Numbers of Nature ─Fibonacci Numbers

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Numbers of Nature ─Fibonacci Numbers 大自然的數──斐波那契數 Numbers of Nature ─Fibonacci Numbers 財團法人台北市九章數學教育基金會 孫文先

斐波那契數 十三世紀意大利數學家斐波那契 (Fibonacci, 1170-1250) 在1202年寫了一本書《算盤書(Liber Abaci)》。在書裡,他提出一個有趣的問題: 假定一對兔子在它們出生整整兩個月以後可以生一對小兔子(雌雄各一隻),其後每隔一個月又可再生一對小兔子。現有一對大兔子和牠們剛生下來的一對小兔子,如果兔子都不死亡,請問一年後有多少對兔子?

斐波那契數與兔子

斐波那契數與兔子

斐波那契數 每個月底的兔子對數是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…;每一項都是前兩項之和。 這個數列被稱為斐波那契數列。斐波那契數列在自然界及生活中處處可見。

斐波那契數的一些探索問題 比內(Binet)公式 十八世紀初,棣美佛在其所著《分析集錦》(Miscellanea Analytlca)中,給出斐波那契數列的通項表達式(又簡為“封閉形式”,但它不唯一): 它又稱為比內公式,這是以最初證明它的數學家比內(Binet, 1786-1856)命名的,它又是一個十分耐人尋味的等式:式左是正整數,而式右則是由無理數來表達的。公式的重要性我們不說自明,因為斐波那契數列的許多重要性質的證明都是通過它來完成的。

斐波那契數的一些探索問題 比內(Binet)公式 用數學歸納法證明。當n = 1時,直接計算即可。設n≦k時,結論為真,現考慮n=k+1的情形: 從而命題對n=k+1時真,因而對任何自然數公式都成立。 當n很大時,(-φ)n趨近於0,所以

斐波那契數的一些探索問題 比內(Binet)公式 比內公式之另一個證明