1 Field and Wave Electromagnetics Edited by David K. Cheng.

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1 1 Field and Wave Electromagnetics Edited by David K. Cheng

2 2 牛津大学自然科学入学面试 1890 考官：什么是电 (electricity)? 考生：哦，老师，我知道。我确定学过什么是电，我以 前肯定知道。但是 …… 现在我忘记了。 考官：多么地不幸啊。只有两个人知道什么是电，一个 是造物主，还有一个就是你。可是现在，其中一个人 已经忘记了。 沈建其引自约翰. 巴罗《宇宙之书：从托勒密、爱因斯坦到多重宇宙》 p.194 （人民邮电出版社， 2014 ）

3 3 Chapter 3 Static Electric Field Field: A spatial distribution of a scalar or vector quantity which may or may not be a function of time. 1.Fundamental postulates of electrostatics in free space 2.Coulomb’s law 3.Gauss’s law 4.Conductors in static electric field 5.Dielectrics in static electric field 6.Electric flux density (electric displacement vector, D) 7.Boundary conditions for electrostatic fields 8.Capacitance and capacitors 9.Electrostatic energy and forces

4 4 3.2 Fundamental postulate of electrostatics in free space  The two fundamental postulates:  Electric field intensity ( Electric field strength ): (V/m); Force per unit charge (ρ: Volume density, ε 0 : permittivity of free space) Static E fields are irrotational! ( 静电场是无旋场 ) The two equations hold at every spatial point and are referred to as the differential forms of the postulates. 从上面两个方程看出，静电场是无旋有源（有散度）的场。

5 5  Take volume integral and apply divergence theorem ( 把体积分化为闭合 曲面积分 )  Take line integral and apply Stokes’s theorem ( 把面积分化为环路积分 ) Gauss’s Law: the total outward of the electric intensity (electric flux) over any closed surface is equal to the total charge enclosed by the surface （被闭合曲面包围）. [ 高斯定律：向外的电通量等于被闭合曲面包围的电荷数 ] Equivalent to the Kirchhoff’s voltage law （下一页会再讲） ; The line integral between two points is irrelevant to the path; Static electric field is irrotational (conservative) 【 conservative ：保守的 】 无旋的场，也即保守场。 These two postulates represent laws of nature. 所以，静电场是无旋（保守）、有源（有散度）的场。请与磁场比较（磁场是无源有旋场）。

6 6 这个式子的物理意义： 1 ）在静电场中，你拉动一个电荷，沿着一个闭 合路径回到出发点，最终电场力做净功为零 （这就是 conservative 的含义）； 2 ）电路中的基尔霍夫（ Kirchhoff ）电压定律： 基尔霍夫电压定律 (Kirchhoff laws) 是电路中电压 所遵循的基本规律，是分析和计算较为复杂 电路的基础， 1845 年由德国物理学家 G.R. 基尔霍夫（ Gustav Robert Kirchhoff ， 1824 ～ 1887 ）提出。 在任何一个闭合回路中，各元件上的电压降的代数和等于电动 势的代数和，即从一点出发绕回路一周回到该点时，各段电压 的代数和恒等于零，即 ∑U=0.

7 7 3.3 Coulomb’s Law A point source of charge q at R’ and find the electric field E p at R (at point p): or Coulomb’s Law q 1 at R’ and q 2 at R 点电荷的电场强度是随着距离平方反比的 (inverse-square law ) 因为球对称和各向同性，所以 Ep 可以提取出来 Ep 与面积矢量的方向都是垂直球面、指向球外。 is a unit vector ( 垂直球面、指向球外 )

8 8 3.3.1 Electric field due to a system of discrete charges  Total field at a point E: vector sum of the fields from all the individual charges  Electric dipole: a pair of equal and opposite charges +q and -q separated by a small distance d d << R 注：电单极子（点电荷）的电场强度在数值 上与距离平方成反比（且各向同性，与角度 θ 、 φ 无关）。 注：电偶极矩的电场强度在数值上与距 离三次方成反比（且不再各向同性，与 角度 θ 、 φ 有关），因此衰减更快。 D. K. Cheng ， p. 83.

9 9  Electric dipole moment, p: If p is along z axis, then  Electric field E of a electric dipole in spherical coordinate Cubic dependence on R 要记忆 注：电偶极矩的电场强度在数值上与距离三次方成反比（且不再各向同性， 与角度 θ 、 φ 有关），因此衰减更快。 D. K. Cheng ， p. 84. 该式的证明在下一 页 ppt

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11 11 3.3.2 Electric field due to a continuous distribution of charge  Electric field E of a differential volume charge ρdv’:  Total electric field E : (ρ s : surface charge density ) (ρ l : line charge density ) (ρ: volume charge density ) 带撇的坐标表示源的位置，不带撇的坐标，表 示我们要计算的场强的位置（点）。

12 12 3.4 Gauss’s Law and Applications Suitable for symmetry condition with proper surface Example 1: Find E for an infinite uniform line charge Example 2: Find E for an infinite uniform surface charge 用高斯定律很容易求出一些具有对称性的电荷分布 的电场强度（如无限长的线电荷、无限宽的面电荷） 无穷长线电荷、无限宽的面电荷的电场表达式要记住，至少要记 住与 r 的关系（线电荷的 E 与 r 反比，面电荷的 E 与 r 无关）

13 13 前面的公式，只适用于无限长线电荷、无限宽面电荷。但如果线 电荷足够长、面电荷足够宽，则这些公式也适用于这些情况。 一根长 10 厘米的线电荷、一张长宽为 10 厘米的面电荷，在远距离 （如几米之外）看来，也是近似的点电荷（电场遵守平方反比定 律），但在靠近它们时， E 就不再满足平方反比定律，改为遵守 线电荷、面电荷的电场规律。 超弦理论认为，我们的三维空间乃是十维空间的一张膜。物理学 家一直在通过检验牛顿引力对于平方反比律的偏离来寻找那些高 维度（例如，四维空间中的牛顿引力定律就与距离三次方成反比 ）。 如果真的有高维度，那么我们的指甲缝里面 说不定有一个浩瀚的宇宙（在我们三维空间 看来，它很小，但在七维空间看来，它体积 巨大，甚至包含着几个星系）。

14 14 3.5 Electric Potential  A scalar electric potential V:  Potential difference (electrostatic voltage) between points P 2 and P 1 : In most cases, the zero-potential point is taken at infinity.  Field lines are perpendicular to the equipotential lines (surface) everywhere. 电力线垂直于等势线，因为 E 是势 V 的梯度（梯度 是最大方向导数，是势下降最快的方向）。 因为 E 的旋度为零，这意味着 E 必然可以表示为 一个标量的梯度（因为梯度的旋度恒为零）

15 15 3.5.1 Electric Potential due to a charge distribution  Electric potential of a point at a distance R from a point charge q:  Electric potential at R from a charge distribution: Easier to determine E by taking the negative gradient, i.e., (a) From n changes （很多个点电荷的势，用求和） (a) From changes of volume density ρ 连续分布的体电荷的势，用积分 带撇的坐标表 示源的位置， 不带撇的坐标， 表示我们要计 算的场强的位 置（点）。

16 16 3.6 Conductors in Static Electric Field  Conductor, semiconductor, insulator (dielectric)  Inside a conductor, under static conductions we have  Boundary conditions at a conductor/free-space interface: For a neutral conductor placed in a static field, the induced electric field will cancel the external field both inside the conductor and tangent to its surface. （这就是静电屏蔽效应，导体是一个等势体，内部 E=0 。只要导体还不是等势体，内部 E 不为零， 就会驱动内部的自由电子气到表面，使得电荷在导体表面迅速重新排布，直到内部 E 被抵消为 止，不再驱动内部自由电子，导体就成为了等势体。所以，导体总是一个等势体） Tangential component ( 导体表面，切向电场必为零。如果不为零，就会驱动电荷， 迅速重新排布，直到使得切向电场为零为止 ): Normal component ( 导体表面法向电场不为零。注意：这个 “ 法向 ” ， 是在导体外部的法向，不是在内部的法向。内部电场 E 恒为零 ): 导体，通常就是指金属，内部有自由电子气体 (free electron gas) 。 导体的电性质：内部没有净余电荷；内部 E=0 （等势体）。

17 17 3.7 Dielectrics in Static Electric Field Induced electric dipoles Polar molecule Electret （ 驻极体 ） [ ɪ 'lektr ɪ t] Dielectric ，介质（电介质）。虽然金属导体也算一种介质，但根据一般习惯， 文献中所谓的介质，不含金属，主要是指绝缘体（例如玻璃、塑料、水、空气）。 例如，高聚物驻极体（ polymeric electret ） 是在无外电场作用下，能半永久保持电极化 状态、并向周围环境施加电作用力的聚合物 电介质（如聚四氟乙烯 ）。 看图说话：右边电势低，所以电偶极矩的正极就指 向右边，负极指向左边（因为左边电势高） 在外电场作用下，均匀电介质（绝缘体）内部 净电荷数为零，但在表面上显示有极化电荷 (polarized charge) （注：它们不是自由电荷） 注：凝聚态物理中区分导体和绝缘体，依靠禁带（位于价带和导带之间）的宽度大 小。但在这里我们区分导体和绝缘体，用的是其电学性质。殊途同归。

18 18  Polarization vectors P, as P: 极化强度矢量（ polarization vector ） 含义：单位体积内的电偶极矩 P is the volume density of electric dipole moment. The dipole moment dp of an element volume dv’ is dp=Pdv’, which produces a potential: The potential V due to the dielectric: (R is the distance from the volume dv’ （源） to the fixed field point （即 测量势 V 的那一点） ) 从这个单位看出，极化强度矢量 的单位与面电荷密度的单位一样 （确实，对于电介质，它内部的 P 在数值上就等于它表面上的面 电荷密度） 该式的原型位于 p.95 （ 3-53 ） 带撇的坐标表示源的位置， 不带撇的坐标，表示我们 要计算的场强的位置 （点）。

19 19 Divergence theorem Boundary charge density: Polarization charge density: 表面极化电荷密度（面电荷 密度）与 P （极化强度 ) 在数 值上相等 极化体电荷密度（ polarized volume charge density ） D. K. Cheng, p. 107 推导更详细

20 20  Total net charges Q flowing out of a surface S bounding ( 接壤 ) a volume V:  For a originally neutral dielectric body: 诠释：如果把电介质表面看作皮，扣除表面的那部分体积看作瓤，上面就 在计算瓤中的电荷，它是表面电荷的 -1 倍。 这里利用了数学中的高斯定理 （把面积分化为体积分）

21 21 对于电介质，它内部的 P 在数值上就等于它表面上的面电荷密度 （一种直观证法）

22 22 3.8 Electric Flux Density and Dielectric Constant  Gauss’s equation in the dielectric:  Electric flux density or electric displacement, D: or Gauss’s equation (Differential form) (Integral form) Free charges Free charge density Polarized charge density Free charge density D 有两个称呼： 电通量密度（根据物理含义）、电位移矢量 （根据历史上 Maxwell 提出时的历史过程）

23 23 The total outward flux of the electric displacement over any closed surface is equal the total free charge enclosed in the surface.  Polarization for linear and isotropic system: Where relative permittivity or dielectric constant is defined by Then, χ e : Electric susceptibility 虽然也称呼为 dielectric constant （介电常数），但常数 不常，一般是频率的函数。如水 在低频下的介电常数为 81 ，但在 可见光时大约是 2.7.

24 24 Anisotropic medium （各向异性介质） Biaxial medium （双轴各向异性介质） Uniaxial anisotropic medium （单轴各向异性介质） Isotropic medium （各向同性介质） Dielectric constant (Complex in general) Dielectric constant 也可以是张量（称为介电张量，用来描述各向异性材料）

25 25 所谓单轴（ Uniaxial ）、双轴（ Biaxial ），乃是指晶体的光 轴的条数。所谓光轴，即如果光沿着该方向传播，晶体内 o 光（寻常光）和 e 光（非常光）的波速相等。 Dielectric constant 也可以是张量 tensor （称为介电张量，用来描述各向异性材料）. 张量（ tensor ）, 乃矢量（ vector ）的矢量（在每个矢量分量上再长出一个分 量），所以，张量就有九个分量。半导体内的电子质量就是一个张量，于是 牛顿第二定律 F=ma 就变为了这个样子 这说明： X 方向的力，也产生了 y 和 z 方向的加速度，这好比你拳击一个面团， 面团变形，面团上的点在其它分量上也有加速度。 广义的张量：零阶张量（即标量）、半阶张量（即旋量，如电子波函数）、 一阶张量（即矢量）、二阶张量（即传统的张量）。 一阶张量（矢量）旋转 360 度，即可复位；二阶张量，旋转 180 即可复位；半 阶张量（即旋量）要旋转 720 度，才可以复位。

26 26 3.9 Boundary Conditions for Electrostatic Fields At the interface of two general media, we write the line integral of E around a closed path by Therefore, The tangential component of an E field is continuous. (1) (2) The normal component of D field is discontinuous and the discontinuity is equal to the surface charges. If the surface charge is absent, the normal component of D field is continuous across the interface.

27 27 3.10 Capacitance and Capacitors  Capacitance C: C is dependent on the geometry of the conductors and on the permittivity the surrounding medium. How to find C: 三个最简单 而又很典型 的电容器 （要自学）： 平板电容器、 柱形 ( 同轴 ) 电 容器、球形 电容器（ D. K. Cheng, p.123-125 ）

28 28  Capacitance in multiconductor systems  Electrostatic Shielding D. K. Cheng, p. 129-133 ( 一般了解 ) 附录：一道高中物理题 设电容器电容为 C ，上板带电荷为 +Q, 下板带电荷为 -Q ，则两板电压差为 U=Q/C 。现在，若上板带电荷为 +5Q, 下板带电荷为 -Q ，则电压差为多少？ 答案： U=3Q/C

29 29 3.11 Electrostatic Energy and Forces  Electric potential at a point in an electric field is the work required to bring a unit charge from infinity to that point.  The work W 2 required to move a charge Q 2 in the field of charge Q 1 : (R 12 is the moved distance) Or equally,

30 30  Bring another charge Q 3 : Additional work ΔW required: Total work ΔW required:

31 31  General expression of potential energy W e for n discrete charges: Potential at Q k : Two remarks: W e can be negative; W e represents the interaction energy (mutual energy), not including the energy to assemble the charges themselves.  Energy unit: Joule (J) and electron Voltage (eV) For continuous charges ρdv: 之所以要乘以 1/2 ，是因为电势能被重复计算了（你在 我的势场内具有的势能与我在你的势场内具有的势能 是同一个，但在求和时，被算了两次。） 一电子伏特大约是一个 分子所释放的化学能。 一个原子核所释放的核 能可达 MeV （兆电子伏 特）。一个 X 光子的能 量可为千电子伏特。

32 32  W e in terms of E and/or D: 3.11.1 Electrostatic Energy In Terms of Field Quantities Using, we have As we let R  ∞ ，

33 33 Use D = εE, we have  Electrostatic energy density w e and

34 34 3.11.2 Electrostatic Forces  Limit of Goulomb’s law in solving the force of complex charge systems  Calculate electrostatic forces F Q from the energy: Method: Principle of virtual displacement （虚位移原理（可以帮助我们 计算力的大小，包括静态体系内的力。静态体系内无位移，但我们可 以假设有一个位移，看看势能改变多少，就可以计算出力），也称呼 为 “ 虚功原理 ” ） The mechanic work dW done by displacing the one charged body by a virtual differential distance （虚拟的微分距离） : Isolated system Gradient of a scalar (2-28, p43) Electrostatic Force: 这是普遍成立的式子（对一个体系的势能，求梯度，再添负号，即为该体系内的 两部分之间的力。如 F 为负，则是吸引力； F 为正，则是排斥力）

35 35 生活中的 “ 光与电 ” 之一： 卫星观察到的东亚以及朝鲜半岛 “ 三八线 ” 朝鲜半岛 “ 三八线 ” 以南灯火通明，以北则一片漆黑

36 36 生活中的 “ 光与电 ” 之二： 光电系系歌 Super Star 你是电, 你是光, 你是唯一的神话 You are my superstar.