材料力学（乙） 第十章 动载荷与交变应力（2） 赵 沛 浙江大学交叉力学中心 浙江大学工程力学系 2019年6月11日

重要基本概念的回顾与强化 1、对称结构的对称变形与反对称变形 结构几何尺寸、形状、构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构。 E1I1 EI 对称轴 E1I1 EI 对称轴 E1I1 EI 对称轴 当对称结构受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生对称变形； 若受力反对称于结构对称轴，则结构将产生反对称变形。

重要基本概念的回顾与强化 2、结构对称性的应用 作用对称载荷时，对称截面上的反对称内力为零。 作用反对称载荷时，对称截面上的对称内力为零。 降低超静定次数 3、静载荷和动载荷 静载荷：载荷由零缓慢增长至最终值，然后保持不变。构件内各质点加速度很小，可略去不计。 动载荷：载荷作用过程中其随时间快速变化，或其本身不稳定（包括大小、方向），构件内各质点加速度较大。

重要基本概念的回顾与强化 4、动响应 构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位移等），称为动响应。 实验表明，在静载荷下服从胡克定律的材料，只要应力不超过比例极限，在动载荷下胡克定律仍成立。 动荷因数：Kd= 动响应 静响应

课堂测试（7） 1、如图所示U形框架，两端A和D分别 固定在刚性壁上，在两个角点B和C 处分别作用有与框架平面相垂直的 集中载荷，两个载荷大小相等、方 向相反。各杆的EI和GIp都相同，且 GIp=0.8EI。用能量方法画出杆内的 弯矩分布图。（20分） 2L L 对称结构上作用了怎样的载荷？ 几次超静定问题？ 内力怎么画？

课堂测试（7） X1 X4 X2 X3

课堂测试（7） X1 X3 X2

课堂测试（7）

课堂测试（7） 对称结构的对称截面上的对称内力为0，反对称内力不为0 对称结构上作用了反对称载荷 二次超静定问题

课堂测试（7）

课堂测试（7）

课堂测试（7）

课堂测试（7） 方法2： D 对称结构受到反对称载荷的作用，对其右半部分进行受力分析，如上图所示，对称截面上有剪力和扭矩（给出内力给4分） E C 根据卡氏第二定理（也可以用单位载荷法），变形协调条件为 （ 4分）

课堂测试（7） D E C 1）EC段的弯矩和扭矩分别为 （给出内力给2分） 2）CD段的弯矩和扭矩分别为 （给出内力给2分） 因此有， （3分）

课堂测试（7） D E C （3分） （1分） （3分）

课堂测试（7） （1分） （3分）

第十章 动载荷与交变应力（2）

10.2 动静法的应用（10.2） 1、达朗伯原理（达朗贝尔原理） 　　达朗伯原理认为：处于不平衡状态的物体，存在惯性力，惯性力的方向与加速度方向相反，惯性力的数值等于加速度与质量的乘积。只要在物体上加上惯性力，就可以把动力学问题在形式上作为静力学问题来处理，这就是动静法。 惯性力的大小等于质点的质量m与加速度a的乘积，方向与a的方向相反，即 F= -ma。

10.2 动静法的应用（10.2） 例题10.1 一起重机绳索以加速度a提升一重为G的 物体，设绳索的横截面面积为A，绳索 单位体积的重量，求距绳索下端为x处 的m-m截面上的应力。 G a x m

10.2 动静法的应用（10.2） 例题10.1 G a G a  A G a x 绳索的重力集度为 A 物体的惯性力为 m 物体的惯性力为 绳索的重力集度为 A 绳索每单位长度的惯性力

10.2 动静法的应用（10.2） 例题10.1 x m 绳索中的动应力为 st 为静荷载下绳索中的静应力 强度条件为

10.2 动静法的应用（10.2） 例题10.1 F FNd Nst x Δd表示动变形 Δst表示静变形 m m Δst表示静变形 当材料中的应力不超过比例极限时载荷与变形成正比 x 结论：只要将静载下的应力、变形，乘以动荷因数Kd即得动载下的应力与变形。

10.2 动静法的应用（10.2） 例题10.2 FNd Lq(1+a/g) G(1+a/g) 起重机钢丝绳长60 m，等效直径28 cm，有 效横截面面积A=2.9 cm2, 单位长重量 q=25.5 N/m , [] =300 MPa , 以a=2 m/s2的 加速度提起重50 kN的物体，试校核钢丝绳 的强度。 FNd Lq(1+a/g) G(1+a/g)

10.2 动静法的应用（10.2） 例题10.2 受力分析如图 解： FNd 动应力 Lq(1+a/g) G(1+a/g) 满足强度要求

10.2 动静法的应用（10.2） 例题10.3 一平均直径为D的薄圆环，绕通过其圆心且垂于环平面的轴作等 速转动。已知环的角速度为，环的横截面面积为A，材料的单 位体积重量为 。求圆环横截面上的正应力。  O r

10.2 动静法的应用（10.2） 例题10.3  因圆环很薄，可认为圆环上各点的向心加速度相同，等于圆环中线上各点的向心加速度。 解： O r 因为环是等截面的，所以相同长度的任一段质量相等。 qd 其上的惯性力集度为  AγDω2 O r

10.2 动静法的应用（10.2） 例题10.3 y 解： qd d Rd  o FNd FNd

10.2 动静法的应用（10.2） o σ 例题10.3 y qd d Rd  FNd FNd 解： 且 为圆环轴线上点的线速度 强度条件 σ 环内应力与横截面面积无关。 要保证强度，应限制圆环的转速。

10.2 动静法的应用（10.2） 2、小结 直线运动情形和匀速转动情形动应力计算问题的总结： 此时物体虽然发生了运动，但是作用在物体上的力是恒定的，在处理此问题时，它没有处理成是时间t的函数，实质上相当于静态问题。

10.3 构件受冲击时的应力与变形（10.3） 1、冲击的概念 当运动着的物体碰撞到一静止的构件时，前者的运动将受阻而在短时间停止运动，这时构件就受到了冲击作用。 在冲击过程中，运动中的物体称为冲击物。 阻止冲击物运动的构件，称为被冲击。

10.3 构件受冲击时的应力与变形（10.3） 1、冲击的概念 由于被冲击物的阻碍，使得冲击物的速度在极短时间内发生很大变化。 冲击载荷：被冲击物所承受的载荷。 现实生活中，有很多冲击的例子，如重锤打桩、打钉枪打钉、重物落地等。

10.3 构件受冲击时的应力与变形（10.3） 2、冲击的特点 加速度不好计算； 能量转换复杂。 放弃动静法，同时假设： 冲击物为刚体； 冲击过程中，冲击物的能量完全转变为杆的应变能。

10.3 构件受冲击时的应力与变形（10.3） 3、冲击的求解（能量守恒定律） 冲击时，冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化，其加速度a很难测出，无法计算惯性力，故无法使用动静法。在实用计算中，一般采用能量法。 即在若干假设的基础上，根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变形进行偏于安全的简化计算。 T、V 是冲击物在冲击过程中所减少的动能和势能。 Vεd是被冲击物所增加的应变能。

10.3 构件受冲击时的应力与变形（10.3） 4、杆件受到竖向冲击 碰撞过程极短

10.3 构件受冲击时的应力与变形（10.3） 4、杆件受到竖向冲击

10.3 构件受冲击时的应力与变形（10.3） 4、杆件受到竖向冲击 动荷因数 突加载荷

10.3 构件受冲击时的应力与变形（10.3） 例题10.4 P h d 弯曲刚度为EI的悬臂梁，重量为P的重物从距梁顶面h处自由落下， 冲击到悬臂梁自由端的顶面。 P h d 试求：自由端的最大挠度。 解：

10.3 构件受冲击时的应力与变形（10.3） 5、杆件受到水平冲击 P h d v 悬臂梁端部挠度 同样令 则

10.3 构件受冲击时的应力与变形（10.3） 5、杆件受到水平冲击 P h d v 解得 则

10.3 构件受冲击时的应力与变形（10.3） 例题10.5 如图所示圆木桩，左端固定，右端受到质量为m=200 kg和速度为3 m/s的重锤作用。求桩内最大正应力。木材的弹性模量E=10 GPa。 1 m 1 m 1 m m v 80 cm 60 cm 40 cm

10.3 构件受冲击时的应力与变形（10.3） 例题10.5 m v 1 m 1 m 1 m 80 cm 60 cm 40 cm （1）计算静压缩量 （2）计算动荷因数

10.3 构件受冲击时的应力与变形（10.3） 例题10.5 m v 1 m 1 m 1 m 80 cm 60 cm 40 cm （3）计算最大静压缩应力 （4）计算最大正应力

10.3 构件受冲击时的应力与变形（10.3） 6、总结 冲击问题的求解步骤 求解的关键：重物冲击过程结束后将其看成一个动载荷作用问题来求解。 （1）先求静位移st； （2）求出冲击动荷因数； （竖直） （水平） （3）求出动载荷、动位移、动应力等。

10.3 构件受冲击时的应力与变形（10.3） 6、总结 竖直冲击 水平冲击

10.3 构件受冲击时的应力与变形（10.3） 例题10.5 P=5 kN 木柱E=10 GPa，橡皮E=8 MPa，橡皮厚度 20 mm，求加橡皮前后的动荷因数。 P=5 kN 1 m 解：（1）不垫橡皮 6 m 300 mm

10.3 构件受冲击时的应力与变形（10.3） 例题10.5 P=5 kN 木柱E=10 GPa，橡皮E=8 MPa，橡皮厚度 20 mm，求加橡皮前后的动荷因数。 P=5 kN 1 m 解：（2）垫橡皮 6 m 300 mm 动荷系数显著减小

10.4 交变应力与疲劳失效（11.1） 1、交变应力 构件内一点处的应力随时间作周期性变化，这种应力称为交变应力。

10.4 交变应力与疲劳失效（11.1） 2、交变应力产生的原因 载荷做周期性变化； 载荷不变，构件点的位置随时间做周期性的变化。

10.4 交变应力与疲劳失效（11.1） 3、交变应力的特征 一简支梁在梁中间部分固接一电动机，由于电动机的重力作用产 生静弯曲变形，当电动机工作时，由于转子的偏心而引起离心惯 性力。由于离心惯性力的垂直分量随时间作周期性的变化，梁产 生交变应力。 一个应力循环 t   m  max  min ωt 静平衡位置

10.4 交变应力与疲劳失效（11.1） 3、交变应力的特征 通常用以下参数描述循环应力的特征： （1）应力比 r t   m  max  min 一个应力循环 3、交变应力的特征 通常用以下参数描述循环应力的特征： （1）应力比 r r = -1 ：对称循环； r < 0 ：拉压循环 ； r > 0 ：拉拉循环或压压循环。

10.4 交变应力与疲劳失效（11.1） 3、交变应力的特征 通常用以下参数描述循环应力的特征： （2）应力幅σa （3）平均应力 t   m  max  min 一个应力循环 3、交变应力的特征 通常用以下参数描述循环应力的特征： （2）应力幅σa （3）平均应力 一个非对称循环应力可以看作是在一个平均应力m上叠加一个应力幅为a 的对称循环应力组合构成。

10.4 交变应力与疲劳失效（11.1） 4、交变应力的分类 （1）对称循环交变应力 s smax t smin T t smin smax T s 统称为非对称循环交变应力

10.4 交变应力与疲劳失效（11.1） 4、交变应力的分类 （2）脉动循环交变应力 smax t s sm

10.4 交变应力与疲劳失效（11.1） 4、交变应力的分类 （3）静循环 t s sm smin smax

10.4 交变应力与疲劳失效（11.1） 5、疲劳破坏 材料在交变应力作用下的破坏习惯上称为疲劳破坏。 疲劳破坏的特点 （1）交变应力的破坏应力值一般低于静载荷作用下的强度极限值，有时甚至低于材料的屈服极限。 （2）无论是脆性还是塑性材料，交变应力作用下均表现为脆性断裂，无明显塑性变形。 （3）断口表面可明显区分为光滑区与粗糙区两部分。

10.4 交变应力与疲劳失效（11.1） 5、疲劳破坏 粗糙区 光滑区 裂纹源 材料发生破坏前，应力随时间变化经过多次重复，其 循环次数与应力的大小有关。应力愈大，循环次数愈少。

10.4 交变应力与疲劳失效（11.1） 5、疲劳破坏 粗糙区 光滑区 裂纹缘 用手折断铁丝，弯折一次一般不断，但反复来回弯折 多次后，铁丝就会发生断裂。这就是材料受交变应力作用 而破坏的例子。

10.4 交变应力与疲劳失效（11.1） 5、疲劳破坏 粗糙区 光滑区 裂纹缘 疲劳破坏是在没有明显征兆的情况下突然发生的，极易造成严重事故。据统计，机械零件尤其是高速运转的构件的破坏，大部分属于疲劳破坏。

10.4 交变应力与疲劳失效（11.1） 6、疲劳破坏的过程 疲劳破坏的过程一般分三个阶段： （1）裂纹萌生：在构件外形突变或材料内部缺陷等部位，都可能产生应力集中引起微观裂纹。分散的微观裂纹经过集结沟通，将形成宏观裂纹。 （2）裂纹扩展：已形成的宏观裂纹在交变应力下逐渐扩展。 （3）构件断裂：裂纹的扩展使构件截面逐渐削弱，削弱到一定极限时，构件便突然断裂。

10.5 疲劳极限（11.3） 2、 -N 曲线（应力-寿命曲线） 通过测定一组承受不同最大应力试样的疲劳寿命，以最大应力max为纵坐标，疲劳寿命N为横坐标，即可绘出材料在交变应力下的“应力-疲劳”寿命曲线，即-N 曲线。 当最大应力降低至某一值后，-N 曲线趋于水平，表示材料可经历无限次应力循环而不发生破坏，相应的最大应力值max 称为材料的疲劳极限或持久极限，用r 表示。对称循环的疲劳极限一般用-1 表示。 max，1 -1 max，2 N1 N2 1 2 N max

10.5 疲劳极限（11.3） 2、 -N 曲线（应力-寿命曲线） max，1 -1 max，2 N1 N2 1 2 N max 对于铝合金等有色金属，σ-N曲线通常没有明显的水平部分，一般规定疲劳寿命N0 = 108时的最大应力值为条件疲劳极限。

10.5 疲劳极限（11.3） 3、常用材料的疲劳极限 低碳钢: 铸铁: QT800:

10.5 疲劳极限（11.4） 4、影响疲劳极限的因素 构件外形的影响（应力集中会显著降低构件的疲劳极限）。 构件尺寸的影响（随着试件横截面尺寸的增大，疲劳极限会相应地降低）。 构件表面质量的影响（表面质量越高，疲劳极限越高）。

10.5 疲劳极限（11.4） 5、提高疲劳极限的主要措施 （1）减缓应力集中（会显著提高构件的疲劳极限）； （2）提高表面光洁度（表面质量越高，疲劳极限越高）； （3）增强表面强度（降低表面裂纹出现概率）。

10.5 疲劳极限（11.4） 例题10.6 在图示σa-σm坐标系中，C1和C2两点均位于一条过原点O的直线上， 设C1和C2对应的两个应力的循环特征分别为r1和r2，最大应力分别 为σmax1和σmax2，则（ ） σa （A）r1 = r2, σmax1 > σmax2 C2 （B）r1 = r2, σmax1 < σmax2 C1 （C）r1 ≠ r2, σmax1 > σmax2 （D）r1 ≠ r2, σmax1 < σmax2 O σm

十、动载荷与交变应力 动载荷 动荷因数 匀角速度 旋转圆环 构件有加速度时的应力计算 动静法、达朗伯原理 匀加速度a向上提升的杆件 匀角速度 旋转圆环 构件有加速度时的应力计算 动静法、达朗伯原理 匀加速度a向上提升的杆件 能量法解冲击问题 1、冲击物从高处自由下落： 2、冲击物在h处的速度为v： 3、接触时的速度为v： 4、突加载荷： 5、水平冲击：

十、动载荷与交变应力 几种特殊循环 交变应力 产生原因 循环特征 应力比 应力幅 平均应力 疲劳失效 产生的原因 断口特征 材料的疲劳极限 疲劳极限或条件疲劳极限的定义 应力-寿命（S-N）曲线 影响疲劳极限的因素 外形；尺寸；表面质量。 减缓应力集中；增加表面光滑度；增加表层厚度。 提高疲劳极限的措施

本章复习 1、动载荷：载荷作用过程中其随时间快速变化，或其本身不 稳定（包括大小、方向），构件内各质点加速度较大。 2、动响应：构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、 应变、位移等）。 3、实验表明，在静载荷下服从胡克定律的材料，只要应力不 超过比例极限，在动载荷下胡克定律仍成立。 动荷系数：Kd= 动响应 静响应 4、

本章复习 5、冲击：当运动着的物体碰撞到一静止的构件时，前者的运 动将受阻而在短时间停止运动，这时构件就受到了冲击。 6、冲击的求解：能量守恒定律。 7、竖直冲击： 水平冲击：

本章复习 8、交变应力：构件内一点处的应力随时间作周期性变化， 这种应力称为交变应力。 9、疲劳破坏：材料在交变应力作用下的破坏。 10、疲劳破坏的特点：破坏应力值一般低于静载荷作用下的 强度极限值；表现为脆性断裂；断口表面可分为光滑区 与粗糙区。 11、疲劳破坏的过程：裂纹萌生；裂纹扩展；构件断裂。 12、交变应力的分类：对称循环、非对称循环、静循环。 13、疲劳极限。

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