第十三章 幂级数解法 本征值问题 13.1二阶常微分方程的幂级数解法 13.1.1幂级数解法理论概述 第十三章 幂级数解法 本征值问题 13.1二阶常微分方程的幂级数解法 13.1.1幂级数解法理论概述 用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输 运方程进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、 贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程．用其他坐标

系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出 现各种各样的特殊函数方程．它们大多是二阶线性常 微分方程．这向我们提出求解带初始条件的线性二阶常 微分方程定解问题.不失一般性，我们讨论复变函数 的线性二阶常微分方程 　　　（13.1.1）

其中 为复变数， 为选定的点， 为复常数． 这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出， 但可用幂级数解法解出．所谓幂级数解法，就是在某个任 意点 的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数， 代入方程以逐个确定系数．

幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广， 可借助于解析函数的理论进行讨论． 求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围的问题． 尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程的 求解问题中． 1．方程的常点和奇点概念

定义 13.1.1 常点 奇点 方程（13.1.1）的常点. 如果方程（13.1.1）的系数函数 和 在选定的点 的邻域 中是解析的，则点 叫作 方程（13.1.1）的常点. 如果选定的点 是 或 的奇点，则点 叫作方程（13.1.1）的奇点．

定理13.1.1 若方程（13.1.1）的系数 2. 常点邻域上的幂级数解定理 初始条件 关于线性二阶常微分方程在常点邻域上的级数解，有 下面的定理． 定理13.1.1 若方程（13.1.1）的系数 和 为点 的邻域 中的解析函数， 则方程在这圆中存在唯一的解析解 满足 初始条件 ，其中 是任意给定的复常数．

既然线性二阶常微分方程在常点 的邻域 上存在唯一的解析解， 故可以把它表示为此邻域上的泰勒级数. 　　（13.1.2） 其中 为待定系数

为了确定级数解（13.1.2）中的系数，具体的做法是以 （13.1.2）代入方程（13.1.1），合并同幂项，令合并后的系数 分别为零，找出系数 之间的递推关系， 最后用已给的初值 ， 来确定各个系数 从而求得确定的级数解． 下面以 阶勒让德方程为例，具体说明级数解法的步骤．

15．1．2常点邻域上的幂级数解法 勒让德方程的求解 注明： 推导解的过程仅供了解求解的方法，读者可直接参考其结论. 由分离变量法得到了勒让德方程，下面讨论在 邻域上求解 阶勒让德方程

即为 故方程的系数 在 ，单值函数 ， 均为有限值，它们必然在 解析．

解具有泰勒级数形式. 递推关系 点 是方程的常点．根据常点邻域上解的定理， 故可设勒让德方程具有 （13.1.3） 泰勒级数形式的解，将其代入勒氏方程可得系数间的 递推关系 （13.1.4）

因此，由任意常数 可计算出任一系数 ．首先在（13.1.4）中令 可得偶次项的系数 (13.1.5 ) 令 ，则可得奇次项的系数

将它们代入解的表达式中，得到勒让德方程解的形式 (13.1.6) 将它们代入解的表达式中，得到勒让德方程解的形式 (13.1.7) 其中 分别是偶次项和奇次项组成的级数，

无穷级数，容易求 得其收敛半径均为1 不是整数时 时， 发散于无穷 递推公式（13.1.4） 是非负整数 是偶数时， 是一个 次多项式，但函数 为在 处发散至无穷的无穷级数 是奇数时， 是 次多项式，而 处无界的无穷级数． 仍然是在 一个是多项式，另一个 是无界的无穷级数 是负整数时

所以不妨设 是非负整数 （因在实际问题中一般总要求有界解）． 导出这个多项式的表达式 , 把系数递推公式（13.1.4）改写成 (13.1.8) 于是可由多项式的最高次项系数 来表示其它各低阶项系数

取多项式最高次项系数为 (13.1.9)

这样取主要是为了使所得多项式在 处取值为1，即实现归一化. 可得系数的一般式为 (13.1.10) 因此，我们得出结论：

是非负偶数时，勒让德方程有解 （13.1.11） 是正奇数时，勒让德方程有解

(13.1.12) 对上述讨论进行综合，若用 表示不大于 的整数部分， 用大写字母 写成统一形式解 （13.1.13）

勒让德多项式 我们已经指出，在 是非负整数时，勒让德方程的 基本解组 中只有一个多项式，这个多项式 ，也称为第一类勒让德函数； 另一个是无穷级数，这个无穷级数称为第二类勒让德函数， 记为大写的 ．可以得出它们的关系 （13.1.14）

经过计算后， 可以通过对数函数及勒让德多项式 表示出，所以第二类勒让德函数的一般表达式为 (13.1.15) 特别地

(13.1.16) 可以证明这样定义的 ，其递推公式和 的递推公式具有相同的形式．而且在一般情况下勒让德方程 的通解为两个独立解的线性叠加

第一类勒让德函数即勒让德多项式： （13.1.17） 但是在满足自然边界（即要求定解问题在边界上有限） 的形式容易看出，它在端点 处是无界的， ．从而勒让德方程的解就只有 故必须取常数 第一类勒让德函数即勒让德多项式：

注：法国数学家勒让德（A.M.Legendre 1725～1833）最早专门研究过在球坐标系中求解数学物理方程问题时所遇到的一类特殊函数．由于这类函数具有多项式形式，所以命名这类函数为勒让德函数. 综合可得如下结论： （1）当 不是整数时，勒让德方程在区间 上无有界的解．

（2）当 为整数时，勒让德方程的通解为 ，其中 称为第一类勒让德函数（即勒让德多项式）， 称为第二类勒让德函数. 为整数，且要求在自然边界条件下(即要求在 有界解的情况下)求解，则勒让德方程的解只有第一 类勒让德函数即勒让德多项式 ．因为第二类

13.1.3 奇点邻域的级数解法：贝塞尔方程的求解 勒让德函数 在闭区间 上是无界的． 前一章分离变量法中，我们引出了贝塞尔方程，本节我 我们来讨论这个方程的幂级数解法．按惯例，仍以 表示自变量，以 表示未知函数，则 阶贝塞尔方程为 (13.1.18)

其中， 为任意实数或复数（这里特用 而不是 ，表示可以取任意数）．但在本书中 只限于取实数， 由于方程的系数中出现 项，所以在讨论时，不妨暂先假定 注意在贝塞尔方程中，因为 故 为 的奇点

下面介绍奇点邻域的幂级数解法：贝塞尔方程的求解． 设方程（13.1.18）的一个特解具有下列幂级数形式： (13.1.19） 其中，常数 和 可以通过把 和它的导数 代入（13.1.18）来确定．

将（13.1.19）及其导数代入（13.1.18）后，得 化简后写成 要使上式恒成立，必须使得各个 次幂的系数为零， 从而得下列各式：

(13.1.20) (13.1.21) (13.1.22) ；代入（13.1.21），得 由（13.1.20） 得 ．现暂取 ，代入（13.1.22）得

(13.1.23) 因为 ，由（13.1.23）知： 都可以用 表示，即

由此知（13.1.19）的一般项为 是一个任意常数，令 取一个确定的值，就得（13.1.18） 的一个特解．我们把 取作 这样选取 与后面将介绍的贝塞尔函数的母函数有关

运用下列恒等式 使分母简化，从而，使（13.1.19）中一般项的系数变成 （13.1.24） 以（13.1.24）代入（13.1.19）得到贝塞尔方 程（13.1.18）的一个特解

阶第一类贝塞尔函数，记作 用级数的比值判别式（或称达朗贝尔判别法）可以判定 这个级数在整个数轴上收敛．这个无穷级数 所确定的函数，称为 (13.1.25）

至此，就求出了贝塞尔方程的一个特解 即取负值时，用同样方法可 另外，当 得贝塞尔方程（13.1.18）的另一特解 （13.1.26） 比较（13.1.25）与（13.1.26）可见，只需在（13.1.25）的右 端把 换成 ，即可得到（13.1.26）．故不论 是正

讨论： 数还是负数，总可以用（13.1.25）统一地表达第一类贝 塞尔函数． (1)当 不为整数时，例如 为分数阶贝塞尔函数： 等, 当

故这两个特解 与 是线性无关的，由齐次线 性常微分方程的通解构成法知道，（13.1.18）的通解为 （13.1.28） 其中， 为两个任意常数． 根据系数关系，且由达朗贝尔比值法

故级数 和 的收敛范围为 (2)当 为正整数或零时（注:以下推导凡用 故有 即表整数）， （13.1.27） 称 为整数阶贝塞尔函数．易得

需注意在取整数的情况下， 和 线性相关， 这是因为:

由于 是零或正整数，只要 ，则 是零或负整数，而对于零或负整数的 函数为无穷大，所以上面的级数实际上只从 开始．若令 ，则 从零开始，故

可见正、负 阶贝塞尔函数只相差一个常数因子 这时贝塞尔方程的通解需要求出与之线性无关的另一个特解． 我们定义第二类贝塞尔函数（又称为诺依曼函数）为 是一个特解，它既满足贝塞尔方程，又与 线性无关． 这样我们可以得到

为欧拉常数． 其中，

综述：（1）当 可以证明这个函数，确实是贝塞尔方程的一个特解， 而且是与 线性无关的（因为当 时， 为有限值，而 为无穷大）． ，即不取整数时，其贝塞尔方程的 通解可表示为 （2）不论 是否为整数，贝塞尔方程的通解都可 为任意常数， 表示为 其中 为任意实数．

15．2 施图姆－刘维尔本征值问题 从数学物理偏微分方程分离变量法引出的常微分方程往往还附有边界条件，这些边界条件可以是明确写出来的，也可以是没有写出来的所谓自然边界条件．满足这些边界条件的非零解使得方程的参数取某些特定值．这些特定值叫做本征值（或特征值、或固有值），相应的非零解叫做本征函数（特征函数、固有函数．求本征值和本征函数的问题叫做本征值问题.

15．2．1施图姆－刘维尔本征值问题 定义 13.2.1施图姆－刘维尔型方程 常见的本征值问题都可以归结为施图姆(J.C.F. Sturm)－刘维尔(J.Liouville)本征值问题，本节就讨论具有普遍意义的施图姆－刘维尔本征值问题． 15．2．1施图姆－刘维尔本征值问题 定义 13.2.1施图姆－刘维尔型方程 通常把具有形式 （13.2.1）

施图姆－刘维尔型方程 的二阶常微分方程叫作施图姆－刘维尔型方程，简称施－刘型方程． 研究二阶常微分方程的本征值问题时，对于一般的二阶常微分方程 通常乘以适当的函数 ，就可以化成 施图姆－刘维尔型方程 (13.2.2)

施图姆－刘维尔本征值问题 . 讨论 施图姆－刘维尔型方程（13.2.1）附加以齐次的第一类、 第二类或第三类边界条件，或自然边界条件，就构成 (1) 或

再加上自然边界条件： 有界.就构成了勒让德 方程本征值问题 或 （13.2.3） (2)

或 再加上自然边界条件： 有界. 即构成连带勒让德方程本征值问题 　　（13.2.４）