第一章 渗流理论基础 肖 长 来 吉林大学环境与资源学院 2009-10

§1.5 渗流连续方程 1.5.1 含水层的状态方程 含水层的状态方程主要包括地下水的状态方程和多孔介质的状态方程。 (1)地下水的状态方程 Hooke定律： 式中：E——体积弹性系数（体积弹性模量），20℃时， E=2.1×105N/cm2。其倒数为压缩系数。 等温条件下，水的压缩系数(coef. of compressibility)为 （1-51）

Compressibility of Water Fluids are compressible, e.g., an increase in pressure dp will lead to a decrease in the volume of a given mass of water (Vw). The compressibility of water (β) is defined as: where dVw is the change in the volume of the water; Vw is the original volume of the water, and dp is the change in pressure. The negative sign is necessary to ensure a positive

积分（p→p0，V→V0）改写得： 体积： 密度： 按Taylor级数展开，得到近似方程： 和 因 （质量守恒），故有 （1-52） 因 （质量守恒），故有 （1-52） （1-53） （1-54） （1-55） （1-56）

多孔介质压缩系数（Coefficient of compressibility）表示多孔介质在压强变化时的压缩性的指标，用表示。 (2)多孔介质的状态方程 多孔介质压缩系数（Coefficient of compressibility）表示多孔介质在压强变化时的压缩性的指标，用表示。 多孔介质压缩系数()的表达式为： 式中，Vb＝Vs+Vv——多孔介质中所取单元体的总体积； Vs——单元体中固体骨架（solid matrix）体积； Vv——其中的孔隙（voids）体积。  ——介质表面压强。 （1-57）

Compressibility of a Porous Medium The compressibility of a porous medium, α, is defined as where VT is the total volume of the porous medium, dVT is the change in the volume of the porous medium, and dσe is the change in effective stress. Recall that VT = Vs + Vv, where Vs is the volume of the solids and Vv is the volume of the water-saturated voids. An increase in effective stress dσe leads to a reduction dVT in the total volume of the porous medium. In granular materials the reduction in the total volume of the porous medium is almost entirely due to grain rearrangement. The volume change for individual grains due to the change in effective stress is negligible (in other words, individual grains are almost incompressible).

式中 ——多孔介质固体颗粒压缩系数，表示多 孔介质中固体颗粒本身的压缩性的指标； ——多孔介质中孔隙压缩系数 Vv＝nVb；Vs＝(1-n)Vb 式中 ——多孔介质固体颗粒压缩系数，表示多 孔介质中固体颗粒本身的压缩性的指标； ——多孔介质中孔隙压缩系数 （Compressibility of the pores of a porous medium），表示多孔介质中孔隙的压缩性的指标，s<<p 。 n——多孔介质的孔隙度。 因 ，故 。 (1-58) (1-59)

考虑承压含水层受力情况，取一水平横截面AB， 按Terzaghi（1883~1963）观点： (3) 贮水率和贮水系数 考虑承压含水层受力情况，取一水平横截面AB， 按Terzaghi（1883~1963）观点： 式中 ——上覆荷重引起的总应力（total stress）； ——作用在固体颗粒上的粒间应力 (intergranular stress)； ——横截面面积中颗粒与颗粒接触面积所占的水平面积比； p——水的压强。 Terzaghi令 称为有效应力（effective stress）。 实际上l很小，(1- l)p ≈ p，因此有： （1-60） （1-61）

图1-29 一个可压缩的承压含水层（J. Bear）

在水位下降为H时，有 : 即作用于固体骨架上的力增加了H 。 作用于骨架上力的增加会引起含水层的压缩，而水压力的减少将导致水的膨胀。 含水层本来就充满了水，骨架的压缩和水的膨胀都会引起水从含水层中释出，前者就象用手挤压充满了水的海绵会挤出水—样。

因Vs=constant，故 只在垂直方向上有压缩， 故 上两式表示垂直厚度变化、孔隙度变化与水的压强变化的关 系。 水头降低时含水层释出水的特征，取面积为1m2、厚度为1 m (即体积为1m3)的含水层，考察当水头下降1m时释放的水量。此时，有效应力增加了H＝g×1=g。 介质压缩、体积减少所释放出的水量（dVb）: 水体积膨胀所释放出的水量（dV）: （1-62） （1-63）

式中 s ——贮水率[释水率]（specific storativity），量纲 [L-1]，为弹性释水[贮水] 。 *=sM 上述二者之和所释放出的水量为 或 式中 s ——贮水率[释水率]（specific storativity），量纲 [L-1]，为弹性释水[贮水] 。 *=sM 式中 M——含水层厚度(m)；  *——贮水系数（storativity）。 贮水系数*和贮水率s都是表示含水层弹性释水能力的参数，在地下水动力学计算中具有重要的意义。 （1-64）

贮水率 表示含水层水头变化一个单位时，从单位体积含水层中，因水体积膨胀（压缩）以及骨架的压缩（或伸长）而释放（或储存）的弹性水量。单位1/L。 贮水系数（m*）又称释水系数或储水系数，为含水层水头变化一个单位时，从底面积为一个单位，高度等于含水层厚度的柱体中所释放（或贮存）的水量；指面积为一个单位、厚度为含水层全厚度M的含水层柱体中，当水头改变一个单位时弹性释放或贮存的水量，无量纲。既适用于承压含水层，也适用于潜水含水层。 m*= msM 贮水率是描述地下水三维非稳定流或剖面二维流中的水文地质参数，既适用于承压水也适用于潜水。 对于平面二维非稳定流地下水运动，当研究整个含水层厚度上的释水情况时，用贮水系数来体现。

图1-30 潜水含水层与承压含水层贮水系数的对比图

图1-31 孔隙度、给水度与贮水系数的关系

*范围值：n×10-3~ n×10-5； 范围值：0.05~ 0.30，潜水计算中，可忽略弹性释水，只考虑重力释水。 实际测出的值往往小于理论值。 Storativity — The volume of water that a permeable unit, i.e., aquifer, will absorb or expel from storage per unit surface area per unit change in head. In an unconfined aquifer, the storativity value is equal to the Specific Yield. The specific yield of the aquifer can be used to estimate the time between when pumping begins and equilibrium groundwater conditions are reached.

图1-32 不同土壤给水度、持水度与孔隙度的典型关系 Typical relationship between specific yield, specific retention, and total porosity foe different soil types

上述两参数之间的不同，还在于潜水含水层存在滞后疏干现象。 弹性释水与重力给水: 对于含水层而言，由于受埋藏条件的限制，抽水时，水的给出存在着不同。 潜水含水层在抽水过程中，大部分水在重力作用下排出，疏干作用于水位变动带（饱水带）和包气带两部分，由于包气带的存在，使得饱水带中水的释放存在延滞和滞后现象。 当水头下降时，可引起二部分水的排出。在上部潜水面下降部位引起重力排水，用给水度（）表示重力排水的能力；在下部饱水部分则引起弹性释水，用贮水率（*）表示这一部分的释水能力。 必须区分两者之间的不同，潜水含水层还存在滞后疏干现象。

承压含水层抽水时，水的释放是由于压力减少造成的，这一过程是瞬时完成的。 只要水头下降不低到隔水顶板以下，水头降低只引起含水层的弹性释水，可用贮水系数*表示这种释水的能力。 （4）导压系数（a) 描述含水层水头变化的传导速度的参数，其数值等于含水层的导水系数与贮水系数之比或渗透系数与贮水率之比。 量纲为L2T-1。

1.5.2 渗流连续方程 由于渗流场中各点的渗流速度大小、方向都不同，为了反映液体运动的质量守恒关系，需要在三维空间中建立微分方程形式表达的连续性方程。 在渗流场中任意取一点P(x, y, z)，以P为中心沿直角坐标轴取一微小的六面体，体积为DxDyDz，称为特征单元体，设单元体无限小，但保证单元体穿过介质骨架和空隙。 设vx，vy，vz分别为该点在X、Y、Z方向上的渗流速度。 Abcd面中点 。 沿X轴方向流入： 图1-32 特征单元体

图1-33 特征单元体

流出： 利用Taylor级数展开，略去二阶导数以上的高次项，有： 单元体本身水质量在Δt时间内的变化量： 为液体密度。 同理

上式即为非稳定流的渗流连续方程，表明渗流场中任意体积含水层流入、流出该体积含水层中水质量之差永远恒等于该体积中水质量的变化量。 由质量守恒定律,得到渗流的连续性方程: 得 或 上式即为非稳定流的渗流连续方程，表明渗流场中任意体积含水层流入、流出该体积含水层中水质量之差永远恒等于该体积中水质量的变化量。 *它表达了渗流区内任何一个“局部”所必须满足的质量守恒定律。 （1-65）

若把含水层看作刚体， =constant，n不变，即水和介质没有弹性变形或渗流为稳定流，则渗流连续性方程为 上式表明，在同一时间内流入单元体的水体积等于流出的水体积，即体积守恒。 渗流连续性方程是研究地下水运动的基本方程，各种研究地下水运动的微分方程都是根据连续性方程和反映质量守恒定律的方程建立起来的。 （1-66）