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第七章 函数逼近 用简单的函数 p(x) 近似地代替函数 f (x) ,是计算数学中最 基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近,函数 f (x) 称为 被逼近的函数, p (x) 称为逼近函数,两者之差 称为逼近的误差或余项。 如何在给定精度下,求出计算量最小的近似式,这就是 函数逼近要解决的问题
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函数逼近问题的一般提法: 对于函数类 A 中给定的函数 f (x) ,要求在另一类较简单 的且便于计算的函数类 B( A) 中寻找一个函数 p (x) ,使 p (x) 与 f (x) 之差在某种度量意义下最小。 最常用的度量标准: ( 一 ) 一致逼近 以函数 f (x) 和 p (x) 的最大误差 作为度量误差 f (x) - p (x) 的 “ 大小 ” 的标准 在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近
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对于任意给定的一个小正数 >0 ,如果存在函数 p (x) ,使不等式 成立,则称该函数 p (x) 在区间 [a, b] 上一致逼近或均匀逼近 于函数 f (x) 。 ( 二 ) 平方逼近: 采用 作为度量误差的 “ 大小 ” 的标准的函数逼近称为平方逼近 或均方逼近。
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§1 正交多项式 一、正交函数系的概念 考虑函数系 1 , cosx , sinx , cos2x , sin2x , … , connx , sinnx , … 此函数系中任何两个不同函数的乘积在区间 [- , ] 上的积分都等于 0 ! 我们称这个函数中任何两个函数在 [- , ] 上是正交 的,并且称这个函数系为一个正交函数系。
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若对以上函数系中的每一个函数再分别乘以适当的数, 使之成为: 那么这个函数系在 [- , ] 上不仅保持正交的性质, 而且还是标准化的 ( 规范的 )
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1 .权函数 定义 7.1 设 (x) 定义在有限或无限区间 [a, b] 上, 如果具有下列性质: (1) (x) ≥0 ,对任意 x [a, b] , (2) 积分 存在, (n = 0, 1, 2, …) , (3) 对非负的连续函数 g (x) 若 则在 (a, b) 上 g (x) 0 称 (x) 为 [a, b] 上的权函数
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2 .内积 定义 7.2 设 f (x) , g (x) C [a, b] , (x) 是 [a, b] 上的权函数, 则称 为 f (x) 与 g (x) 在 [a, b] 上以 (x) 为权函数的内积。 内积的性质: (1) (f, f )≥0 ,且 (f, f )=0 f = 0 ; (2) (f, g) = (g, f ) ; (3) (f 1 + f 2, g ) = (f 1, g) + (f 2, g) ; (4) 对任意实数 k , (kf, g) = k (f, g ) 。
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3 .正交性 定义 7.3 设 f (x) , g(x) C [a, b] 若 则称 f (x) 与 g (x) 在 [a, b] 上带权 (x) 正交。 定义 7.4 设在 [a, b] 上给定函数系,若满足条件 则称函数系 { k (x)} 是 [a, b] 上带权 (x) 的正交函数系,
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若定义 7.4 中的函数系为多项式函数系,则称为以 (x) 为权的在 [a, b] 上的正交多项式系。并称 p n (x) 是 [a, b] 上 带权 (x) 的 n 次正交多项式。 特别地,当 A k 1 时,则称该函数系为标准正交函数系。
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二、常用的正交多项式 1 .切比雪夫 (чебыщев) 多项式 定义 7.5 称多项式 为 n 次的切比雪夫多项式 ( 第一类 ) 。
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切比雪夫多项式的性质: (1) 正交性: 由 { T n (x)} 所组成的序列 { T n (x)} 是在区间 [-1, 1] 上带权 的正交多项式序列。且
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(2) 递推关系 相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式: (3) 奇偶性: 切比雪夫多项式 T n (x) ,当 n 为奇数时为奇函数; n 为偶数时为偶函数。
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(4) T n (x) 在区间 [-1, 1] 上有 n 个不同的零点 (5) T n (x) 在 [-1, 1] 上有 n + 1 个不同的极值点 使 T n (x) 轮流取得最大值 1 和最小值 -1 。
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(6) 切比雪夫多项式的极值性质 T n (x) 的最高次项系数为 2 n-1 (n = 1, 2, …) 。 定理 7.1 在 -1≤x ≤1 上,在首项系数为 1 的一切 n 次多项式 H n (x) 中 与零的偏差最小,且其偏差为 即,对于任何 , 有
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2 .勒让德 (Legendre) 多项式 定义 7.6 多项式 称为 n 次勒让德多项式。 勒让德多项式的性质: (1) 正交性 勒让德多项式序列 {p n (x)} 是在 [-1, 1] 上带权 (x) = 1 的正交多项式序列。
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(2) 递推关系 相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式:
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(3) 奇偶性: 当 n 为偶数时, p n (x) 为偶函数; 当 n 为奇数时, p n (x) 为奇函数。 (4) p n (x) 的 n 个零点都是实的、相异的,且全 部在区间 [-1, 1] 内部。
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3 .其它常用的正交多项式 (1) 第二类切比雪夫多项式 定义 7.7 称 为第二类切比雪夫多项式。
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① {u n (x)} 是在区间 [-1, 1] 上带权函数 的正交多项式序列。 ② 相邻的三项具有递推关系式:
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(2) 拉盖尔 (Laguerre) 多项式 定义 7.8 称多项式 为拉盖尔多项式。
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① {L n (x)} 是在区间 [0, +∞] 上带权 (x) = e -x 的正交多项式序列。 ② 相邻的三项具有递推关系式:
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(3) 埃尔米特 (Hermite) 多项式 定义 7.9 称多项式 为埃尔米特多项式。
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的正交多项式序列。 ① {H n (x)} 是在区间 (- , + ) 上带权函数 ② 相邻的三项具有递推关系式:
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§2 最佳一致逼近 一、最佳一致逼近的概念 定义 7.10 设函数 f (x) 是区间 [a, b] 上的连续函数,对于 任意给定的 >0 ,如果存在多项式 p (x) ,使不等式 成立,则称多项式 p (x) 在区间 [a, b] 上一致逼近 ( 或均匀逼近 ) 于函数 f (x) 。
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维尔斯特拉斯定理 若 f (x) 是区间 [a, b] 上的连续函数,则对于任意 >0 , 总存在多项式 p (x) ,使对一切 a ≤x ≤b 有
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§ 3 最佳平方逼近 1 .函数系的线性关系 定义 7.11 若函数 ,在区间 [a, b] 上连续, 如果关系式 当且仅当 时才成立,则称 函数在 [a, b] 上是线性无关的,否则称线性相关。
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设 是 [a, b] 上线性无关的连续函数 a 0, a 1, …, a n 是任意实数,则 并称 是生成集合的一个基底。 的全体是 C[a, b] 的一个子集,记为
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定理 7.3 连续函数在 [a, b] 上线性无关的充分必要条件是它们 的克莱姆 (Gram) 行列式 G n 0 ,其中
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2 .广义多项式 设函数系 { , …} 线性无关, 则其有限项的线性组合 称为广义多项式。
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二、函数的最佳平方逼近 定义 7.12 对于给定的函数 ,若 n 次多项式 满足关系式 则称 S * (x) 为 f (x) 在区间 [a, b] 上的 n 次最佳平方逼近多项式。
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定义 7.13 对于给定的函数 如果存在 使 则称 S * (x) 为 f (x) 在区间 [a, b] 上的最佳平方逼近函数。
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求最佳平方逼近函数 的问题 可归结为求它的系数 使多元函数 取得极小值。 I (a 0, a 1, … , a n ) 是关于 a 0, a 1, … , a n 的二次函数, 利用多元函数取得极值的必要条件,
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(k = 0, 1, 2, …, n) 得方程组 最小二乘!
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如采用函数内积记号 方程组可以简写为
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写成矩阵形式为 法方程组 !
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由于 0, 1, …, n 线性无关,故 G n 0 ,于是上述方程组 存在唯一解 。 从而肯定了函数 f (x) 在 中如果存在最佳平方逼近函数,则必是
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三 利用正交多项式进行最小二乘拟合 将 选为带权 的正交多项式系
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