Chapter 5 隨機變數 Part II. 結束 設 X 為隨機變數， a 、 b 為實數，則 (1) E (aX + b) = aE (X) + b (2) E (g (X) + h (X)) = E (g (X)) + E (h (X)) 設隨機變數 X 的期望值為  ，則 稱為 X 的變異數。變異數也可用.

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1 Chapter 5 隨機變數 Part II

2 結束 設 X 為隨機變數， a 、 b 為實數，則 (1) E (aX + b) = aE (X) + b (2) E (g (X) + h (X)) = E (g (X)) + E (h (X)) 設隨機變數 X 的期望值為  ，則 稱為 X 的變異數。變異數也可用  2 ， V(X) 表示。 5-2 5-6 5-4 期望值與變異數

3 結束 定理 5-3

4 結束 Ex. 15 設 X 為某產品每天銷售量，其機率函數為 試求 V(X) 及標準差 σ 解： E(X)=0(0.1)+1(0.1)+2(0.2)+3(0.3)+4(0.2)+5(0.1)=2.7 X012345 p(x)p(x)0.1 0.20.30.20.1

5 結束 Ex. 16 設隨機變數 X 的機率密度函數為 解：

6 結束 設 X 為隨機變數， a 、 b 為實數，則 (1) V (X + b) = V (X) (2) V (aX) = a 2 V (X) (3) V (aX + b) = a 2 V (X) 5-4 5-4 期望值與變異數

7 結束 已知隨機變數 X 的期望值為  ，變異數  2 。定義 則由定理 5-4 (3) ，可得 稱 Z 為標準化隨機變數 (standardized random variable) 。 5-4 期望值與變異數

8 結束 在無法獲得 X 機率函數時，若只知 X 的期望值與變 異數時，可利用切比雪夫 (Chebyshev’s inequality) 求 出機率值的上限或下限。 切比雪夫不等式 若隨機變數 X 的期望值為  ，標準差為  ，則對於 任意實數 k > 0 ，可得 5-5 5-4 期望值與變異數

9 結束 Ex. 17 在 Ex. 15 中， X 的期望值為 μ=2.7 ，標準差 σ=1.42 ，由 切比雪夫不等式，可得

10 結束 Ex. 18 設某百貨公司每小時平均顧客人數為 24 人，標準差為 4 人。若以隨機變數 X 表示每小時顧客的人數，是求每 小時顧客人數在 16 人與 32 人之間的機率為何 ? 解：

11 結束 5-5 常用離散機率分布 伯努利試驗與二項分布  許多隨機試驗只有兩種可能的出象，稱它為伯 努利試驗 (Bernoulli trial) 。若伯努利試驗的出象 以隨機變數 X 表之，可令 X = 1 表示出象為成功， X = 0 表示出象為失敗，則 X 的機率函數為 其中 0  p  1 ，代表試驗成功的機率。

12 結束 設 X 為伯努利隨機變數，則 (1) E (X) = p (2) V (X) = p (1  p) 設 X 為二項隨機變數，則 (1)E (X) = np (2)V (X) = np (1  p) 5-6 5-7 5-5 常用離散機率分布

13 結束EX.19 數學科期中考是有十題四選一的選擇題。某生完全以猜答案的 方式作答。試問該生能夠及格的機率有多少？ 解 : 設 X 為答對的題數，則 X 的機率數為 該生及格的機率為

14 結束 Ex. 20 某工程試驗非常昂貴，且只有 40% 的成功機率。是問應試 驗幾次才能保證至少有一次成功出現的機率路達 95%? 解 : 設 X 為試驗成功的次數。試驗者卻決定 n 使得 n 45 6 0.1296 0.07760.04665 故知至少須試驗 n=6 次

15 結束 5-5 常用離散機率分布 若一個箱子內含 15 個隨身聽，其中 5 個有缺陷。金 隨機選取一個檢查，並記錄其結果。在抽取下一個 之前，若將已驗畢之產品放回箱中，則稱為歸還式 (sampling with replacement) 。此時，每次檢驗皆可 視為伯努利試驗，且出現缺陷的機率永遠是 p=5/15 。 但假設抽取出來隨身聽不在放回箱中，則稱為不歸 還式 (sampling without replacement) ，此時，第一次 檢驗有缺陷的機率是 5/15 ，第二次檢驗時，有缺陷 的機率成為 4/14 。

16 結束 超幾何分布  假設母體含有 N 個元素，其中 S 個為「成功」， N  S 個為「失敗」。今自母體中隨意選取 n 個出來。 若隨機變數 X 代表 n 個中是「成功」的個數，則 X 稱為超幾何隨機變數 (hypergeometric random variable) ，其機率函數為 5-5 常用離散機率分布

17 結束 設 X 為超幾何隨機變數，則 (1) (2) 5-8 5-5 常用離散機率分布

18 結束 Ex. 21 已知一箱 5,000 個燈泡內有 1,000 個是壞的，假設某人 購買 10 個燈泡，試問其中有 3 個是壞燈泡的機率為多 少 ? 解 : 因為 N=5000 與 n=10 相較，是非常大。因此可利用 二項分布來求得機率的近似值。

19 結束 在一連串的伯努利試驗中，常關心須等待多久才 發生第一次成功。因此設 X 為出現第一次成功的 試驗次數，其機率函數為 具有這種機率函數的隨機變數，稱為幾何隨機變 數 (geometric random variable) 。 5-5 常用離散機率分布

20 結束 設隨機變數 X 呈幾何分布，則 (1) (2) 5-9 5-5 常用離散機率分布

21 結束Ex.22 小美生產冰棒一批每五十枝中有一枝印有「再送一枝」， 若每枝售價為五元，試問消費者平均將花費多少，使能 獲得贈送一枝？ 解 : 每購買一枝冰棒，獲得「再送一枝」的機率為 。 設 X= 至獲贈一枝所需之購買枝數，則 因此平均將花費 5×50=250 元始獲贈一枝。

22 結束 若 X 為幾何分布，則 證明： 5-5 常用離散機率分布

23 結束 5-5 常用離散機率分布 二項分布所描述的是在 n 次伯努利試驗中，某事件 或現象發生的次數。但是當 n 很大時，二項分布的 機率將無法計算。波瓦松 (Poisson distribution) 不僅 在 n 很大時，可做二項分布之近似分布，且可用以 描述某段時間、或面積、體積內某機遇現象發生次 數。 例如波瓦松分佈可描述某辦公大樓電話總機一小時 內接到電話的次數、高速公路在一個月內發生車禍 的次數、一平方公尺布匹上的線頭數、或一立方公 分血液內的白血球數等。

24 結束 波瓦松分布  波瓦松隨機變數所討論的機遇現象須滿足下列 假定 在不重疊的時間 ( 或空間 ) 內，現象發生的次 數相互獨立。 當考慮的時間段落很小時，則現象發生一次 的機率與該時間段落的長短成正比。但與時 間段落的位置無關。 當時間段落很小時，現象發生兩次以上的機 率近似於 0 。 5-5 常用離散機率分布

25 結束 若設 X 為單位時間 ( 或空間 ) 內某現象出現的次數。 則可證明 X 的機率函數為 平均 稱參數為 的波瓦松分布，其中 表示單位時間或 空間內該現象平均發生的次數。 5-5 常用離散機率分布

26 結束 設 X 為參數 的波瓦松隨機變數，則 (1) E (X) = (2)V (X) = 5-11 5-5 常用離散機率分布

27 結束 Ex. 23 某工廠平均每兩個月發生一次意外事件，假設意外事 件獨立，試求 1) 每年發生意外事件平均次數。 2) 某月不發生意外事件的機率。 解 : (1) 設 X 為每年發生意外事件的次數，則 X 呈波式 分佈，其參數 (2) 設 Y 每月發生意外事件的次數，則 若 X 為二項分布，其 n 值很大， p 值很小 且 np 值適中，則 X 近似於一參數為 λ=np 的波式分布。

28 結束 負二項分布基本性質 5-12 5-5 常用離散機率分布

29 結束 設獨立試驗，每次成功的機率是 p ， 0 < p < 1 ，試 驗執行直到累計 r 次成功才停止，若 X 表示所需 試驗的次數， 任何隨機變數 X 的機率密度函數如上式，稱為負二 項隨機變數 (negative binomial) ，具有參數 (r, p) ， 記為 X ~ NB (r, p) ，而幾何隨機變數正好是負二項 隨機變數的一個特例，其參數為 (1, p) 。 5-5 常用離散機率分布

30 結束 Ex. 25 巴納赫火柴盒問題 (Banach match box problem) 某一抽菸斗的數學加在任何時間都帶有 2 合火柴，一 盒在左邊口袋，一盒在右邊口袋，每次她要火柴，有 相同機會可能從任何一口袋去拿。假設起出兩口袋各 有 N 根火柴， K=0,1,…,N 的機率為多少？ 解 : 設 E 表示數學家首先發覺右邊的火柴盒是空的，而 左邊還有 K 根火柴的事件。此事件發生的充要條件是 在 N+1+N-K 次試驗中右邊口袋取了 (N+1) 次。因此

31 結束 5-6 常用連續機率分布 若隨機變數 X 的機率密度函數為 則稱 X 為在區間 [a, b] 的均勻分布 (uniform distribution) 並以符號 U [a, b] 表之。

32 結束 圖 5-10 U[a,b] 的機率密度函數 5-6 常用連續機率分布

33 結束 圖 5-11 U[a,b] 的累積分布函數 5-6 常用連續機率分布

34 結束 設 X 為均勻分布 U [a, b] ，則 (1) (2) 5-13 5-6 常用連續機率分布

35 結束 Ex. 26 若再線段 [0,4] 中隨機選取一點，試求此點落在區間 [1,2] 內的機率 ? 解 : 設 X 為此點的座標，則 X 機率密度函數為

36 結束 若考慮隨機變數 X t 為 [0, t] 時間內，某現象出現的 次數，則在 [0, t] 時間內平均發生的次數應為 t 。 因此 X t 是參數為 t 的波氏分布，其機率函數為 假如所關切的是隨機變數 X = 該現象第一次發生所需 的時間。則 5-6 常用連續機率分布

37 結束 故 X 的累積分布函數為 而 X 的機率函數 稱 X 為一具有參數 的指數分布 (exponential distribution) 。 5-6 常用連續機率分布

38 結束 圖 5-12 指數變數的機率密度函數 5-6 常用連續機率分布

39 結束 圖 5-13 指數變數的機率密度函數 5-6 常用連續機率分布

40 結束 設 X 為一參數 的指數分布，則 (1) (2) 5-14 5-6 常用連續機率分布

41 結束 常態隨機變數的機率密度函數為 其中  、  均為參數。通常以 N ( ,  2 ) 表示常態 分布。 5-6 常用連續機率分布

42 結束 圖 5-14 常態分布 5-6 常用連續機率分布

43 結束 f (x) 的曲線圖形具有下列特性 (1) 呈鐘形分布，且對稱於 X =  。 (2) 在 X =    處有兩個反曲點 (point of inflec-tion) 。 (3) 當 X    時， f (x)  0 。 (4)  值大時，曲線低平。  值小者，曲線高狹。 5-6 常用連續機率分布

44 結束 若 X 的分布為 N ( ,  2 ) ，隨機變數 Y = aX + b ， 則 Y 的分布為 N (a  + b, a 2  2 ) 。 5-16 5-6 常用連續機率分布

45 結束 Ex. 29 管數學期的成績近似常態分布，其平均分數為 74 分， 標準差為 7.9 分，試求 1) 如果成績最低的 10% 給 E ，則最低及格分數為多少 ? 2) 如果最高的 5% 給 A ，則 A 中最低的分數是多少 ? 解 : (1) 設 X 為學生學期成績的分數

46 結束 Ex. 29

47 結束 Ex. 30 台灣中部某鎮每年三平均雨量為 9.22 公厘，標準差為 2.83 公厘。若雨量成常態分布，試求明年三月該地區 將得到下列雨量的機率。 1) 小於 1.84 公厘。 2) 大於 5 公厘但小於 7 公厘。 解 :

48 結束 中央極限定理 若從平均數  ，變異數  2 的一個無限或大母體中， 抽出大小為 n 的隨機樣本。則樣本平均數 的抽樣分布將趨近於平均數 ，標準差 的常態分布，因此 為標準常態變數 Z 的一個值。 5-17 5-6 常用連續機率分布

49 結束中央極限定理 若 n≥30 ，則不論母體分布為何，定理中的常態分佈 逼近相當良好；若 n<30 ，則僅在母體與常態母體相 去不遠時，逼近方為良好。 若已知母體為常態，則不管樣本大小為何， 的抽 樣分部已是常態分布。

50 結束 Ex. 31 某廠牌燈泡的壽命趨近於平均數 800 小時，標準差 40 小時的常態分布，隨機取大小為 16 燈泡的隨機樣本， 求其平均壽命小於 775 小時的機率。 解 : ｘ的抽樣分布近似於 的常態 分布，所求機率為圖 5-10 中陰影區域的面積，

51 結束 Ex. 31-1 Fast Service 卡車公司使用福特 Super Duty F-750 的車型。每 輛卡車每年的維護成本將依據行駛的里程數決定，且行駛 里程數服從常態分配，平均數為 60,000 英里、標準差為 2,000 英里。請問： a) 有多少比例的福特 Super Duty F-750 卡車去年行駛超過 65,200 英里？ b) 有多少比例的福特 Super Duty F-750 卡車去年行駛超過 $57,060 英里 但少於 58,280 英里？ c) 有多少比例的卡車去年行駛少於等於 62,000 英里？ d) 是否有卡車行駛超過 70,000 英里？請解釋之。 Answer: a. z=2.6, 0.5000 – 0.4953 = 0.0047 b. z1=-1.47, z2=-0.86, 0.4292 – 0.3051=0.1241 c. 0.8413, 0.5000 + 0.3413 d. No, 因為