第七章 离散控制系统 控制系统中有一部分信号不是时间的连续函数，而是一组离散的脉冲序列或数字序列，这样的系统称为离散控制系统。 第七章 离散控制系统 控制系统中有一部分信号不是时间的连续函数，而是一组离散的脉冲序列或数字序列，这样的系统称为离散控制系统。 离散控制系统又分为采样控制系统和数字控制系统

离散控制系统概述 以常规的炉温系统为例 由于炉子本身时间常数较大，炉温上升很慢，当炉温升高到给定值时，阀门早已超过规定的开度，因此炉温继续上升，造成超温，又导致电动机反过来旋转。 根据同样的道理，又会造成反方向超调，这样引起炉温震荡。

采用离散控制，在误差信号与电动机之间加一个采样开关，它周期性的闭合和断开。 当炉温出现误差时，误差信号只有在开关闭合时才能使执行电动机旋转，进行炉温调节。当采样开关断开，执行电动机立即停下来，阀门位置固定，炉温自动变化，直到下次采样开关闭合，根据炉温误差大小再进行调节。 由于电动机时转时停，超调现象受到控制，即使采用较大的开环放大系数仍能保持系统稳定。

7.1 信号的采样与复现 一、 采样过程 采样过程就是对连续信号进行采样得到一个脉冲序列的过程。采样开关或采样器可以看作是产生脉冲序列的元件，采样过程可以理解为脉冲调制过程，下图表示采样的基本过程。

采样开关的输出信号： 采样过程相当于一个脉冲调制过程，其中输入信号e（t）为被调制信号，载波信号 决定采样时刻。即采样开关输出信号 的幅值由e（t）决定，存在的时刻由 决定。

二、 采样定理 E*（jω）——采样信号e*（t）的频谱； E（jω）——连续信号e（t） 的频谱

由图可见，相临两部分频谱彼此不能重叠的条件是： 采样频率ωs 必须大于或等于采样开关输入连续信号e（t）频谱中最高频率ωmax的2倍，即： ——香农（Shannon）采样定理 如果 ωs <2ωmax ，不能满足采样定理，发生相邻部分频谱重叠的现象，即使通过理想滤波器，也难以准确的恢复原来的连续信号。

三、 保持器 1、 零阶保持器 把前一个采样时刻nT的采样值不增不减的保持到下一个采样时刻（n+1）T的保持器称为零阶保持器。其输入信号与输出信号之间的关系如图所示。 采样值经过保持器即不放大，也不衰减，保存一个采样周期T。

单位脉冲响应如图所示 零阶保持器脉冲响应可表示为 零阶保持器的传递函数为 令s=jω，可以求得零阶保持器的频率特性为

幅频特性 相频特性

幅频特性的幅值随频率ω的增大而衰减，具有明显低通滤波特性。 零阶保持器不是一个理想的低通滤波器，它除了允许主频谱通过外，还允许部分高频频谱通过。因此，由零阶保持器恢复的连续信号eh（t）与原来的连续信号e（t）是有差别的。 采用零阶保持器还将产生滞后相移，这将使系统的相对稳定性降低。从零阶保持器输出关系图中也可看出，将阶梯信号的中点连接起来形成的虚线的形状与原连续信号e（t）相同，相位滞后T/2，该曲线的数字表达式为e（t-T/2）。与他各阶保持器相比，零阶保持器产生的相位滞后最小。

7.2 z变换与反变换 一、z 变换的定义 z变换实质上是拉氏变换的一种扩展，也称作采样拉氏变换。在采样系统中，连续函数信号 经过采样开关，变成采样信号 令

和差 乘常数 时位移 复变换 初值定理 终值定理 变换相关定理

例7-0：设Z变换函数为 试用终值定理确定终值 解：由终值定理得

二、z变换的方法 1、级数求和法 【例7-1】求单位阶跃函数1（t）的z变换 解 单位阶跃函数的采样函数为 n=0、1、2、… 代入上式，得 解 单位阶跃函数的采样函数为 n=0、1、2、… 代入上式，得 对上式进行级数求和，写成闭合形式，得 （|z|>1）

【例7-2】求 的z 变换 解 因为 代入定义式中，得 利用级数求和公式写成闭合形式，得 2、部分分式法

【例7-3】已知 ，试求其z变换 解 将F（s）展开成部分分式形式 其对应的时间函数为 由例7-1和7-2可得

三、z反变换 由F（z）求 f*（t）的过程称为 z 反变换，表示为 或表示为 z变换只表征连续函数在采样时刻的特性，并不反映采样时刻之间的特性，所以z反变换也只能求出采样函数f*（t），不能求出连续函数f（t）。 即

四、反变换方法 1、长除法 即把式 展开成按升幂排列的幂级数。因为式 的形式通常是两个的多项式之比，即 即把式 展开成按升幂排列的幂级数。因为式 的形式通常是两个的多项式之比，即　　 对上式用分母去除分子，所得之商按 的升幂排列 最后求得相应采样函数的脉冲序列

［例7-8］求 的反变换 解： 进行长除得到

2、部分分式法 【例7-9】求 的z反变换 解 将 F（z）/z 展开成部分分式为 所以 则对应函数为

五、用z变换法解差分方程 离散系统的动态过程用建立在差分、差商等概念基础上的差分方程来描述。 1.差分的概念 差分与连续函数的微分相对应。分为前向差分和后向差分 一阶前向差分 k阶前向差分 一阶后向差分 k阶后向差分

2. 差分方程 若方程的变量除了含有 本身外，还有 的 各阶差分，则此方程称为差分方程。 k阶线形差分方程的一般形式为 2.　差分方程 若方程的变量除了含有 本身外，还有 的 各阶差分，则此方程称为差分方程。 k阶线形差分方程的一般形式为 式中 r（nT）——输入量； c（nT）——输出量

各阶差分的变换函数 例如

【例7-16】用z变换法求二阶差分方程 初始条件y(0)=0，y(1)=1，输入为单位阶跃函数 解 利用超前定理，对差分方程进行z变换，得 将已知条件代入上式，得 所以

利用部分分式法求Y（z）的z反变换 所以 作Z反变换

7.3 采样控制系统的数学模型 一、基本概念 与线形连续系统类似，在线形离散系统中，零初始条件下，系统输出信号的z变换与系统输入信号的z变换之比，称为脉冲传递函数或称z传递函数。

在实际的采样系统中，系统的输出信号常常是连续信号，为了应用脉冲传递函数的概念，可以在系统的输出端虚设一个同步采样开关，这样输出为离散信号 因为 若系统的输入 则输出信号的z变换 从物理意义来看，离散系统的脉冲传递函数就是系统单位脉冲响应函数采样值的z变换，即

二、 开环系统的脉冲传递函数 1、串联环节的脉冲传递函数 (a)串联环节之间有采样开关

(b) 串联环节之间无采样开关 注意

【例7-11】设在前图中 求系统的脉冲传递函数。 图（a） 图（b） 通过以上分析，可见G1（z）G2（z）≠G1G2（z）

［例7-12］试求下列开环系统的脉冲传递函数

2、并联环节的脉冲传递函数 并联环节的等效

三、闭环系统的脉冲传递函数 1. 闭环系统脉冲传递函数的一般计算方法 1.　闭环系统脉冲传递函数的一般计算方法 求闭环系统脉冲传递函数一般是采用按定义计算的方法，即在已知系统的结构图中注明各环节的输入、输出信号，用代数消元法求出系统输入、输出关系式。 对于比较复杂的离散控制系统用这种方法计算将是十分复杂和困难的。

例7-13 离散控制系统如图所示，求脉冲传递函数

例7-14 离散控制系统如图所示，求脉冲传递函数

2. 闭环系统脉冲传递函数的简易计算方法 适用条件：输入信号在进入反馈回路后，至回路输出节点前，至少有一个真实的采样开关。 简易计算方法步骤 2.　闭环系统脉冲传递函数的简易计算方法 适用条件：输入信号在进入反馈回路后，至回路输出节点前，至少有一个真实的采样开关。 简易计算方法步骤 ① 将离散系统中的采样开关去掉，求出对应连续系统的输出表达式； ② 表达式中各环节乘积项需逐个决定其“*”号。方法是：乘积项中某项与其余相乘项两两比较，当且仅当该项与其中任一相乘项均被采样开关分隔时，该项才能打“*”号。否则需相乘后才打“*”号。 ③ 取Z变换，把有“*”号的单项中的s变换为z，多项相乘后仅有一个“*”号的其Z变换等于各项传递函数乘积的Z变换。

［例7-15］系统如图所示，求该系统的脉冲传递函数 R C G1 H1 H3 H2 C* 解：显然该系统可用简易法计算。去掉采样开关后，连续系统的输出表达式为： 对上式进行脉冲变换（加“*”） 变量置换得

练习：系统如图所示，求该系统的脉冲传递函数 解：该系统可用简易法计算。 连续系统的输出表达式： 脉冲变换（加“*”） 变量置换得脉冲传递函数

7.4 采样系统性能分析 一、系统的暂态响应分析 与用拉普拉斯变换法分析连续系统的暂态响应相似，用z变换法分析离散系统的暂态响应，根据闭环脉冲传递函数和输入信号，求出离散系统输出信号 。 根据输出信号 ，可求出超调量Mp，调节时间ts等性能指标。

例7-17 二阶系统如图所示，求单位阶跃响应 解：系统闭环脉冲传递函数为 而 由以上两式可得 取z反变换得

闭环零、极点分布与暂态响应的一般关系 离散系统的单位阶跃响应 （Ai为留数）

极点 在z平面不同位置时的暂态响应情况 （1）i为正实数 输出采样信号的暂态分量为 当i﹥1时，ci(k)为发散的指数函数，ik随着k的增加而增加。 当i﹤1时，ci(k)为衰减的指数函数，i距坐标原点越近，ik衰减越快。

（2）i为负实数 当k为偶数时，ik为正；当k为奇数时，ik为负.随着k增加，ik符号交替变化，当i﹥1时，ci(k)为发散振荡；当i﹤1时，ci(k)为衰减振荡,振荡的角频率为/T。

（3）有一对共轭复数极点 。 又因为 当i﹥1时，ci(k)为发散振荡函数； 当i﹤1时，ci(k)为衰减振荡函数

闭环脉冲传递函数的极点在z平面上的位置决定相应暂态分量的性质和特点

闭环离散系统稳定的充要条件是闭环极点均在z平面上的单位圆内，即i﹤1。 二、离散系统的稳定性分析 1、线性离散系统稳定的充要条件 闭环离散系统稳定的充要条件是闭环极点均在z平面上的单位圆内，即i﹤1。 2、s平面与z平面的映射关系 设 则 ，即 s平面的虚轴映射为z平面上为以原点为圆心的单位圆周，为临界稳定区域。

当 时， ，即左半s平面映射为z平面上单位圆内域,为稳定区域。

［例7-18］如图所示系统中，设采样周期T=1秒，试分析当K=4和K=5时系统的稳定性。 开环脉冲传函为 闭环脉冲传函为

系统的闭环特征方程为 ①　K=4时 解得 均在单位圆内，所以系统是稳定的。 ② 　K=5时 解得 因为 在单位圆外，所以系统是不稳定的。

3、劳斯稳定判据在离散系统中的应用 离散系统不能直接使用劳斯稳定判据。需要采用变换，或称双线性变换，将z平面上单位圆周映射到新坐标系中的虚轴。 双线性变换 同时有 分析离散系统的稳定性时，先令 代入离散系统的特征方程进行变换，再用劳斯判据判其稳定性。

例7-19 设离散控制系统的方框图如图所示。采样周期T=0.1s，试求使系统稳定的K的取值范围。 解：开环脉冲传递函数为

将T=0.1s代入上式可得 系统的闭环脉冲传递函数为 系统的特征方程为1+G(z)=0，将G(z)代入上式，整理得 令 代入上式得

化简后得 根据上式写出劳斯表为 2 0.632K 2.736-0.632K 1 1.264 0 2.736-0.632K 要使系统稳定，劳斯表中第一列各项系数均要大于零。即 2.736-0.632K﹥0 所以 0﹤K﹤4.32 使系统稳定K的取值范围为 0~4.32。 比较加采样开关前后系统的稳定性可知，采样开关的引入会使系统的稳定性变坏。

练习 设离散控制系统的方框图如图所示。采样周期T=0.5s，试求使系统稳定的K的取值范围。 答案

三、离散系统的稳态误差 设采样系统的结构图如图所示 系统的误差脉冲传递函数为 误差信号的z变换为 由Z变换终值定理得稳态误差为

三种典型输入作用下的稳态误差 (1)单位阶跃函数输入r(t)=1(t), 稳态误差为 式中 为系统的静态位置误差系数 对于0型系统 式中 为系统的静态位置误差系数 对于0型系统 对于1型及以上系统

(2)单位斜坡函数输入r(t)=t， 稳态误差为 式中 静态速度误差系数 从定义式中可以看出，系统在斜坡输入信号作用下，无差的条件是开环传函中至少要有两个 的极点。

(3)单位抛物线函数输入 系统在抛物线函数输入信号作用下，无差的条件是开环传函中至少要有三个 的极点。 稳态误差为 式中 系统在抛物线函数输入信号作用下，无差的条件是开环传函中至少要有三个 的极点。 稳态误差为 式中 ——系统的静态加速度误差系数

表 7-1　采样时刻处的稳态误差 系统型别 1 2

例7-20 设离散控制系统的方框图如图所示。采样周期T=0 例7-20 设离散控制系统的方框图如图所示。采样周期T=0.1s，试确定系统分别在单位阶跃、单位斜坡和单位抛物线函数输入信号作用下的稳态误差 。 解：开环脉冲传递函数为

将T=0.1s代入上式可得 系统的特征方程为1+G(z)=0，将G(z)代入上式 整理得 令 代入上式并化简得 由于系数均大于零，所以系统是稳定的。

静态误差系数 所以，不同输入信号作用下的稳态误差为 单位阶跃 单位斜坡 单位抛物线

 练习　已知系统结构如图所示，其中K=1,T=0.1，秒，输入为r(t)=1+t，试用静态误差系数法求稳态误差。 解：系统开环脉冲传递函数为

系统闭环脉冲传递函数为 可解出系统闭环极点为： 在单位圆内，所以系统是稳定的。

系统为1型 对输入为r(t)=1+t，稳态误差为：