高观点下的若干初等数学问题 是非判断题的代数方法 主讲：陈永珠 学校：温州第二高级中学

高观点下的若干初等数学问题 是非判断题的代数方法 是 前言 是非判断题是我们考试的一种基本形式,它可以用来检验大家对某一门学科基本概念的理解。我们这里要说的不是具体的是非判断题,而是有关是非判断题的一个数学问题,用数学方法来解答逻辑推理的问题。

高观点下的若干初等数学问题 是非判断题的代数方法 是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 甲 √ × 乙 丙 设甲、乙、丙共三人参加一场考试，试题是十道判断题。每道题答对得1分,答错得0分。 根据下表中所列出的甲、乙、丙的答卷及分数,判断每道题的正确答案。 例1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 甲 √ × 乙 丙

高观点下的若干初等数学问题 是非判断题的代数方法 是 首先看甲和乙的答卷.第1,4,6,9题,甲和乙的答卷一样,而其它六道题答卷不一样. 在答卷不一样的六道题中,肯定有一个人只答对这六道题的一半或一半以下,即他的分数小于等于3.因为甲和乙的得分都是7, 我们知道: 第1,4,6,9题,他们回答正确,而剩下的六道题,甲和乙各对三题. 然后看丙的答卷.由于我们知道了第1,4,6,9题的正确答案,可以看出丙的1,4,6,9题是错的,而丙最后得分是6分,因此丙在2,3,5,7,8,10题的答卷是正确的. 最后,反回去检验甲、乙。因此正确答案就是: 分析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 正确答案 √ ×

高观点下的若干初等数学问题 是非判断题的代数方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 A √ × 12 B C D E 11 设A,B,C,D,E共五人参加一场考试, 试题是十道判断题。每道题答对得2分,答错倒扣1分,不答不得分。根据下表中所列出的A,B,C,D,E的答卷及分数,判断每道题的正确答案。 例2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 A √ × 12 B C D E 11

高观点下的若干初等数学问题 是非判断题的代数方法 是 我们介绍引进变量用方程来求解的代数方法. 设xi代表第i题的一个变量,如果第i题的正确答案是对的,令xi = 2; 否则,令xi = −1.那么第i题答卷是”√”时, 他的得分是xi;而答卷是”×”时,他的得分是1−xi. 我们可以从下表直观的来理解. 分析 正确答案 答卷答案 得分 表达式 √ 2 xi × -1 1 − xi

高观点下的若干初等数学问题 是非判断题的代数方法 是 于是A的得分可以得到的方程是: x1 +x2 +x3 +(1−x5)+x6 +(1−x7)+(1−x8)+x9 +(1−x10) = 12. 同理B, C, D, E的得分方程: x1+x2+(1−x3)+(1−x4)+(1−x6)+x7+x8+(1−x9)+(1−x10) = 3, (1−x1)+x2+(1−x3)+(1−x4)+x5+x6 +x7 +(1−x8) +x9 = 9, (1−x1)+(1−x2)+x3+x4+x5+x6+(1−x7)+(1−x8)+(1−x9)+x10 = 5, x1+x2+(1−x3)+x4+(1−x5)+(1−x6)+(1−x7)+x8+x9+(1−x10) = 11. 分析

高观点下的若干初等数学问题 是非判断题的代数方法 是 化简上面五个方程为: 分析    x1 + x2 + x3 − x5 + x6 − x7 − x8 + x9 − x10 = 8,     x1 + x2 − x3 − x4 − x6 + x7 + x8 − x9 − x10 = −2,   −x1 + x2 − x3 − x4 + x5 + x6 + x7 − x8 + x9 = 5,  −x1 − x2 + x3 + x4 + x5 + x6 − x7 − x8 − x9 + x10 = 0, x1 + x2 − x3 + x4 − x5 − x6 − x7 + x8 + x9 − x10 = 6.

高观点下的若干初等数学问题 是非判断题的代数方法 是 应用Gauss消元法(第一个方程不变,把其它方程中的x1消去), 得到 分析 x1 + x2 + x3 − x5 + x6 − x7 − x8 + x9 − x10 = 8 −2x3 − x4 + x5 − 2x6 + 2x7 + 2x8 − 2x9 = −10 2x2 − x4 + 2x6 − 2x8 + 2x9 − x10 = 13 2x3 + x4 + 2x6 − 2x7 − 2x8 = 8 −2x3 + x4 − 2x6 + 2x8 = −2. 

高观点下的若干初等数学问题 是非判断题的代数方法 是 把上面第二,第三个方程交换,然后消去第四,第五个方程中的x3,  分析 x1 + x2 + x3 − x5 + x6 − x7 − x8 + x9 − x10 = 8, 2x2 − x4 + 2x6 − 2x8 + 2x9 − x10 = 13, −2x3 − x4 + x5 − 2x6 + 2x7 + 2x8 − 2x9 = −10, x5 − 2x9 = −2, 2x4 − x5 − 2x7 + 2x9 = 8.  注意到xi的值只取2或−1,则从上面方程组中第四个方程,我们解得: x5 = 2, x9 = 2. 再回代入第五个方程,我们得2x4 − 2x7 = 6, 解之 x4 = 2, x7 = −1. 最后代入第三,二,一个方程,得到 x2 = 2, x3 = −1, x10 = −1, x6 = 2, x8 = −1, x1 = 2.

高观点下的若干初等数学问题 是非判断题的代数方法 是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 正确答案 √ × 因此我们得到正确的答案. 分析 因此我们得到正确的答案. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 正确答案 √ ×

高观点下的若干初等数学问题 是非判断题的代数方法 总结 一般地,如果答对题得m分,答错反扣n分,这样设xi来代表第i题的 一个变量,如果第i题的正确答案是对的,令xi = m; 否则,令xi =−n.那么第i题答卷是”√”时, 他的得分是xi ;而答卷是”×”时,他的得分是m − n − xi . 正确答案 答卷答案 得分 表达式 √ m xi × −n m − n − xi

高观点下的若干初等数学问题 是非判断题的代数方法 而当你很熟练地掌握了这些基本方法后,常常就会自然的碰到一些妙的技巧了. 结束语 当然, 这道题还有一些巧秒的解法, 留待同学们课后思考. 这里, 我想说的是: 对于数学的学习, 我们有必要掌握一些基本的方法, 这样我们就可以解决一般性问题. 而当你很熟练地掌握了这些基本方法后,常常就会自然的碰到一些妙的技巧了.