1 主要内容 : 1. 微分的概念. 2. 微分的几何意义. 3. 微分的运算 4. 微分在近似计算中的应用 2.5 微分.

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1 1 主要内容 : 1. 微分的概念. 2. 微分的几何意义. 3. 微分的运算 4. 微分在近似计算中的应用 2.5 微分

2 2 一、微分的定义 A=x02A=x02 x0x0 x0x0 xx xx x0xx0x x0xx0x (x)2(x)2 引例 : 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其边长 x 由 问此金属薄 片的面积 A 改变了多少？ 因为 所以金属薄片 的面积改变量为 的主要部分，可以 近似的代替 的线性函数, 是

3 3 （ A 为不依赖于△ x 的常数） 则称函数 y = f(x) 在点可微，而 称为 f(x) 的微分，记作 dy 或 df ， 在点 求函数 （１）当由１变到 1.01 时的微分 （２）在时 x=3 的微分. （１） （２） 解 若函数 在点的增量可表示为定义 例１ 即

4 4 函数 在点 可微的充要条件是 y=f(x) 在点 处可导，且 即 “ 必要性 ” 已知 y=f(x) 在点可微，则 故 y=f(x) 在点 可导， 定理 证 且

5 5 函数 在点 可微的充要条件是 y=f(x) 在点 处可导，且 即 证： “ 充分性 ” 已知 y=f(x) 在点可导，则 故 即 定理

6 6 自变量的微分： 因为当 y=x 时， 所以通常把自变量 x 的增量称为自变量的微分， 记作 dx, 即 因此，函数 y=f(x) 的微分又记作

7 7 增量与微分的关系 : 根据等价无穷小的性质, 从而 结论 :

8 8 二 、微分的几何意义 很小时, 则有 从而 导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 自变量的微分, 记作 记

9 9 (e x)e x(e x)e x (x  )  x  1 (sin x)  cos x (cos x)  sin x (tan x)  sec 2 x (cot x)  csc 2 x (sec x)  sec x tan x (csc x)  csc x cot x (a x )  a x ln a d(x  )  x  1 dx d(sin x)  cos xdx d(cos x)  sin xdx d(tan x)  sec 2 xdx d(cot x)  csc 2 xdx d(sec x)  sec x tan xdx d(csc x)  csc x cot xdx d(a x )  a x ln adx d(e x )  e x dx 1 ．基本初等函数的微分公式 三、微分公式与微分运算法则

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11 11 2. 函数和、差、积、商的微分法则 求导法则 : 微分法则 :

12 12 3. 微分形式的不变性 由于所以, 复合函数 的微分公式也可以写成 由此可见, 无论 u 是自变量还是另一个变量的可微 函数， 微分形式 保持不变． 这一性质称为微分形式的不变性． 的微分为 设及 都可导，则复合函数

13 13 例２ （方法一） （方法二） 把 2x+1 看成中间变量 u ，则 在求复合函数导数时，可以不写出中间变量． 例３ 解 解

14 14 对所给方程两边分别求导，得 即 例４ 解 求由方程 所确定的隐函数 y 的导数

15 15 在下列不等式左端的括号中填上适当的函数， 使等式成立． （１）因为 所以 一般地，有 （２）因为所以 因此 例５ 解

16 16 如果函数 y=f(x) 在点 处的导数 很小时，我们有 那么又有 四、微分在近似计算中的应用

17 17 １．利用公式求函数增量的近似值 半径为 10 厘米的金属圆片加热后, 半径伸长 了 0.05 厘米, 问面积增大了多少 ? 设圆面积为 A, 半径为 r, 则 现在已知 r=10 厘米， 由公式 得 即面积增大 3.14 平方厘米. 例６ 解 厘米，

18 18 2. 利用公式 求函数在 附近的值 利用微分计算的近似值。 解 即 例7例7

19 19 3. 利用公式求函数在 x=0 附近的值. 常用的近似公式（假定 是较小的数值） : (1) 设 于是 代入公式 得 即 证明

20 20 计算下列各式的近似值. (1) 应用近似公式 (1), 因为 n=2, 所以 于是 (2) 仍用近似公式 (1), 因为 n=3, 所以 这时必须先将变形，使它满足 的形式（注意 要比较小），因为 所以 (3) 应用近似公式 (3) 得 例8例8 解

21 21 五、内容小结 1. 微分概念 微分的定义及几何意义 可导 可微 2. 微分运算法则 微分形式不变性 : ( u 是自变量或中间变量 ) 3. 微分的应用 近似计算

22 22 1(1)(2)(3) 2(1)(2) 六 、 作业