义务教育课程标准实验教科书北师大教材 八年级数学（下册）第六章 证明(一) 4 如果两条直线平行

学习目标 1.经历探索平行线的性质定理的证明，增强观察、分析和进行简单的逻辑推理的能力. 2.能结合图形用符号语言来表示平行线性质公理及定理的条件和结论,并能总结归纳出证明的一般步骤.

除公理外，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理的过 1.公理: 人们在长期实践中总结出来的， 并作为判定其他命题真假的根据. 2.定理: 用推理的方法得到的真命题. 3.证明: 除公理外，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理的过 程叫做证明.

平行线的性质 公理: 两条平行线被第三条直线所截， 同位角相等。 两直线平行,同位角相等. a b c 2 1

例1.已知：如图，a∥b, ∠1和∠2是直线a,b 已知 证明：∵a∥b ( ) ∴∠3=∠2 ( ) 两直线平行,同位角相等 被直线c截出的内错角。 求证：∠1=∠2 c a b 3 已知 证明：∵a∥b ( ) 1 2 ∴∠3=∠2 ( ) 两直线平行,同位角相等 ∵ ∠3=∠1 ( ) 对顶角相等 ∴∠1=∠2 ( ) 等量代换

定理1 两条平行线被第三条直线所截， 内错角相等。 简说成：两直线平行，内错角相等。

例2. 已知：如图，a∥b, ∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的同旁内角。 求证：∠1+∠2=1800 方法一： 证明：∵a∥b (已 知 ), ∴∠2=∠3 ∵ ∠1+∠3=1800（1平角=180° ）, ∴ ∠1+ ∠2=1800(等量代换）. 3 1 2 （两直线平行，同位角相等）.

方法二： 证明：∵a∥b（已知） ∴∠3=∠2（ ） ∵∠1+∠3=180°（1平角=180°） ∴∠1+∠2=180°（等量代换 ） 两直线平行，内错角相等。

定理2 两条平行线被第三条直线所截， 同旁内角互补。 简说成：两直线平行，同旁内角互补。

命题证明的步骤： 1.根据题意，画出图形； 2.根据题设、结论，结合图形，写出 已知、求证； 3.经过分析，找出由已知推出求证的 途径，写出证明过程.

平行线的性质 公理: 两直线平行，同位角相等。 ∵ a∥b, ∴ ∠1=∠2 . 性质定理2: 两直线平行，同旁内角互补. c 2 1 公理: 两直线平行，同位角相等。 ∵ a∥b, ∴ ∠1=∠2 . a b c 1 2 性质定理1: 两直线平行，内错角相等. ∵ a∥b, ∴ ∠1=∠2. a b c 1 2 性质定理2: 两直线平行，同旁内角互补. ∵ a∥b ， ∴ ∠1+∠2=1800.

练习1.根据下列命题，画出图形，并结 合图形写出已知、求证(不写证明过程)： 1)垂直于同一直线的两直线平行； 2)一个角的平分线上的点到这个角的两 边的距离相等； 3)两条平行线的一对内错角的平分线互 相平行.

已知：直线b⊥a , c⊥a 求证：b∥c 练习1.根据下列命题，画出图形，并结 合图形写出已知、求证(不写证明过程)： 1)垂直于同一直线的两直线平行； 已知：直线b⊥a , c⊥a c b 求证：b∥c a

根据下列命题，画出图形，并结合图形 写出已知、求证(不写证明过程)： 2)一个角的平分线上的点到这个角的两边 的距离相等； 已知：如图，OC是∠AOB的平分线， EF⊥OA于F , EG⊥OB于G 求证：EF=EG A E F O C B G

根据下列命题，画出图形，并结合图形 写出已知、求证(不写证明过程)： 3)两条平行线的一对内错角的平分线互相 平行. E A B H G C 已知：如图，AB、CD被直线EF所截，且 AB∥CD，EG、FH分别是∠AEF和 ∠EFD的平分线 求证：EG∥FH E F A B G H C D

已知：如下图，∠AOB、∠BOC互为邻补角，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC. 求证：OE⊥OF. 练习2：证明邻补角的平分线互相垂直. 已知：如下图，∠AOB、∠BOC互为邻补角，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC. 求证：OE⊥OF. 证明：∵OE平分∠AOB. OF平分∠BOC（已知） ∴∠EOB= ∠AOE，∠BOF= ∠FOC （角平分线定义） ∵∠AOB+∠BOC=180°（1平角=180°） ∴∠EOB+∠BOF= （∠AOB+∠BOC）=90° （等式的性质） 即∠EOF=90° ∴OE⊥OF（垂直的定义）

练习3： 在图中，由AB//CD，EG平分∠MEB， FH平分∠MFD，可以证明哪两条直线平行？ 答：EG ∥FH 理由如下： ∵ AB//CD，（已知） ∴∠MEB=∠MFD(两直线平行，同位角相等）. ∵EG平分∠MEB. FH平分∠MFD（已知） ∴∠MEG= ∠MEB，∠MFH= ∠MFD （角平分线定义） ∴ ∠MEG= ∠MFH(等量代换） ∴ EG ∥FH （同位角相等，两直线平行）

练习4：如图，直线l∥m.根据图中标 出的角的度数,求出∠1、∠2度数. 43º l ∠1=800 ∠2=570 1 3 100º 2 m

练习5 如图：a//b,m//n, ∠1=110°,则 ∠2=___ ∠3=____ ∠4=___ 1100 700 700

练习6 如图： 已知直线AB∥CD,∠MEB=55° 求∠MFD的度数。 练习7 如图 已知：直线a∥b，c∥d，∠1=115° 练习7 如图 已知：直线a∥b，c∥d，∠1=115° 求：∠2、∠3的度数 ∠2=1150, ∠3=1150

上面的证明有没有错误？若有错误，请改正。 练习8、已知如图，AB∥DF,∠2=∠A. 求证：∠4=∠5 一位同学的证明如下： 证明：∵AB∥DF(已知） ∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等） ∵DE∥AC(由图看出） ∴∠2=∠5（两直线平行，内错角相等） ∴∠4=∠5。 上面的证明有没有错误？若有错误，请改正。 x

本课小结 命题证明的步骤： 1.根据题意，画出图形； 2.根据题设、结论，结合图形，写出 已知、求证； 3.经过分析，找出由已知推出求证的 途径，写出证明过程.

作业： P236习题6.5 1、2、3题