1 數學解謎 — 數學史的啟發與應用 國立勤益科技大學基礎通識教育中心 劉柏宏 102 年 4 月 10 日於國立嘉義大學.

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1 1 數學解謎 — 數學史的啟發與應用 國立勤益科技大學基礎通識教育中心 劉柏宏 102 年 4 月 10 日於國立嘉義大學

2 2 數學史與數學教學 為何需要數學史  我們需要什麼樣的數學史  數學史能為學生做些什麼  數學史能為老師做些什麼  數學史真的有效嗎 ? 如何使用數學史 ?

3 3 為何需要數學史  為何不需要  何謂教學  何謂數學  何謂教數學 

4 4 需要什麼樣的數學史  人事時地物 當時關心的問題 當時困難與想法 當時解決的方法 數學思想的演變

5 5

6 6 古埃及數字

7 7

8 8 荷魯斯之眼

9 9 1/8 1/2 1/4 1/16 1/32 1/64

10 10 古埃及單位分數

11 11 來源：大英博物館網站 古埃及萊因草紙

12 12 9 8 8 第 50 題：直徑為 9 的圓形面積等於邊長為 8 的正 方形面積 將圓直徑扣去其九分之ㄧ，即餘 8 。做乘法 8 乘以 8 ，得 64 。這就是圓形面積。 能一般化嗎？

13 13 以分母均相異之單位分數表示

14 14 古埃及乘法 基於被乘數加倍的概念 31  23=? 23=1+2+4+16 31  23 =496+124+62+31 =813 31  23 =31  (1+2+4+16) 131 262 4124 8248 16496 乘法對加法的分配律

15 15 這些字母代表什麼意思？

16 16 羅馬數字 I=1 V=5 X=10 L=50 C=100 D=500 M=1000

17 17 建於 1888 年 100030030 500508

18 18 古巴比倫帝國

19 19 古巴比倫地圖泥板

20 20 古巴比倫的六十進位

21 21 1,57,46,40 = 1 ⅹ 60 3 + 57 ⅹ 60 2 + 46 ⅹ 60 + 40 = 424000

22 22 古巴比倫數字系統 沒有零的符號 ( 以空位表示 ) 不同數字可能具有相同符號 122=2×60+2= 7202=2×60 2 +2=

23 23 耶魯大學 7289 號泥板

24 24 30 1 24 51 10 42 25 35

25 25 1; 24, 51, 10 = 1+24/60+51/3600+10/216000 = 1.414212963  2 = 1.414213562 30×1.414212963 = 42.42638889 = 42+25/60+35/3600 = 42; 25, 35 耶魯大學 7289 號泥板解碼

26 26 圓面積 面積 = 周長的平方除以 12 r 圓周率 π= ？ 圓周率 π = 3

27 27 今有積三百步。問為圓周幾何？ 答曰：六十步。 開圓術曰：置積步數，以十二乘之，以開 方除之，即得周。 + 現在有個圓形其面積為 300 。問圓周為何？ + 答曰： 60 。 + 開圓算法：將圓面積乘以 12 ，再開方，就 得到圓周。 九章算術開圓術

28 28 九章算術原文 劉徽注

29 29 從圓內接正六邊形作 圓內接正十二邊形 英家銘老師製作 劉徽割圓術

30 30 半周（正六邊形周長的一半） 正六邊形的半周 × 半徑＝正十二邊形面積（非常接近圓面積） 英家銘老師製作 劉徽割圓術

31 31 同樣的道理，正十二邊形的半周 × 半徑＝ 正二十四邊形面積（超級接近圓面積） 半周（正十二邊形周長的一半） 英家銘老師製作 劉徽割圓術

32 32 化圓為矩 r rr

33 33 《論圓的測量》：圓面積等於一個以此圓半徑 為高、圓周長為底之直角三角形的面積 阿基米德圓面積公式 r 2r2r

34 34 球表面積 = 外切圓柱側面積 = 4  r 2 r r

35 35 球表面積等於外切圓柱側面積 r 2r2r

36 36 r  r sin  hh 圓球上斜圈面積 = 2  r  h = 圓柱上環圈面積    hh

37 37

38 38 麥卡托投影地圖 38

39 39 39 阿基米德：球表面積 =4  r 2 ，所以球體積 = r

40 40 阿基米德的驕傲 外切圓柱體表面積：圓球表面積 =3:2 外切圓柱體體積：圓球體積 =3:2

41 41 2500 BC~1500 BC1500 BC~600 BC322 BC~185 BC 印度河流域文明約誕生 於西元前 2500 年 但在西元前 1500 左右突 然消失 進入吠陀時代 著名經典為吠陀經 宗教為婆羅門教 孔雀王朝的第三 任皇帝阿育王將 佛教推廣至全國 西元前 562 年釋迦摩尼誕生 印度吠陀時代

42 42

43 43

44 44 吠陀圖形乘法

45 45 納皮爾 (John Napier, 1550~1617) 蘇格蘭數學家、物 理學家兼天文學家 熱衷於政治、神學 與占星，是個怪咖 預言世界末日將在 1688 年或者 1700 年 到來

46 46 納皮爾計算尺 (Napier Bones)

47 47 納皮爾計算尺 ( 骨頭 ) (Napier Bones)

48 48 46785399  7

49 49 46785399  96431

50 50 從解方程式到抽象代數 中外古文明均發展各類算則 ( 演算法 ) 以見 招拆招的方式解決不同的算術問題。 西元 1600 年以前算術解法均以文字敘述 方式表示。 歐洲文藝復興時期掀起三次與四次方程 解題大戰。

51 51 x 3 +mx=n 之解

52 52 文藝復興時期解方程簡史 德費洛 (del Ferro) 解出不完全三次方程式 x 3 +mx=n 方特那 (Fontana) 解不完全三次方程式 x 3 +mx 2 =n 卡當諾 (Cardano) 得出 x 3 +mx=n 公式解， 並以代換方式求出一般三次方程式的解 四次方程透過代換降為三次方程

53 53 五次方程有公式解嗎？

54 54 阿貝爾 (Niels Henrik Abel, 1802–1829) 生於挪威 一生貧困但不潦倒 高中時即熟讀歐拉、 拉普拉斯、高斯等人 之數學作品 高中老師 Holmboe ： 他充滿無可置信的天 分與對數學的熱愛。 假以時日必成為最偉 大的數學家之一

55 55 思考歷程 原先證明五次方程式有根式通解。 Holmboe 和兩位數學家看過之後均認為證 明無誤。 丹麥數學家 Ferdinand Degen 要求阿貝爾 求出方程式 x 5 + 2x 4 +3x 2  4x+5=0 之解。 阿貝爾發現自己之錯誤。 苦思許久後開始嘗試證明五次方程式沒 有根式通解。

56 56 請閣下審閱在 下有關五次方 程式無根式解 的證明 高斯：這小 子是誰？難 道不知道我 很忙嗎？ 56

57 57 柯西：咦？那 位年輕人的論 文被我放到那 兒去了？ 請閣下審閱在 下有關五次方 程式無根式解 的證明 Abel 於 1826 年 10 月 30 提交論文給法國科學院

58 58 久無下文，於 1826 年 12 月 26 日又至德國 由於盤纏用盡，身染重病，於 1827 年 5 月 20 返回挪威，繼續整理論文 1828 年初吐血，經診斷為肺結核 1829 年 4 月 6 日與世長辭 1829 年 4 月 8 日德國朋友 Crelle 寫信告知： 親愛的朋友，告訴你一個好消息。敝國 教育部長已經決定聘僱你到柏林工作！

59 59 伽羅瓦 (Évariste Galois,1811-1832) 生於法國，書香世家 12 歲以前， Galois 的 教育全部由他的母親 負責 父親在 Galois 4 歲時 被選為 Bourg La Reine 的市長 16 歲開始跟隨 Vernier 老師學習數學，引爆 對數學的熱情

60 60 一連串的不幸 報考工藝大學兩次均名落孫山 父親於第二次考試前夕自盡身亡 建立「群論」用以證明五次方程式並無根 式解存在，於 1829 年 5 月 25 日將論文提交 法國科學院

61 61 請閣下審閱在 下有關五次方 程式無根式解 的證明 柯西：我原本 今天要報告關 於伽羅瓦的論 文審查結果， 不過身體有點 不舒服 …… 61 科西原預定 1830 年 1 月 18 日 報告結果, 不過 請假。但是於 1 月 25 日的報告 中卻無提及。

62 62 請閣下審閱 在下有關五 次方程式無 根式解的證 明 傅利葉：不好意思， 我已於 5 月 16 日蒙 主寵召，來不及看 你的論文 …… 62 1830 年 2 月提 交論文角逐論 文獎

63 63 一場死亡約會 1832 年 5 月 30 日清晨，一位路人發現腹部 中彈的伽羅瓦 …… 1832 年 5 月 31 日上午 10:00 伽羅瓦氣絕身亡 Why?

64 64 群 (group) 的定義 群是由一個集合 G 以及一個運算 * 所組成 的結構 (G,*) ，並滿足下列條件： (1) 封閉律 (closure): a  G, b  G  a*b  G (2) 結合律 (association): a*(b*c)=(a*b)*c (3) 單位元 (identity):  e  a*e=a (4) 逆元 (inverse):  a  1  a*a  1 =e

65 65 伽羅瓦的貢獻 19 世紀以前，數學家求解方程式一直是 以方程式的次數分類。但伽羅瓦卻改以 探究方程式根的結構分類。將向來依據 操作演算的求解方程進階到抽象代數的 領域。

66 66 數字拼版遊戲 1234 5678 9101215 131411

67 67 數字拼版遊戲 1234 67812 5101115 91314

68 68 古埃及分數表示法的疑惑 古埃及分數表示法要求將任何分數都分 解為分母相異的單位分數之和。是否所 有的分數都可以用這種方式表示？ 工作坊問題 ( 一 )

69 69 9 8 8 古埃及萊因草紙第 50 題：直徑為 9 的圓形面積等於邊長 為 8 的正方形面積。你能猜出當時他們是如何得到這個 算法？ 工作坊問題 ( 二 )

70 70 阿基米德在《論圓的測量》中證明： 圓面積等於一個以此圓半徑為高、圓周長為底之直角 三角形的面積。你能猜出他是怎麼得到這個想法？ 阿基米德圓面積公式 r 2r2r 工作坊問題 ( 三 )

71 71 工作坊問題 ( 四 ) 古巴比倫流傳一個遺產分 配的故事。一老翁有七位 兒子，老翁過世後遺囑交 代，老么分得 2 兩黃金， 老六比老七多 1/6 ，老五 比老六又多 1/6 ，餘依此 類推。左邊泥板從倒數第 二行開始記載著七位兒子 分得的黃金重量。但考古 學家發現倒數第四行最後 一個數字模糊了，你能算 出該數字為何嗎？

72 72 為什麼阿基米德求出球表面積 =4  r 2 後， 能立即猜測出球體積 = r 工作坊問題 ( 五 )

73 73 請解釋利用吠陀圖形乘法求 21×32=672 的原理 工作坊問題 ( 六 ~1) 672

74 74 請解釋利用吠陀圖形乘法求 12×34=408 的原理 工作坊問題 ( 六 ~2) 3 10 8

75 75 請解釋納皮爾骨頭的乘法原理 工作坊問題 ( 七 )

76 76 數字拼版遊戲 1234 5678 9101112 131415 1234 5678 9101112 131514 請問如何將左圖中的 14 與 15 對調成右圖？請解釋你的 作法或想法？ 工作坊問題 ( 八 )

77 77

78 78 球體面積與體積 總底面積 = 球體面積 圓錐體積 =1/3( 底面積 × 高 )  球體體積 =  球體面積  r r

79 79 數字拼版遊戲 1234 5678 9101112 131415 1234 5678 9101215 131411 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 13 14 11 倒置 6 次

80 80 數字拼版遊戲 1234 67812 5101115 91314 1234 5678 9101112 131415 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 6 7 8 12 5 10 11 15 9 13 14 倒置 10 次

81 81 數字拼版遊戲 1234 5678 9101112 131415 1234 5678 9101112 131514 如何移動才能將 14 與 15 調換？ 倒置數為 1 ，奇數，不可能！

82 82 數字拼版遊戲 1234 5678 9101112 131415 1234 5678 9101112 131514 倒置數為 1 ，奇數，不可能！ 工作坊問題 ( 八 )

83 83 問題的啟示 只要掌握問題的基本結構，不必逐 步運算就可以知道答案！

84 84 數學史能為老師做些什麼  理解學生學習的困難 教材安排的指引 對數學知識與思考本質的認識

85 85 教材安排的指引 以歷史觀點取代現今觀點安排教材 歷史發展困難之所在亦可能為學生認知障礙之 所在 ( 種系發生學 ) 歷史上數學家之智慧可做為現今教學之啟發

86 86 數學史是有效的教學媒介嗎 ? Annie Seldon: Is there any evidence showing that including the history of mathematics is effective in the teaching of mathematics ? 教學的目的  什麼樣的教學才叫有效  無任何證據顯示數學史可以幫助學生考高分 發展其數學觀點並進一步改進學習行為

87 87 如何 “ 使用 ” 數學史 ? 如何在已嫌擁擠的課程中擺入數學史 ? 教數學史就是在教數學本身 數學史不可以和課程分離 “ 整合 ” 數學史與課程而不僅是在教學中 “ 使 用 ” 數學史

88 88 宏觀數學 微觀數學 透視數學