数学模型实验课（二） 最小二乘法与直线拟合
康尔乃奶粉 32.4元 400g; 67.1元 900g. 4 k1 + 42/3 k2 = 32.4 9 k1 + 92/3 k2 = 67.1 解得: k1 = 5.3791, k2 = 4.3192 模型: C(W)=5.3791 W + 4.3192 W2/3. 预测: W=1800, C(W) = 126.49. W=2500, C(W) = 154.36 实际: W=1800, C(W)=115.9 W=2500, C(W)=146.85
>>x=[4,9,18,25];y=[32.4,67.1,115.9,146.85]; >>x1=[x(1),x(2)]’,x2=x1.^(2/3); >>y1=[y(1),y(2)]’;X=[x1,x2]; >>k=X\y1 >>x1=[x(1),x(2),x(3)];x2=x1.^(2/3); >>y1=[y(1),y(2),y(3)];X=[x1,x2];
设：Ax+ε= y，求 x 使得误差 ||ε|| 最小。 如果 . 设：Ax+ε= y，求 x 使得误差 ||ε|| 最小。
A’A x = A’y x = (A’A)-1A’y X b = y 二. 直线拟合 1. 矩阵左除 数据（xi, yi）,拟合直线 y = a + bx, 误差最小 模型：yi = a + bxi +ε X b = y
>>y=[17,16,17,23,26,27,41,49]; >>x=[1953,2015,2015,2821,3049,3049,5133,5592]; >>X=[ones(8,1),x’];b=X\y’; >>y1=b(1)+b(2).*x; >>plot(x,y1,’r’,x,y,’*r’)
2. 直线拟合的效果（相关系数）
>>X1=[x’,y’];m=size(X1);n=m(1);p=m(2); >>X=[ones(n,1),x’];B=X\y’;a=B(1);b=B(2:p); >>y1=a+b*x;plot(x,y1,’r’,x,y,’*r’); >>Cov=X1’*(eye(n)-ones(n)./n)*X1; >>Lyy=Cov(p,p);Lxx=Cov(1:(p-1),1:(p-1)); >>R=(b’*Lxx*b)/Lyy;r=sqrt(R);
3. 多项式拟合 b=polyfit(x,y,1); 4.线性回归 [b,r,j,k,l]=regress(y’,X);