第三章 微分中值定理与 导数的应用. 3.1 微分中值定理 3.3 洛必达法则 3.2 泰勒公式 3.4 函数的单调性 3.9 曲率 3.8 函数图形的描绘 3.5 函数的极值 3.7 曲线的凹凸性及拐点 3.6 函数的最值及其应用.

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1 第三章 微分中值定理与 导数的应用

2 3.1 微分中值定理 3.3 洛必达法则 3.2 泰勒公式 3.4 函数的单调性 3.9 曲率 3.8 函数图形的描绘 3.5 函数的极值 3.7 曲线的凹凸性及拐点 3.6 函数的最值及其应用

3 3.1 微分中值定理

4 四、小结 一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理

5 一、罗尔 (Rolle) 定理

6 费马引理 设函数 f ( x ) 在点 的某领域 内有定义，并且 在 处可导，如果对任意的 ，有 那么 证 不妨设 时， （如果 可类似的证明）. 于是，对于 ，有 从而当 时，

7 当 时 根据函数 f ( x ) 在 可导的条件极限的保号性，便得到 所以

8 罗尔（ Rolle ）定理

9 几何解释 : 例如,

10 证

11

12 注意 :1 ）若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立. 例如, -22

13 又例如, O 1 1 1 O

14 例 2 ）罗尔定理的条件是结论成立的充分条件, 但不是必要 条件. 3) 罗尔定理的结论中  不是唯一的. 4) 将罗尔定理的条件 1.2. 换为 [ a,b] 上可导, 结论仍成立.

15 例1例1 证 由介值定理 即为方程的小于 1 的正实根. 矛盾,

16 二、拉格朗日 (Lagrange) 中值定理

17 几何解释 : 证 分析 : 弦 AB 方程为

18 作辅助函数 拉格朗日中值公式 注意 : 拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.

19 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 微分中值定理

20 拉格朗日中值公式的几种表达形式 推论 1 推论 2 如果函数 f(x) 与 g(x) 在 (a,b) 内每一点的导数相等， 则这两个函数在 (a,b) 内至多相差一个常数。

21 例2例2 证

22 例3例3 证 由上式得

23 三、柯西 (Cauchy) 中值定理

24 几何解释 : 证 作辅助函数

25

26 例4例4 证 分析 : 结论可变形为

27 四、小结 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 Cauchy 中值定理 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系； 注意定理成立的条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.

28 思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的 条件缺一不可.

29 思考题解答 不满足在闭区间上连续的条件； 且 不满足在开区间内可微的条件； 以上两个都可说明问题.

30 练 习 题练 习 题

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33 练习题答案