9 压杆稳定 9.1 压杆稳定的概念 9.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 9.3 欧拉公式的应用范围·临界应力总图

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1 9 压杆稳定 9.1 压杆稳定的概念 9.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 9.3 欧拉公式的应用范围·临界应力总图
9 压杆稳定 9.1 压杆稳定的概念 9.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 9.3 欧拉公式的应用范围·临界应力总图 9.4 实际压杆的稳定因数 9.5 压杆的稳定计算·压杆的合理截面

2 9.1 压杆稳定的概念 问题的提出 第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为
9.1 压杆稳定的概念 问题的提出 第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为 例：一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm  1mm 。钢的许用应力为 [ ] = 196 MPa。按强度条件计算得钢板尺所能承受的轴向压力为 [ F ] = A[  ] = 3.92 kN 实际上，当压力不到 40 N 时，钢尺就被压弯。可见，钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度，而是与 受压时变弯 有关。

3 作用在压杆上的外力作用线不可能毫无偏差的与杆的轴线相重合；
受压变弯的原因： 压杆在制作时其轴线存在初曲率； 作用在压杆上的外力作用线不可能毫无偏差的与杆的轴线相重合； 压杆的材料不可避免地存在不均匀性。 中心受压直杆：杆由均貭材料制成，轴线为直线，外力的作用线与压杆轴线 重合。（不存在压杆弯曲的初始因素） 研究方法： 在分析中心受压直杆时，当压杆承受轴向压力后，假想地在杆上施加一微小的横向力，使杆发生弯曲变形，然后撤去横向力。

4 9.1.1 压杆稳定的概念 当 F 小于某一临界值 Fcr，撤去横向力后，杆的轴线将恢复其原来的直线平衡形态，压杆在直线形态下的平衡是 稳定平衡。 F F′

5 当 F 增大到一定的临界值 Fcr，撤去横向力后，杆的轴线将保持弯曲的平衡形态，而不再恢复其原来的直线平衡形态，压杆在原来直线形态下的平衡是 不稳定平衡。 F F′

6 压杆的稳定性：压杆保持初始直线平衡状态的能力。 压杆的失稳：压杆丧失直线形状的平衡状态。
压杆的稳定性：压杆保持初始直线平衡状态的能力。 压杆的失稳：压杆丧失直线形状的平衡状态。 临界力（Fcr）: 中心受压直杆由稳定平衡转化为不稳定平衡时所受轴向压力 的临界值。

7 9.1.2 压杆失稳灾难 1925年苏联莫兹尔桥在试车时因桥梁桁架压杆失稳导致破坏时的情景。

8 1983年10月4日，高 54.2 m、长 17.25 m、总重 565.4 kN大型脚手架局部失稳坍塌，5人死亡、7人受伤 。
1983年10月4日，高 54.2 m、长 m、总重 kN大型脚手架局部失稳坍塌，5人死亡、7人受伤 。 防止压杆失稳的关键所在： 压杆工作时所受到的压力必须小于其临界力。

9 9.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 9.2.1 两端铰支细长压杆的临界力
两端铰支，长为 l 的等截面细长中心受压直杆，抗弯刚度为 EI 。 当达到临界压力时，压杆处于微弯状态下的平衡 考察微弯状态下局部压杆的平衡: F Fcr y FN M w Fcr M (x) = Fcr w (x)

10 若 A = 0，则与压杆处于微弯状态的假设不符因此可得： sinkl = 0
y FN M w Fcr 二阶常系数线性齐次微分方程 微分方程的解: w =A sinkx + B coskx 边界条件: w ( 0 ) = 0 , w ( l ) = 0 0 · A + 1 · B = 0 sinkl · A +coskl · B = 0 B = 0 sinkl · A =0 若 A = 0，则与压杆处于微弯状态的假设不符因此可得： sinkl = 0

11 临界力 Fcr 是微弯下的最小压力，故取 n = 1。且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
sinkl = 0 （n = 0、1、2、3……） 屈曲位移函数 : Fcr 临界力 Fcr 是微弯下的最小压力，故取 n = 1。且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。 最小临界力: ——两端铰支细长压杆的临界力的欧拉公式

12 9.2.2 两端固定细长压杆的临界力 两端固定，长为 l 的等截面细长中心受压直杆，抗弯刚度为 EI 。
9.2.2 两端固定细长压杆的临界力 两端固定，长为 l 的等截面细长中心受压直杆，抗弯刚度为 EI 。 当达到临界压力时，压杆处于微弯状态下的平衡 考察微弯状态下局部压杆的平衡: M (x) = Fcr w －M0 A B F Fcr A B Fcr M FN M0 B w y x 二阶常系数线性非齐次微分方程

13 w ( 0 ) = 0 , w ( l ) = 0；q（0）= 0 ， q（l）= 0
微分方程的全解: 边界条件: w ( 0 ) = 0 , w ( l ) = 0；q（0）= 0 ， q（l）= 0 （n = 0、1、2、3……） 最小临界力:

14 9.2.3 不同杆端约束下细长压杆的临界力

15 各种支承压杆临界力公式的统一形式： 其中： —— 长度系数 一端自由，一端固定  = 2.0 一端铰支，一端固定  = 0.7
各种支承压杆临界力公式的统一形式： 其中： —— 长度系数 一端自由，一端固定  = 2.0 一端铰支，一端固定  = 0.7 两端固定  = 0.5 两端铰支  = 1.0 两端固定，但可沿横向相对移动  = 1.0

16 例9-1 图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆承受的压力最大， 哪一根的最小？
例 图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆承受的压力最大， 哪一根的最小？ a F (1) 1.3a (2) (3) 1.6a 因为 又 （1）杆承受的压力最小，最先失稳； （3）杆承受的压力最大，最稳定。

17 例9-2 已知：图示压杆 EI ，且杆在 B 支承处不能转动，求：临界力
F a A B a / 2 C 解： 故取

18 例9-3 由 A3 钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形铰。在 xy 平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端铰支， z = 1，长度为 l1 。在 xz 平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固定  y = 0.5 ，长度为 l2 。求 Fcr。 z y 22 12 6 24 解： 在 xy 平面内失稳时，z 为中性轴 在 xz 平面内失稳时，y 为中性轴

19 作业： 习题 9-1 习题 9-2 习题 9-5

20 9.3 欧拉公式的应用范围·临界应力总图 9.3.1 临界应力与柔度 各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式 压杆横截面上的应力为
—— 临界应力的欧拉公式 ——压杆的柔度（长细比） ——惯性半径 柔度是影响压杆承载能力的综合指标。  越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。

21 9.3.2 欧拉公式的适用范围 利用了挠曲线近似微分方程 该方程是建立在材料服从虎克定律基础上的 令：
当 时， ，才能用欧拉公式计算压杆的临界力或临界应力。 满足的 压杆称为 细长杆或大柔度杆

22 Q 235钢， 压杆称为 中柔度杆 直线型 经验公式 a、b 是与材料相关的常数 抛物线型 压杆称为 小柔度杆或短粗杆 主要问题变为强度问题，而非稳定性问题！

23 9.3.3 临界应力总图 临界应力 scr 与柔度 l 之间的变化关系图 s l 直线型经验公式 p l 欧拉公式 中柔度杆 粗短杆
大柔度杆

24 例9-4 图示压杆的 E = 70GPa，p = 175 MPa。此压杆是否适用欧拉公式，若能用，临界力为多少。
F y z 100 40 解: ≥ P，此压杆为大柔度杆，欧拉公式适用，临界力为：

25 例9-5 图示圆截面压杆，d = 100 mm，E = 200 GPa，P = 200 MPa。试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。
l F d 解:

26 例9-6 图示立柱，L = 6 m，由两根 10 号槽型 A3 钢组成，下端固定，上端为球铰支座，试问 a =？时，立柱的临界压力最大值为多少？
解：1、对于单个10号槽钢，形心在 C1 点。 两根槽钢图示组合之后: （z1） 当　　　　 时最为合理： a = 4.32 cm

27 2、求临界力： 大柔度杆，由欧拉公式求临界力。

28 例9-7 图示矩形截面压杆，其约束性质为：在xz平面内为两端固定；在xy平面内为一端固定，一端自由。已知材料的 E = 200 GPa，P = 200 MPa。试求此压杆的临界力。
60 F x O 解: xy 平面内 xz 平面内

29 xy 平面内 压杆在 xy 平面内失稳，z 为中性轴 xz 平面内 欧拉公式适用。 压杆临界力为

30 例9-8 截面为圆形，直径为 d 两端固定的细长压杆和截面为正方形，边长为d 两端铰支的细长压杆，材料及柔度都相同，求两杆的长度之比及临界力之比。
解： 圆形截面杆： 正方形截面杆： 由 1 =  得

31 例9-9 AB，AC 两杆均为圆截面杆，其直径 D = 0
例 AB，AC 两杆均为圆截面杆，其直径 D = 0.08 m，E = 200 GPa，P = 200 MPa，容许应力[ ] = 160 MPa。由稳定条件求此结构的极限荷载 Fmax 解： 对 A 点，由平衡方程得 600 300 A B C F 4 AB 杆 A F FNAB FNAC AC 杆 两杆都可用欧拉公式

32 由 AB 杆的稳定条件，有 由 AB 杆的稳定条件，有 取 Fmax = 662

33 9.4 实际压杆的稳定因数 9.4.1 稳定许用应力 压杆的稳定许用应力 [s ]st nst —— 稳定安全系数
9.4 实际压杆的稳定因数 9.4.1 稳定许用应力 压杆的稳定许用应力 [s ]st nst —— 稳定安全系数 压杆所能承受的极限应力总是随压杆的柔度而改变，柔度越大，极限应力值越低。 在压杆设计中，将压杆的稳定许用应力 [s ]st 表示为材料的强度许用应力 [s ]乘以一个随压杆柔度 l 而改变的 稳定因数（折减系数） j = j（l）

34 9.4.2 安全系数法 压杆的稳定性条件： 或 用上式校核压杆的稳定性称为安全系数法

35 例9-10 一压杆尺寸截面如图，材料为 A3 钢，承受的轴向压力为 F = 120 kN，稳定安全系数 nst = 2，校核压杆的稳定性。
在 xy 面内失稳时，压杆两端为铰支，长度 l = 940 mm 。 在 xz 面内失稳时，压杆近似两端固定，长度 l 1= 880 mm 。 解：(1) 求柔度  z y x b=25 h=60 在 xy 面内失稳，z 为中性轴 在 xz 面内失稳，y 为中性轴 杆在 xz 面内先失稳，应用 y 计算临界力。

36 （2）求临界力，按安全系数法作稳定校核 A3钢 p = 123，抛物线型经验公式中，材料常数 a = 235 MPa，b = MPa 因为 y < p ，用经验公式计算临界力 压杆是稳定的

37 例9-11 图示立柱 CD 为外径 D = 100 mm ，内径 d = 80 mm 的钢管，高 h = 3
例9-11 图示立柱 CD 为外径 D = 100 mm ，内径 d = 80 mm 的钢管，高 h = 3.5 m，sp = 200 MPa， ss = 240 MPa，E = 200 GPa。设计要求的强度安全系数 n = 2，稳定安全系数 nst = 3 。试求容许荷载 [ F ] 的值。 F B C A D 解：1）由平衡条件可得 2）按强度条件确定 [F]

38 3）按稳定条件确定[ F ] F B C A D 立柱属大柔度杆用欧拉公式计算

39 F B C A D 稳定条件 所以

40 9.5 压杆的稳定计算·压杆的合理截面 9.5.1 压杆的稳定计算——折减系数法 压杆的稳定性条件： 或
9.5 压杆的稳定计算·压杆的合理截面 9.5.1 压杆的稳定计算——折减系数法 压杆的稳定性条件： 或 用上式校核压杆的稳定性称为折减系数法

41 例9-12 图示为型号 22a 的工字钢压杆，材料A3钢。已知压力F = 280 kN，容许应力 [ ] = 160 MPa，试校核压杆的稳定性。
y z 解: 由型钢表查得 22a 工字钢的 查表： 插分： ∴ 稳定

42 例9-12 图示支架，AC 为圆木杆，直径 d = 150 mm，容许应力 [ ] = 10 MPa。试确定容许荷载[ F ]。
B C F 2m 解: 查表得： A F 取结点A， 根据平衡条件，得

43 例9-13 一端固定一端自由的工字型截面压杆，材料为 A3 钢，已知 F = 240 kN ，l = 1
例 一端固定一端自由的工字型截面压杆，材料为 A3 钢，已知 F = 240 kN ，l = 1.5 m，[  ] = 140 MPa ，试按稳定性条件选择工字钢的型号。 z y 解： 在折减系数法中， ，要确定 A，需要知道 j ，但在截面未定之前，无法确定柔度 l ，也无法确定 j 。因此采用试算法。 试算法：先假定 j（在 0 ~ 1 之间变化），由稳定条件计算出面积 A，然后由面积 A 及截面形状计算柔度 l ，查出j ，再根据 A 及查出的 j 值其是否满足稳定条件，如不满足，再重新假定 j 值，重复上述过程，直到满足稳定条件为止。 假定 j 0 = 0.5 选择 20a 工字钢

44 20a 工字钢 绕 y 轴失稳 查表得 假定的 j 0 过大，假定 j 2 = （0.5 + 0.34）/ 2 = 0.42
z y 绕 y 轴失稳 查表得 假定的 j 0 过大，假定 j 2 = （ ）/ 2 = 0.42 选择 22a 工字钢

45 22a 工字钢 z y 绕 y 轴失稳 查表得 故，选择 22a 工字钢

46 例 厂房的钢柱长 7m，上，下两端分别与基础和梁连结。由于与梁连结的一端可发生侧移，因此，根据柱顶和柱脚的连结刚度，钢柱的长度系数 µ = 1.3 。钢柱由两根 3 号钢的槽钢组成，符合钢结构设计规范（GBJ ）中的实腹式 b 类截面中心受压杆的要求。在柱顶和柱脚处用螺栓借助于连结板与基础和梁连结，同一截面上最多有四个直径为 30 mm 的螺栓孔。钢柱承受的轴向压力为 270 kN，材料的强度许用应力 [  ] = 170 MPa。试为钢柱选择槽钢号码。 t z y h 解：(1)先按稳定条件选择槽钢型号 假设  0 = 0.5 每根槽钢的截面面积为 查表，选择 14a 号槽钢

47 单根 14a 槽钢 组合截面 iz 的值与单根槽钢的值相同 查表得
t z y h 单根 14a 槽钢 组合截面 iz 的值与单根槽钢的值相同 查表得 假定的 j 0 过大，假定 j 2 = （ ）/ 2 = 0.38 选择 16 槽钢

48 为保证槽钢组合截面压杆在 xz 平面内也有足够的稳定性，还需计算两槽钢的间距 h 。
t z y h 单根 16 槽钢 查表得 选择 16 槽钢 为保证槽钢组合截面压杆在 xz 平面内也有足够的稳定性，还需计算两槽钢的间距 h 。 假设压杆在 xy，xz 两平面内的长度系数相等同，则应使槽钢组合截面的

49 单根 16 槽钢 令 实际所用两槽钢的间距不小于 81.4 mm。 (2) 校核截面强度 满足强度要求 故，选择 16 号槽钢 h z t
y h 单根 16 槽钢 令 实际所用两槽钢的间距不小于 81.4 mm。 (2) 校核截面强度 满足强度要求 故，选择 16 号槽钢

50 9.5.2 提高压杆稳定性的措施 越大越稳定 欧拉公式 减小压杆长度 l 减小长度系数 m（改变压杆的约束形式）
提高压杆稳定性的措施 欧拉公式 越大越稳定 减小压杆长度 l 减小长度系数 m（改变压杆的约束形式） 增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） 增大弹性模量 E（合理选择材料）

51 减小压杆长度 l 减小长度系数 m

52 增大截面惯性矩 I 增大弹性模量 E 但是对于各种钢材来讲，弹性模量的数值相差不大。 （1）大柔度杆——采用不同钢材对稳定性差别不大 （2）中柔度杆——临界力与强度有关，采用不同材料对稳定性有一定的影响 （3）小柔度杆——属于强度问题，采用不同材料有影响

53 作业： 习题 9-8 习题 9-12 习题 9-13 习题 9-14 习题 9-15

54 本章小结 1、了解压杆稳定、失稳和临界力的概念 2、掌握压杆柔度的计算，及判断大柔度、中柔度、小柔度压杆的原则
3、熟知压杆临界应力总图，能根据压杆的类别选用合适的公式计算临界应力 4、掌握简单压杆的稳定计算方法 5、了解提高压杆稳定性的主要措施

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