第三节 微分 3.1 、微分的概念 3.2 、微分的计算 3.3 、微分的应用. 一、问题的提出 实例 : 正方形金属薄片受热后面积的改变量.

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1 第三节 微分 3.1 、微分的概念 3.2 、微分的计算 3.3 、微分的应用

2 一、问题的提出 实例 : 正方形金属薄片受热后面积的改变量.

3 再例如, 既容易计算又是较好的近似值 问题 : 这个线性函数 ( 改变量的主要部分 ) 是否 所有函数的改变量都有 ? 它是什么 ? 如何求 ?

4 二、微分的定义 定义 ( 微分的实质 )

5 三、可微与可导的关系 定理 证 (1) 必要性

6 (2) 充分性

7 例1例1 解

8 四、微分的几何意义 M N T ） 几何意义 :( 如图 ) P

9 导数与微分的区别 : ★

10 五、微分的计算 求法 : 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1. 基本初等函数的微分公式

11 2. 函数和、差、积、商的微分法则

12 例2例2 解 例3例3 解

13

14 六、微分形式的不变性 结论： 微分形式的不变性

15 例4例4 解 求 dy 简便隐函数求微分。

16 七、小结 微分学所要解决的两类问题 : 函数的变化率问题 函数的增量问题微分的概念 导数的概念 求导数与微分的方法, 叫做微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学, 叫 做微分学. 导数与微分的联系 : ★ ★

17 思考题

18 思考题解答 说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引 出线性主部而得到的，导数是从函数变化 率问题归纳出函数增量与自变量增量之比 的极限，它们是完全不同的概念.

19 3.3 微分的应用 或者是 函数值的近似计算 切线方程为 ：

20 例1例1 解 要求： 1 ） 2 ）点比较特殊，方便计算。

21 令： 则： 因此：

22 常用近似公式 证明

23 例2例2 解

24 2 、误差估计 绝对误差： 相对误差：

25 如果： 那么由此产生的绝对误差为： 相对误差：

26 例3例3 解