第七章 振动和波

振动与波无所不在 振动与波是横跨物理学各分支学科的 最基本的运动形式。 尽管在各学科里振动与波的具体内容不同， 但在形式上却有很大的相似性。

§7.1 简谐振动的运动学描述 §7.1.1 运动方程 振动：物体在平衡位置附近的往返运动 简谐振动：匀速圆周运动在任意直径方向的分运动

简谐振动的运动方程 周期 频率 角频率 振幅 相位 初相位

§7.1.2 同方向同频率简谐振动的合成 一个质点同时参与两个同方向、同频率的简谐振动 合振动 合振动的振幅与相位差有关

§7.1.3 同方向不同频率简谐振动的合成 考虑下列两个频率不同、但振幅和初相位相同的振动 合振动 包含一个随 t变化较慢的余弦因子和一个随 t变化较快的余弦因子 当两个振动的频率非常接近时

合成的振动相当于振幅随时间缓慢变化的简谐振动 振动的强弱与振幅的平方相关，这种周期变化的现象称为拍。 拍频---只与振幅的大小有关， 例如从零再变到零。 拍是一个重要的现象，有许多应用。

§7.1.4 方向互相垂直、同频率简谐振动的合成 如果两个振动频率相同，但一个沿x方向、一个沿y方向 这是以t为参量的轨道方程；消去t，可得显式的轨道方程 为椭圆轨道方程（包括圆，直线段）----椭圆振动

特例1 特例2 特例3 其它情况为斜椭圆

§7.1.5 方向互相垂直、不同频率简谐振动的合成 当两个互相垂直的简谐振动频率不同时， 合成的轨道与频率之比和两者的相位都有关系， 图形一般较为复杂，很难用数学式子表达。 当两者的频率之比是有理数时 合运动是周期运动，轨道是闭合的曲线或有限的曲线段 这种图形称为李萨如图形（Lissajous figure）

x、y两垂直方向的简谐振动 时，对应不同初相位差的李萨如图形 相邻的李萨如图形初相位差为12°

相邻的李萨如图形初相位差为12°

相邻的李萨如图形初相位差为12°

§7.1.6 非简谐振动的简谐分解 非简谐振动分为周期性的和非周期性的 第一类可以用傅里叶（Fourier）展开 因而非简谐振动都可分解为简谐振动 设振动的周期为T，周期函数满足 引入 称为基频率，简称基频 n次谐频（n = 2为二次谐频，其它依此类推）

傅里叶级数： 它们都具有周期 T，且有正交性和完备性 正交性

一般的周期性函数都可以用傅里叶级数展开 x(t) 被分解为（除常数项A0/2之 外）频率为 nω的一系列简谐振动 ω，2ω，3ω，…构成离散的傅里叶频谱 An，Bn为相应简谐振动的振幅

例6 方波

例7 锯齿波

非周期性振动的傅里叶分解 非周期性的振动，可理解成T →ω的周期振动，基频ω→0， 分解出的简谐振动频率间距ω→0 ，对应的振动频谱是连续谱。 简谐振动的复数表示法 傅里叶变换 构成连续的傅里叶频谱

例8 δ函数 定义 性质 另一种形式的δ函数

§7.1.7 简谐振动的矢量表述和复数表述 简谐振动的矢量图象法 简谐振动用旋转矢量表示

简谐振动的复数表示 复数的实部对应真实的振动量 复数表示的优越之处：求导、积分很方便。

例 已知简谐振动的角频率ω，并且已测得在某时刻的振动量和振动速度 试求振幅和初相位。 简谐振动一般表述 代入已知条件 解得 考虑到

第七章作业题 A组 1、6、7、9、10、12、 15、18、21、25、28、33、 37、39、45、46、47 B组 48、52、55

§7.2 简谐振动的动力学性质 §7.2.1 动力学方程 匀速圆周运动的质点在直径 x 方向上的分运动是简谐振动 向心力 x 方向上的分力 §7.2 简谐振动的动力学性质 §7.2.1 动力学方程 匀速圆周运动的质点在直径 x 方向上的分运动是简谐振动 向心力 x 方向上的分力 线性回复力：力的大小与偏离平衡位置的位移大小成正比， 方向指向平衡位置。 动力学方程

例1 两个相同的固定点电荷Q之间有一个同性的点电荷q 为线性回复力

例2 两个相同弹簧拉一个小球，求横向小位移时小球的受力 不是线性回复力

水平弹簧振子 k 线性回复力 x 动力学方程

竖直弹簧振子 O 合力： 平衡位置 y 动力学方程

复摆（刚体摆） 刚体定轴转动定理 小角度近似

动力学方程 （二阶常系数线性齐次微分方程） 虽然振动的物理量不同，但它们都满足相同的微分方程

动力学方程及其解 x 的通解形式为 通解中包含两个待定的积分常量， 它们取决于振动的初始运动状态， 描述简谐振动的三个特征参量：振幅、初相位和频率

振幅 A 和初相位φ0 的确定 由振动的初始条件 φ0所在的象限则由sinφ0 或cosφ0 的符号确定

固有频率ω0 弹簧振子 单摆 复摆 任一振动系统的固有频率 由振子的固有参量决定，与初始条件无关。

例 圆柱形冰块轻轻按入海水中，让它竖直方向上自由运动，略去所有阻力，求冰块运动周期。 第一阶段：冰块顶部匀加速上升至水面 水中冰块所受合力 上升的加速度 冰块顶部到达水面的时间和速度

第二阶段：简谐振动 平衡位置 平衡位置 冰块受力 冰块作简谐振动 由振动的初始条件确定振幅和初相位

冰块顶部上升到平衡位置上方y = A处，速度降为零，所用时间满足 竖直向上运动时间 冰块运动周期

例 小球A，B，B'在光滑的水平面上沿一直线静止放置。 B，B'质量相同，中间用轻弹簧连接，弹簧处于自由长度状态。让A对准B匀速运动，弹性碰撞后，接着又观测到A和B两球发生一次相遇不相碰事件，试求A和B两球的质量比。 设B的质量为m， A的质量便是γm 第一阶段是弹性碰撞 第二阶段：A做匀速直线运动；B，B '的质心做匀速直线运动， B，B '相对质心作简谐振动。 弹性碰撞

B的直线运动=匀速运动+简谐振动 B，B'的质心做匀速直线运动 B相对质心的初速度 简谐振动的频率 简谐振动的初始条件 B相对质心的简谐振动

B的运动 A做匀速直线运动 在某时刻，A和B相遇不相碰的条件： 整理后得到 数值计算

例 复摆 小角度近似 复摆的等时摆长

保持等时摆长不变，rC有两个解 在C点下方，满足 的点O' 保持周期不变，称为O的倒逆点 过C的任一直线上存在四个点周期相同

振子的动能和势能都随时间周期性地变化，且幅值相同 §7.2.2 谐振子的能量 动能 势能 机械能 振子的动能和势能都随时间周期性地变化，且幅值相同 振子的机械能则保持不变

例 U形管截面面积 S，管中流体的质量 m、密度ρ，求液体振荡周期 T 平衡位置 设偏离平衡位置的液柱高度 y 机械能守恒 两边求导 分析受力 液柱作简谐振动

例4 半径为 r 的小球在半径为R的半球形大碗内作纯滚动，这种运动是简谐振动吗？如果是，求出它的周期。 设小球质心速度vC，角速度ω 机械能守恒 其中 两边对t求导 小角度时的周期

思考题 在小角度近似下，求半圆环在水平面上的摆动周期，（a）摩擦力足够大；（b）无摩擦力。 R 答案：

§7.3 保守系的振动 §7.3.1 一个自由度保守系的振动 机械振动 （例如，弹簧振子、单摆） 非机械振动 （交流电路中的电压、电流） §7.3 保守系的振动 §7.3.1 一个自由度保守系的振动 机械振动 （例如，弹簧振子、单摆） 非机械振动 （交流电路中的电压、电流） 物理量的振动：物理量在其基准值附近的往返变化。

振动的分类 受迫振动：回复性保守力+阻尼力+周期性策动力 自激振动: 回复性保守力+阻尼力+单向策动力

从能量的角度分析各类振动 保守系统 无阻尼振动：无能量耗散，亦无能量补充 非保守系统 阻尼振动：有能量耗散，但无能量补充 受迫振动：有能量耗散，但也有能量补充 自激振动：有能量耗散，但也有能量补充

一个自由度保守系的振动 将空间位置参量抽象地记作ξ 广义的保守力 不稳定平衡：P1、P3 稳定平衡：P2、P4 随遇平衡：P5

系统处于稳定平衡位置附近时，可形成振动。 能量E 形成振动，一个平衡点 能量 形成振动，两个平衡点 能量 不形成振动

单一稳定平衡位置附近的振动 A左：左振幅 A右：右振幅 振动周期 稳定平衡位置 动力学方程 机械能守恒

以ξ = 0为力平衡点，回复性保守力的定性分析 保守力一般是非线性的， 但在平衡点附近的小范围内，一般可作线性展开。 例如

将保守力 Fξ在力平衡点附近展开为泰勒级数

小量展开公式：

§7.3.2 多自由度保守系的振动 用轻弹簧连在一起的耦合摆 分别以悬挂点为参考点，根据角动量定理 1 2 在小角度近似下，耦合摆的动力学方程为

引入两个新的参量 方程变换为 小角度耦合摆的振动是两个简谐振动的叠加 简正模 normal node

多自由度的简正模 两个自由度 三个自由度 四个自由度

苯的简正振动 苯基的简正振动 前六个基态 前六个激发态

§7.4 阻尼振动 受迫振动 §7.4.1 阻尼振动 当没有外界的能量补充时， 实际振动系统的振幅都要随时间逐渐衰减。 振幅衰减的原因，一是存在阻尼力 二是振动能量以波的形式向周围传播

引入阻尼力 保守力 阻尼振动的微分方程 阻尼因子 固有频率

n阶线性微分方程 n阶线性微分方程解的存在唯一性定理

n阶齐线性微分方程 齐线性微分方程解的性质与结构 齐线性方程的解满足叠加原理 n阶齐线性方程一定存在n个线性无关的解 n阶齐线性方程的通解可表为这n个线性无关解的线性叠加 n阶齐线性方程的所有解构成一个n维线性空间 n阶齐线性方程的n个线性无关解不是唯一的

二阶常系数线性齐微分方程的解 猜测解 r待定 r的两个根 方程的解： 系数由振动的初始条件确定

（1）过阻尼

（2）低阻尼 新的线性无关解 通解 初始条件决定

对数减缩：相隔一个周期前后两振幅之比的自然对数 吸引子(attractor) 振子机械能的耗散 机械能的减少是由于阻尼力提供了负的功率

描述阻尼能耗的品质因数与固有频率成正比，与阻尼系数成反比 t 时刻振子能量为E，经过一个周期振子损失的能量为ΔE 品质因数 在低阻尼情况下 在阻尼很小的情况下 描述阻尼能耗的品质因数与固有频率成正比，与阻尼系数成反比

（3）临界阻尼 临界阻尼 过阻尼 低阻尼 在临界阻尼条件下，振动系统回到平衡位置用时最短。

§7.4.2 受迫振动 没有外部不断供给能量，耗散系统的振动是不能持久的 激励振动的方式主要有两种：周期力和单向力。 受迫振动：用周期力驱动的振动。 周期力中简谐策动力最重要： （1）简谐策动力最简单，也最普遍 （2）非简谐策动力都可以看作简谐策动力的线性叠加

保守力 阻尼力 简谐策动力 其中

方程的通解可分解为下列两个方程的通解与特解之和 方程的通解= 齐次方程的通解 + 方程的特解

受迫振动的微分方程的求解问题就转化为寻找方程的特解 猜测 代入方程 两边对应项的系数相等

受迫振动的微分方程的通解 第一项即阻尼振动，随时间衰减，故称暂态解 第二项不随时间衰减，称为稳态解 思考题：策动力换为 试求受迫振动方程的特解

暂态解与稳态解

从静止开始的受迫振动 黑线代表策动力，蓝线代表从静止开始的受迫振动

振幅随ω的变化 根据 共振频率 共振振幅

0.01 2

速度随ω的变化 共振频率 根据 共振速度 我们周围的世界充满了各种振动

从能量的角度分析受迫振动 稳定受迫振动的速度 策动力的功率 阻尼力耗散的功率 速度共振时 瞬时功率相等

一个周期中策动力和阻尼力的平均功率 平均功率

§7.5 波的运动学描述 7.5.1 波动现象 波的产生需要两个条件：波源和介质 波源在介质中振动，与介质发生相互作用，这种影响由近及远， §7.5 波的运动学描述 7.5.1 波动现象 波的产生需要两个条件：波源和介质 波源在介质中振动，与介质发生相互作用，这种影响由近及远， 以波的形式向周围传播——波是振动状态的传播。 波的产生、波在弹性介质中的传播

单极辐射 辐射的相位 辐射的方向性

偶极辐射 辐射的方向性 辐射的相位 简谐振动

平面四极辐射 辐射的方向性 辐射的相位

近场 线性四极辐射 辐射的方向性 辐射的相位 远场 音叉

横波：波的传播方向与振动方向垂直 纵波：波的传播方向与振动方向平行 一维空间传播的波：弦波 二维空间传播的波：水面的波 三维空间传播的波：声波、电磁波

波阵面（波前）：振动状态相同的点组成的面 波线：波的传播方向线 平面波：波阵面为平面 球面波：波阵面为球面 柱面波：波阵面为柱面

§7.5.2 平面简谐波 空间每一点都作简谐振动，不同点之间有确定的相位差 相位以一定的速度传播，此即波的相速，简称波速 u。 对于波包来说，波包中心前进的速度称为群速 ug。

x 点、t 时刻的振动，是 x = 0 在 t - x/u 时刻的振动传播而得到的 先假设波向右传播，波速 u，考虑 x = 0 点的振动 x 点、t 时刻的振动，是 x = 0 在 t - x/u 时刻的振动传播而得到的

相的传播速度 相位φ保持不变，上式两边对时间求导 向左传播的简谐波的表达式

波长λ：空间周期 波数 平面简谐波

三维空间的平面简谐波 其中 球面简谐波

§7.5.3 波的干涉 两列相同性质、同频率、同振动方向的波的叠加

假设 相长干涉 相消干涉

相长和相消干涉都形成双曲线

§7.5.4 波的衍射、反射、折射和驻波 惠更斯原理 波通过小孔或遇到障碍物时会发生衍射现象 波从一种介质传到另一种介质时， §7.5.4 波的衍射、反射、折射和驻波 波通过小孔或遇到障碍物时会发生衍射现象 波从一种介质传到另一种介质时， 在两种介质的分界面上，传播方向 要发生改变，产生反射和折射现象， 惠更斯原理 在波的传播过程中，波前上的每一点都可以看作是一个子波源，这些子波源发出子波（球面波），经过一定时间后它们的包络面即为该时刻的波前。 用惠更斯原理可以导出反射和折射定律，解释衍射现象

说明各种不同介质的分界面上波的反射情况。 只考虑垂直入射情况下，介质1、2分界面上波的反射 下面以弦上从左向右传播的横波为例， 说明各种不同介质的分界面上波的反射情况。 弦上横波的波速依赖于弦的张力 T 和线密度 ρ:

首先考虑两种极端情况 （a）固定端的反射 因为弦的端点不动， 它所受的合力为零。 波传播到固定端时， 对端点施加一个作用力， 墙要施加一个等值、反向的作用力， 从而产生一个从右向左传播的反射波：振幅相同、反相

驻波 如果弦的两端都固定，形成稳定波形的条件是什么？ 设有两列波，振幅相同，在左端点（原点）反相： 合成的波

在右端点 x = l 处要求 y = 0，即 设波速为 u，相应的频率为 最低的频率称为基频，其它依次称为二次、三次…谐频

基频 驻波的形成 二次谐频 三次谐频

有关驻波的几个概念 波腹 波腹 波腹 波节 波节 相邻波节或波腹的间距为半波长 驻波的频率

二维驻波 矩形薄膜（a，b） 驻波的频率

正方形薄膜

圆形薄膜 Ts: 膜的表面张力 ρs: 膜的面密度 a: 膜的半径 2.40483 is the first root of the zero-th order Bessel function J0(x) 3.83171 is the first root of J1(x) 5.52008 is the second root of J0(x)

（b）柔软端的反射 柔软端不受作用力，这种情况对应柔软端没有拉伸 波发生全反射

垂直悬挂的弦上的驻波 垂直悬挂的弦是典型的非均匀弹性介质

声波在管中形成的驻波

在波导中传播的微波 Microwaves are electromagnetic waves with wavelengths ranging from 1 mm to 300 mm, or frequencies between 300 megahertz and 300 gigahertz.

Laser-Focused Atomic Deposition of Nanodots. 用激光聚焦沉积原子的二维阵列纳米制备 Nanofabrication of a two-dimensional array using laser-focused atomic deposition One-dimensional schematic of laser-focused atomic deposition process, showing chromium atoms being focused by a laser standing wave into its nodes. The trajectories and the deposited peaks represent the results of actual calculations of the focusing process, though the relative vertical scales are highly distorted for clarity. Laser-Focused Atomic Deposition of Nanodots. In this new form of nanofabrication, a laser standing wave propagates across a Si surface, concentrating atoms into its nodes as they deposit. Here, a two-dimensional standing wave creates an array of dots on the surface, spaced at exactly half the laser wavelength. The image is taken with an atomic force microscope on an array of Cr features on a Si surface. For this sample, the dots are spaced at 212.78 nm, and have height and width of 13 and 80 nm, respectively. 参考文献：R. Gupta et al., Appl. Phys. Lett. 67, 1378 (1995).

光晶格 Optical lattice 光晶格是由一束激光与它的反射波形成的，具有空间的周期结构，可以用来模拟晶体中的离子实，束缚在光晶体中的原子类似于晶体中的电子。 Optical lattices are crystals made of light periodic potentials that confine ultracold atoms. Atoms in optical lattices are almost perfect analogies of electrons trapped in crystals, but our optical lattices are defect and impurity free, unlike real world solid-state materials. We will use coherent atoms from a Bose-Einstein condensate to study the wave-like properties of atoms trapped in these potentials, adding in controlled amounts of disorder. We can study exotic states of matter such as a “Bose glass”, phase transitions that rely on the graininess of quantum mechanics rather than thermal fluctuations, and the question of just why the world seems so classical when we believe quantum mechanics is the correct microscopic description.

例9 光在高速运动镜面上的反射

探测器所接受到的波的频率依赖于波源和探测器相对介质的运动 §7.5.5 多普勒效应 在无色散的介质中, 波速与波源和探测器的运动与否无关 多普勒效应 探测器所接受到的波的频率依赖于波源和探测器相对介质的运动 探测器 波源 频率

先讨论波源或探测器的运动都在二者的连线上 （1）波源静止观察者运动 波源 波速 u 探测器 波相对观察者的传播速度 波长未变，观察者感受到的频率

（2）波源运动观察者静止 波源 波速 u 探测器 波相对观察者的有效波长 波速未变，观察者感受到的频率

（3）波源和观察者都运动 波源 波速 u 探测器 波相对观察者的传播速度 波相对观察者的有效波长 观察者感受到的频率

波源和观察者作任意运动 观察者 波源 相位增量 观察者 观测到同样的相位增量 波源

例10 警车警笛的频率 声速 车速 声音经前面墙的反射向后传播，求人听到的拍频。

§7.5.6 冲击波 当波源运动的速度接近 波速时，在波源前产生 声垒（sound barrier） 和轰声（sonic boom）。 超音速飞行

马赫锥 （Mach cone） 马赫数 马赫角 马赫数为1.5 当波源运动的速度大于波速时，波前的包络面呈锥形，这种形式的波称为冲击波（shock wave）。 马赫锥 （Mach cone） 马赫数 马赫角 马赫数为1.5

波源的运动从亚音速到超音速

当物体在介质中运动的速度大于声速时，就会发出声音 电磁波同样存在这种现象。玻璃中光的速度仅为真空中光速的2/3，高能粒子以接近光速的速度穿过这种介质时，就会产生辐射—切伦科夫（Cerenkov）辐射。

当介质的形变较小时，介质可当作弹性介质： §7.6 一维线性波动方程 §7.6.1 波动方程 波在介质中如何传播， 是由介质的性质决定的。 当介质的形变较小时，介质可当作弹性介质： 介质中各点的相对位移与力成正比 介质的弹性行为由弹性模量描述，根据形变类型的不同， 弹性模量分为：杨氏模量、剪切模量和体积弹性模量。

弹性介质的基本性质 杨氏模量 E 剪切模量 G 一般情况下，E > 2G 体积模量K

波动方程可能的形式？ 平面简谐波 第一项：质元的加速度 第二项：质元的受力

横波和纵波 横波位移 波的传播方向 质元dm 平衡位置 纵波位移 偏离平衡位置的位移为 y 一阶导数代表相对拉伸的程度，正比于应力 质元dm所受合力正比于二阶导数

(a) 弦的波动方程 弦的张力 T，密度ρ 分析一小段弦的受力 弦在 x 位置，偏离平衡位置的位移 弦沿 x 方向无位移

弦所受合力 牛顿第二定律 弦的波动方程 波速

(b) 均匀弹性棒中横波和纵波的波动方程 均匀弹性棒的横截面积为 S，密度ρ，沿棒取为 x 方向。 设沿纵向（横向）偏离平衡位置的位移为 分析其中一小段

在 x 处的纵向（横向）弹力为 同样在 x+Δx 处的纵向（横向）弹力为

所以左端为负，右端为正。这一小段所受合力为 式中偏导数为正值时，对应的是拉伸状态 所以左端为负，右端为正。这一小段所受合力为 这一小段的纵向（横向）加速度为

这一小段的运动方程为 纵波和横波的波动方程 纵波波速 横波波速 三维波动方程与一维的形式相同，只是纵波的波速略有不同

(c) 声波的波动方程 声波是纵波，表现为疏密状态的移动，空气的压强 在平衡压强（大气压）附近有起伏，声波也表现为 这种压强起伏的传播。 声波的物理内容包含了三个特征： I 气体的位移使密度发生变化 II 密度的变化对应着压强的变化 III 压强的不相等导致气体的运动

首先考虑第二个特征 空气中热量传播非常慢，并且声波传播很快，空气来不及与外界 交换热量，过程实际上是绝热的。气体的压强 p 和体积 V 满足 绝热方程。 Cp,m是定压摩尔热容， CV,m是定体摩尔热容。

考虑第一个特征 设沿纵向偏离平衡位置的位移为 分析横截面积为 S 的其中一小段 在 x 点附近，体积的相对变化为 上式中偏导数为正，对应气体的膨胀，故压强减小。

左端的压强 右端的压强 这一小段所受的压强差

最后考虑第三个特征 牛顿第二定律 声波的波动方程 对理想气体，声速 R是气体普适常量，T是绝对温度，M是气体的摩尔质量

§7.6.2 一维波动方程的通解 一维波动方程的一般形式 偏微分方程的通解 不同于二阶常微分方程，通解中出现的是 两个待定的函数，而不是两个待定的常数

首先验证两个独立的解满足波动方程 同理，另一个独立的解也满足方程。

验证波的叠加原理 叠加原理的成立是建立在波动方程是线性的这个性质上

初始条件给定后，波动方程的解唯一确定 设初始条件是 将通解代入，由上述方程确定特解

§7.6.3 波在介质界面的反射与透射 波从一种介质1传播到两种介质（1，2）的界面时，在界面处的 扰动将产生两种同频率的波：在介质1中产生反射波， 在介质2中产生透射波。 入射波 为了数学上处理方便，改取复数形式 反射波 透射波 边界条件：在介质1，2的界面 x = 0处，振动量相同，作用力相同

边界条件1：在介质1，2的界面 x = 0处，振动量相同

代入关系式 设介质1的波速u1、密度 ρ1，特性阻抗 介质2的波速u2、密度 ρ2，特性阻抗 反射系数 透射系数 同一种介质中无波的反射 固定端： 柔软端： 特性阻抗只与介质自身的性质有关

细弦到粗弦的反射 有半波损失 振幅？ 粗弦到细弦的反射 无相位跃变 振幅？

§7.7 波的能量 我们以弹性介质中的平面简谐纵波为例分析波的能量 介质的密度ρ，杨氏模量 E，向右传播的平面简谐波 当介质内有波传播时，介质处于拉伸和运动状态， 因此波的能量既包含动能，又包含势能。 分析对象：介质内一个截面为ΔS、长为Δx的体积元

体积元的动能 在平衡位置动能最大，在波峰和波谷处动能为零。

体积元的势能 先求一段长L、截面积为S的弹性介质发生形变时具有的弹性势能 在伸长ΔL的过程中，外力F所做的功 其中E为杨氏模量，相对形变为 对于体积元ΔSΔx，相对形变为∂y/∂x，该体积元的势能为

都是在平衡位置势能最大，在波峰和波谷处势能为零 势能与动能的变化同相 都是在平衡位置势能最大，在波峰和波谷处势能为零 能量密度 能流密度：沿波的传播方向，单位时间通过单位面积的能量

对于三维平面简谐波，能量密度和能流密度的形式相同 ρ 为介质的体密度 能流密度 在任一位置，能流密度在一个周期内的平均值称为该处波的强度 声强的单位：贝（B）与分贝（dB）

§7.8 真空中电磁波 §7.8.1 三维线性波动方程 (a) 三维波动方程 振动的物理量，可以是偏离平衡位置的位移， 也可以是电磁波的电场强度 E 或磁感应强度 B 等。 波动方程的一般形式

方程称为齐次的 哈密顿算符 引入拉普拉斯算符

三维波动方程可以简写为 方程是齐次的 一般地说，与波源、阻尼、策动力有关。

§7.8.2 真空中的电磁波 真空中，电磁场的基本方程是麦克斯韦方程

在没有电荷电流分布的真空中 麦克斯韦方程是齐次的 推导中利用矢量公式

真空中电磁波的波速——光速 真空介电常量 真空磁导率

电偶极子辐射的电磁波 实验发现，真空中的光速相对任何惯性参考系不变。