω)+20lg M2(ω)+20lg M3(ω) = L1(ω)+ L2(ω)+ L3(ω) 其对应的开环相频特性为 φ(ω)= φ1(ω)+ φ2(ω)+ φ3(ω) 由此可见，串联环节总的对数幅频特性等于各环节对数幅频特性的和，其总的对数相频特性等于各环节对数相频特性的和。

解：1）分析系统是由哪些典型环节串联组成，并将这 些典型环节的传递函数都化成标准形式。 例4-2 已知系统的开环传递函数 ， 试求取系统的开环对数频率特性曲线。 解：1）分析系统是由哪些典型环节串联组成，并将这 些典型环节的传递函数都化成标准形式。 2）由小到大书写转折频率。 3) 选定坐标轴的比例尺及频率范围（即取坐标）。一般取最低频率为系统最低转折频率的1/10左右，而最高频率为系统最高转折频率的10倍左右。

4）计算20lgK,找到横坐标为ω=1、纵坐标为L(ω)=20lgK=20 lg10=20dB的点，过该点作斜率为-20vdB/dec=-20dB/dec的直线至ωc1点，其中v为积分环节的个数。本例中v=1。 5）每过转折频率ωc，斜率按下列原则变： 若过惯性环节的转折频率，斜率增加〔-20〕； 若过比例微分环节的转折频率，斜率增加〔+20〕； 若过振荡环节的转折频率，斜率增加〔-40〕。 6）如果需要，可对渐进线进行修正，以获得较为精确的对数幅频特性曲线。 最后得到开环对数幅频特性曲线如图4-10所示。

画出各典型环节的对数相频特性曲线，把它们按频率逐点相加，即可得到系统的对数相频特性曲线。R如图4-10所示。 对数相频特性曲线φ(ω)的绘制步骤： 画出各典型环节的对数相频特性曲线，把它们按频率逐点相加，即可得到系统的对数相频特性曲线。R如图4-10所示。 图4-10

二、最小相位系统 若传递函数的极点和零点均在s复平面的左侧的系统称为最小相位系统。 　　若传递函数的极点和(或)零点有在s复平面右侧的系统称为非最小相位系统。 三、由对数频率特性求相应的传递函数 例4-3 求如图4-11所示环节的传递函数。 解：1）由图4-11a低频段的斜率为-20dB/dec，可推知该系统含一个积分环节，其传递函数为 G(s)=K/s 由于ω=1时，L(ω)=20lgK。又由图可知：ω=ω1时，L(ω)=0dB ，所以 由此可得 K=ω1

图4-11

2）图4-11b可见，其低频段为一水平直线，所以它不含积分环节（即v=0）；又由于低频段的高度为L1(ω)，即20lgK=0，可求得K=1。 由过点ω1斜率增加20dB/dec知，含一比例微分环节（T1s+1）,式中T1=1/ω1。 由过点ω2斜率增加-20dB/dec知，含一惯性环节1/（T2s+1）,式中T2=1/ω2。 综上所述，可得此环节的传递函数为 3）由图4-11c可知，其低频段为一水平直线，所以它不含积分环节（即v=0）；又由于低频段的高度为L1(ω)，即20lgK=L1(ω)，可求得K。 由过点ω1斜率增加-20dB/dec知，含一惯性环节1/（T1s+1）,式中T1=1/ω1。

由过点ω2斜率增加20dB/dec知，含一比例微分环节（T2s+1）,式中T2=1/ω2。 综上所述，可得此环节的传递函数为 由上例可归纳出由Bode图求取传递函数的一般规则： ①由低频段的斜率为（-20dB/dec）v，可推知所含积分环节的个数v， 由低频段在ω=1处的高度L(ω)=20lgK[或由低频段斜线（或其延长线）与零分贝线交点]来求得增益K. ②由低频→高频，斜率每增加一个+20dB/dec，即含一个比例微分环节；斜率每增加一个-20dB/dec，即含一个惯性环节；斜率每增加一个-40dB/dec，即含一个振荡环节，再由峰值偏离渐进线的偏差求得阻尼比ζ。

第四节 控制系统性能的频域分析 一、系统稳定性的频域判据 1．对数频率稳定判据 1）对数频率稳定判据的内容： 第四节 控制系统性能的频域分析 一、系统稳定性的频域判据 1．对数频率稳定判据 1）对数频率稳定判据的内容： 若系统开环是稳定的，则闭环系统稳定的充要条件是： 当L(ω)线过0dB线时，对应的φ(ω)在-180o线的上方； 或当φ(ω)=-180o时，对应的L(ω)在0dB线下方。 2）稳定裕量 ①相位裕量γ：当L(ω)=0dB时，对应的φ(ω)高于-180o线多少。其中，L(ω)线穿0dB线时的频率，叫幅值穿越频率，用ωgc表示。 定义： 显然，γ>0，稳定，γ越大，系统相对稳定性越好 γ=0，系统临界稳定 γ<0，系统不稳定

②增益裕量 GM：当φ(ω)=-180o时，对应的L(ω)低于0dB线多少。其中，φ(ω)=-180o时的频率，叫相位穿越频率，用ωpc表示。 定义： 显然，GM＞0，系统稳定，GM越大，系统相对稳定性越好 GM =0，系统临界稳定 GM <0，系统不稳定 二、动态性能的频域分析 Bode图中的中频段:指L(ω)的渐进线穿0dB线附近频率的一段区段，也就是幅值穿越频率ωgc附近的一段区段。 1．相位裕量γ——反映系统的相对稳定性 γ越大，σ%越小，相对稳定性越好。 2． 幅值穿越频率ωgc——反映系统动态过程的响应速度和 变化的快慢 ωgc越大，ts越小，系统的响应越快。

三、稳态性能的频域分析 稳态性能的频域分析主要是根据系统开环Bode图中的低频段分析系统的稳态误差。Bode图中的低频段是指L(ω)的渐进线在第一个转折频率以前的区段，也就是最左边的区段。 L(ω)低频段（渐进线）的斜率代表着系统的型别： 若L(ω) 低频段（渐进线）的斜率为0dB/dec（水平线），则v=0，为0型系统。 若L(ω) 低频段（渐进线）的斜率为-20dB/dec，则v=1，为I型系统。 若L(ω) 低频段（渐进线）的斜率为-40dB/dec，则v=2，为II型系统。 L(ω)在ω=1的高度为20lgK代表系统的增益K。 综上所述，系统开环对数幅频特性L(ω)低频段曲线的斜率愈陡，L(ω)在ω=1的高度愈高，则系统的稳态误差将愈小，系统的稳态精度愈好。