5.4 微 分 一、微分概念 二、微分的运算法则与公式 三、微分在近似计算上的应用. 引例 一块正方形金属片受热后其边长 x 由 x 0 变到 x 0  x  考查此薄片的面积 A 的改变情况  因为 A  x 2  所以金属片面 积的改变量为  A  (x 0 

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1 5.4 微 分 一、微分概念 二、微分的运算法则与公式 三、微分在近似计算上的应用

2 引例 一块正方形金属片受热后其边长 x 由 x 0 变到 x 0  x  考查此薄片的面积 A 的改变情况  因为 A  x 2  所以金属片面 积的改变量为  A  (x 0  x) 2  (x 0 ) 2  2x 0  x  (  x) 2  Ax02Ax02 x0x0 x0x0 xx xx x0xx0x x0xx0x (x)2(x)2 当  x  0 时  (  x) 2  o(  x )   A 的主要部分是  x 的线性函 数 2x 0  x  2x 0  x 是  A 的近似值 

3 设函数 y  f(x) 在某区间内有定义  x 0 及 x 0  x 在这区 间内  如果函数的增量  y  f(x 0  x)  f(x 0 ) 可表示为  y  A  x  o(  x)  其中 A 是不依赖于  x 的常数  o(  x) 是比  x 高阶的无穷小  那么称函数 y  f(x) 在点 x 0 是可微的  而 A  x 叫做函数 y  f(x) 在点 x 0 相应于自变量增量  x 的微分  记作  即 一、微分概念

4 定理 证 (1) 必要性 可微的条件

5 (2) 充分性

6 说明 : 很小时, 有近似公式 故当

7 微分的几何意义 当 很小时, 切线纵坐标的增量

8 例1例1

9 则有 从而 导数也叫作微商 自变量的微分, 记作

10 二、微分运算法则与公式 d(x  )  x  1 dx d(sin x)  cos xdx d(cos x)  sin xdx d(tan x)  sec 2 xdx d(cot x)  csc 2 xdx d(sec x)  sec x tan xdx d(csc x)  csc x cot xdx d(a x )  a x ln adx d(e x )  e x dx (x  )  x  1 (sin x)  cos x (cos x)  sin x (tan x)  sec 2 x (cot x)  csc 2 x (sec x)  sec x tan x (csc x)  csc x cot x (a x )  a x ln a (e x )  e x 微分公式 : 导数公式 : 1. 基本初等函数的微分公式

11 微分公式 : 导数公式 :

12 2. 函数和、差、积、商的微分法则 求导法则 微分法则 (u  v)  u  v (Cu)  Cu (u  v)  uv  uv d(u  v)  du  dv d(Cu)  Cdu d(u  v)  vdu  udv

13 设 y  f(u) 及 u  (x) 可微  则复合函数 y  f[  (x)] 的微分为 dy  y x dx  f (u)  (x) dx  因为  (x)dx  du  所以  复合函数 y  f [  (x)] 的微分公 式也可以写成 dy  f (u) du 或 dy  y u du  3. 复合函数的微分法则 由此可见  无论 u 是自变量还是另一个变量的可微函 数  微分形式 dy  f (u) du 保持不变  这一性质称为微分 形式不变性 

14 例 2 )1ln( 2 x ey   求 dy 解

15  例 4 y  tan 2 (1  2x 2 )  求 dy   2tan(1  2x 2 )  sec 2 (1  2x 2 )  4xdx  2tan(1  2x 2 )  sec 2 (1  2x 2 )d(1  2x 2 ) dy  d tan 2 (1  2x 2 )  2tan(1  2x 2 ) d tan(1  2x 2 ) 应用微分法则  得 解  8x  tan(1  2x 2 )  sec 2 (1  2x 2 )dx 

16 三、微分在近似计算中的应用 当很小时, 使用原则 : 得近似等式 :

17 特别当 很小时, 常用近似公式 : 很小 ) 证明 令 得

18 的近似值. 解 设 取 则 例 5 求

19 的近似值. 解 例 6. 计算