費氏數列與黃金比例.

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1 費氏數列與黃金比例

2 黃金比例緣起 文藝復興後期的克卜勒（Kepler， ）曾經說， 幾何學擁有兩件至寶，一件是大家熟知的畢氏定理，另一件便是黃金比例。黃金比例不但在神秘主義的五角星形出現，它還在數學與藝術的領域大放異彩！最重要的，黃金比例還隱藏在神奇的費波那契數列（Fibonacci Sequence ）之中 。

3 費波那契 1202年，義大利數學家費波那契 ( Leonardo Fibonacci，約 ) 出版了「算盤書」《Liber abacci》。 他在書中提出了一個關於兔子繁衍的問題：

4 兔子繁衍 如果一對成兔每月能生一對小兔（一雄一雌），而每對小兔在牠出生後的第二個月裡，長大成兔，第三個月裡，又能開始生一對小兔，假定在不發生死亡的情況下，由一對出生的小兔開始，設 n 個月後會有 Fn 對兔子， 求 Fn ？

5 F1 = F2 = 1 ，Fn = Fn-1 + Fn–2 ( n > 2 )
費氏數列 在第一個月時，只有一對小兔子，即 F1 =1，過了一個月後，那對兔子成熟了，所以 F2 =1 ，在第三個月時便生下一對小兔子，這時有兩對兔子， F3 =2 。再過多一個月，成熟的兔子再生一對小兔子，而另一對小兔子長大，有三對兔子，F4 =3 。如此推算下去，我們便發現每月的兔子對數的一個規律： F1 = F2 = 1 ，Fn = Fn-1 + Fn–2  ( n > 2 )

6 64 = 65 ?

7 楊輝三角與費波那契數列

8 費氏數列性質 I 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, … .

9 費氏數列性質 II . 由上性質我們可以知道Fn 與 Fn+1 互質.
費氏數列中只有 1 與 8 是立方數。

10 費氏數列性質 III 如右圖我們可以將 正方形變矩形

11 自然界中等角螺線 自然界中許多物體都呈現等角螺線的形狀，如：許多貝殼都很接近等角螺線的形狀，因為生活在殼內的動物在成長過程中都是均勻地長大，這就像相似地放大，所以新生的部分所棲息的空間必與原有空間形狀相似。象鼻、動物的角與毛等都呈等角螺線形。

12 貝類的等角螺線

13 等角螺線 在植物中，向日葵花、鳳梨與雛菊上的螺旋紋也都呈等角螺線形。隼由空中以每小時200英里的速度攻擊獵物，為了保持頭部挺直，減少風阻，隼也是循等角螺線俯衝而下。

14 費氏數列性質 IV .

15 費氏數列性質 V . 如下圖，我們可以把矩形變正方形。

16 矩形變正方形

17 費氏數列性質 VI

18 費氏數列性質 VII 若 n | m ， 則 Fn ｜ Fm 。 如： F3 ｜ F15 且 F5 ｜ F15 。 我們可由上面性質知
除 F4 =3 外，若 Fn 為質數，則 n 亦為質數。 如： F7 =13 ，7 與13 皆為質數， F13 =233 ，13與 233 皆為質數。 但當 n 為質數， Fn 不一定為質數。如F19 =4181＝ 37‧113。

19 OPEN QUESTION 質數有無限多個，但費氏數列是否含有無限個質數仍是未知的問題。

20 一花一世界 很多花的花瓣數都是費氏數：火鶴為1、百合花 真正的花瓣只有3片，長在內圈，外圈那3片假花瓣，其實是由花萼特化而成 ，梅花為5瓣，有些桔梗花為 8瓣，金盞花 13 瓣，另外大部分的雛菊花辦數是13、21、34。

21 向日葵 向日葵的花頭種子也與費氏數有關，常見向日葵花頭種子所構成的螺旋線分成兩組，一組順時針旋轉，另一組為逆時針旋轉，兩組的螺旋線數目為「34 及 55」，較大的向日葵的螺旋線數目則為「89 及 144」，更大的甚至還有「144 及 233」。

22 鳳梨 鳳梨的外皮為隆起的六角形鱗片，如下圖，其中有五條較平緩的平行螺線往右上旋，有八條較陡的平行螺線往左上旋，還有更陡的十三條平行螺線是往右上旋。

23 葉子的生長 葉子為了行光合作用、淋到雨水與呼吸最多空氣，所以生長行徑成螺線移動（葉序 Phyllotaxis) ，葉序為瑞士自然學家Charles Bonnet ( )於1754年所創，如菩提樹菩提樹的葉子都對稱生在兩邊，稱為1/2葉序比，黑苺與山毛櫸，由一片葉子移至另一片是1/3轉（1/3 葉序比），其他如蘋果、加州長青橡樹及杏樹為2/5 葉序比，梨樹與垂柳是3/8 葉序比。

24 鋼琴 鋼琴琴鍵上的一個8度音含有13個鍵，即8個白鍵與5個黑鍵，而5個黑鍵有可以分為2個黑鍵與3個黑鍵的音群， 出現的全是費氏數列。

25 黃金分割 如下圖，在線段AB上，若C 為線段AB 上的一點而且滿足 則C 點稱為線段 AB 的黃金分割點。 A C B

26 黃金比例 黃金比例 (Golden Ratio )

27 歷史 西元前6世紀古希腊的畢達哥拉斯（Πυθαγόρας，約西元前580年—西元前500年）學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此可以推斷當時畢達哥拉斯學派可能發現了黃金分割。 西元前300年前後歐幾里得 (Ευκλειδης ，約西元前330年—西元前275年），撰寫的《幾何原本》中論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著。 德國天文學家克卜勒（Johannes Kepler，1571年12月27日－1630年11月15日），稱黃金分割為神聖分割。

28 費氏數列前後項比值

29 五角星形 五角星形內部隱藏著一個五邊形，畫這五邊形的對角線，就產生一個小的倒五角星形 。 蘋果的由中間橫切，中間部分即為星形。

30 以連分數與平方根表示的黃金比例

31 人體的黃金比例 人體的軀幹與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點。所以比值愈接近1.618 ( 肚臍為分割點，上半身是1，下半身則是1.618 ) ，愈給與人一種美的感覺。

32 高跟鞋的秘密 但很可惜，一般人的軀幹都無法達到黃金比例。所以有很多女生穿高跟鞋。另外人體的手肘與膝蓋分別是手和腳的黃金分割點。

33 整形風 想做臉部整形嗎？ 女生請不妨參考伊莉莎白赫莉的臉，而男生則建議湯姆克魯斯的臉！整形醫生都說：他們兩人最符合臉型1：1.618的黃金比例。

34 Mona Lisa 符合臉部黃金比例的鼻子，鼻樑兩側會呈現很自然的曲線，寬度（指左鼻翼到右鼻翼的距離）大概是臉部寬度（從左顴骨到右顴骨的距離）的五分之一，鼻子長度是佔臉部長度的1/3。鼻子與嘴巴的寬度的比例是1.618，另外鼻子長度是佔臉部長度的1/3 。

35 藝術 公認為最美的雕像是哪一個？答案是羅浮宮的三寶之一 ----
《米羅的維納斯》（Venus de Milo） ，因為維納斯雕像的肚臍到頭頂距離和肚臍到腳底距離的長度比，就是黃金比例的最佳範本，因此深具古典美。 。

36 藝術 Georges Seurat ﹝Bathers﹞1884， 油畫‧畫布， 201 x 300 cm， 國家藝廊，倫敦

37 建築 希臘的衛城，其正面的長方形正是黃金長方形。 巴黎愛飛爾鐵塔第二層以下和第二層以上的高度比為0.618。
若金字塔高度h的平方等於外部三角形面積ab，則a/b為黃金比例。

38 黃金比例粽子 高雄金典酒店於2009年推出糯米與內餡的比例為「3：2」組合，搭配包裹時「3：2」的三角椎體，突顯粽子的完美風味。（資料來源： 高雄金典酒店）

39 服務學習期末報告 請100年6月15日中午12點前交傳送服務學習週誌與期末報告到勤益數位學習平台。

40 參考文獻 數學的神秘與奇趣，凡異出版社。 黃文璋 ，數學欣賞，華泰文化事業公司。
Mario Livio，The Golden Ratio (黃金比例，邱宏義譯），遠流出版社。 趙文敏，等角螺線及其他，科學月刊第二十卷第九期、第十期。 維基百科 昌爸工作坊