高等数学 B （ 1 ） 微分概念及计算. 高等数学 B （ 1 ） 一、微分的概念 在许多实际问题中，我们不仅要知道由自变量 引起的函数变化的快慢程度问题，而且还要了解 函数在某一点当自变量取一个微小改变 量 △ x 时，函数取的相应的改变量 △ y 的大小， 计算△ y 的精确值一般比较繁。先看下面的问题.

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1 高等数学 B （ 1 ） 微分概念及计算

2 高等数学 B （ 1 ） 一、微分的概念 在许多实际问题中，我们不仅要知道由自变量 引起的函数变化的快慢程度问题，而且还要了解 函数在某一点当自变量取一个微小改变 量 △ x 时，函数取的相应的改变量 △ y 的大小， 计算△ y 的精确值一般比较繁。先看下面的问题

3 高等数学 B （ 1 ） 我们知道 y=f(x) 在点 x0 可导 在点 x0 给 x 以△ x ，则相应有△ y ，且 = A (*) 由 p17 结论知 若 =A f(x)=A+α(x) 其中 =0 ，

4 高等数学 B （ 1 ） 则 (*) 式可写为 =A+α( △ x) 则 △ y=A △ x+α( △ x) △ x 其中 =0 即 △ y=A △ x+o( △ x) o( △ x)- △ x 的高阶无穷小 当△ x 无限趋于 0 时， o( △ x) 比△ x 更快地趋于 0 ， 则△ y 的值主要由 A △ x 决定（主要部分）。

5 高等数学 B （ 1 ） 因△ y 与 A △ x 是线性（一次）关系，故 A △ x 为△ y 的线性主部. 将它定义为 y=f(x) 在点 的 微分，记为 dy 或 df ，即 dy=A △ x 或 df=A △ x 。 可以证明 A=, 即 dy= △ x df= △ x 即： y=f(x) 在 的微分 --- y=f(x) 在 的导数 乘以自变量 x 的改变量。

6 高等数学 B （ 1 ） 例如 y= 在 x=1 ， dy= △ x=2 △ x 注 ： 1 ）可以证明△ x=dx( ∵ dx=x/ △ x = △ x) 一般可记微分为 dy= dx 由上式得 = --- 此式说明导数即微分之商。

7 高等数学 B （ 1 ） 2) 可微 可导。等价的两个概念。

8 高等数学 B （ 1 ） 二、微分运算 导数基本公式、运算公式，大家已经很熟 悉，那么微分基本公式和运算有何不同呢？ 由定义式 dy=f ′ (x 0 )dx 可知，两组公式 实际上是一样的。如 (sinx) ′ = cosx =cosx → d(sinx)= cosxdx

9 高等数学 B （ 1 ） (e x ) ′=e x d( e x ) =e x dx (tanx)′= d(tanx)= dx 等等。 通过同样的方法，可以推导出微分所有的 基本公式。

10 高等数学 B （ 1 ） 这样来看，我们可以只背一套公式 ---- 求导 公式；只掌握一种方法 --- 求导法，就可以解决 一般的、较简单的微分问题。当然微分有自己 单独的一套运算法则和公式，同学们可以对照 学习。

11 高等数学 B （ 1 ） 1) 求微分，只须求出导数，乘上 dx 即可。

12 高等数学 B （ 1 ） 例 y=cos(2x+1) 解： dy=d[cos(2x+1)] =-sin(2x+1)d(2x+1) =-2sin(2x+1)dx

13 高等数学 B （ 1 ） 例 y=ln(1+x) 求 dy, dy ∣ x=1 解： dy=[ln(1+x)] / dx = d(1+x)= dx dy ∣ x=1 = dx

14 高等数学 B （ 1 ） 例 y=tan2x+2 sinx ，求 dy 解： dy=d(tan2x)+d(2 sinx ) =sec 2 2xd(2x)+2 sinx ln2d(sinx) =2sec 2 2xdx+2 sinx ln2cosxdx =(2sec 2 2x+2 sinx ln2cosx)dx

15 高等数学 B （ 1 ） 二、高阶导数 一般地，若 f (n-1) (x) 存在，且 [f (n-1) (x)] / 也 存在等于 A ，则称 A 为 f(x) 的 n 阶导数。 如 f / (x) 存在且可导， 则 [f / (x)] / =f // (x)---- 二阶导数 f // (x) 可导， [f // (x)] / =f /// (x)---- 则三阶导数

16 高等数学 B （ 1 ） 以此类推， n-1 阶导数求导得 n 阶导数。 = f (n) (x)= [f (n-1) (x) ] / 称二阶以上的导数为高阶导数。 要求掌握二阶以下显函数导数的求法。

17 高等数学 B （ 1 ） 例 求 y=6x 3 的各阶导数 解： y / =6×3x 2 y // =6×3×2x y /// =6×3×2×1=6×3 ﹗ y (4) =y (5) = … =y (n) =0

18 高等数学 B （ 1 ） 例 y=e x 解： y / =e x y // =e x ， … ， y (n) =e x

19 高等数学 B （ 1 ） 例 y=cot2x 求 y // (1) 解：与一阶导数相同 y // (1)= y // (x) ︱ x=1 y / = - =-