第三章 导数与微分 §3.1 导数的概念 §3.2 求导基本公式与求导运算法则 §3.3 微分 §3.4 高阶导数和高阶微分 §3.5 边际与弹性.

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1 第三章 导数与微分 §3.1 导数的概念 §3.2 求导基本公式与求导运算法则 §3.3 微分 §3.4 高阶导数和高阶微分 §3.5 边际与弹性

2 导数的概念：

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6 三、导数的几何意义 曲线在点处切线方程为： 是曲线 在点处的切线斜率

7 四、单边（侧）导数

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9 例. 求函数在处的导数. 解 所以, 函数 在 处不可导.

10 五、可导性与连续性的关系 若函数 在 处可导, 则必连续. 事实上, 因 在 处可导, 即 定理 2.1 所以, 函数 在 处连续.

11 问题：连续是否一定可导？

12 函数在其可导的点处一定连续 函数在其不连续的点处一定不可导 函数在其连续的点处不一定可导 结论

13 六、用定义求导数举例

14 同样单边导数定义式也可简化为：

15 2 、求导数举例 例 1. 求函数 ( 常数 ) 的导数. 解 常数的导数等于零 例 2. 求函数 的导数. 解 可得

16 只需知道结果

17 例 4. 设 求 解 特别地, 只需知道结果

18 例 5. 设求 解 正弦函数的导数等于余弦函数. 类似得, 余弦函数的导数等于负的正弦函数. 只需知道结果

19 注：分段函数分段点的导数必须用定义求

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22 §3.2 求导基本公式与求导运算法则

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28 常用公式：

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30 二、反函数的求导法则

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34 三、基本导数的公式

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37 四、复合函数求导法则

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41 例 9. 求 解

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43 五、隐函数求导方法

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46 六、对数求导法

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53 引例. 一块正方形金属薄片受温度的影响, 其边长由 变到 问此薄片的 面积改变了多少 ? 面积的改变量： §3.3 微分

54 微分的定义：

55 证 ( 必要性 )

56 ( 充分性 ) 设函数在点 处可导, 即 与 无关, 是较 高阶的无穷小. 所以函数在点处可微. 且 注意：

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58 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 根据 可得基本初等函数的微分公式：

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60 微分法则： 设都可微， 则 复合函数 的微分法则： 设而 所以 微分形式的不变性

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65 (2) (1) 四、微分在近似计算中的应用 由微分定义知, 当 时,时, 因此, 当很小时, 有近似公式 : 即 (3) 在 (3) 式中令 当 很小时, (4)

66 即在生产 100 单位产品的基础上再多生产一 单位产品，成本会增加 2.96

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68 类似可证, 当很小时, 有近似公式 :

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70 §3.4 高阶导数和高阶微分 记作： 或 即

71 二阶导数的导数，叫做三阶导数，记作： 或 三阶导数的导数，叫做四阶导数，记作： 或 阶导数的导数，叫做阶导数， 记作： 或 函数有 阶导数， 也说函数 为 阶可导。 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。

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78 由上面各阶导数可以得到

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80 以上这个公式称为莱布尼兹（ Leibniz ）公式， 可用于求乘积的高阶导数

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84 §3.5 边际与弹性

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92 二、弹性函数 1 、弹性的概念

93 弹性的意义：

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95 幂函数在任意点的弹性不变 称为不变弹性函数

96 2 、弹性的经济应用 1 、需求价格弹性

97 注意

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100 2 、供给价格弹性

101 3 、收益价格弹性

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