对效果、信度与区分度的 认识 ——以初中数学学业考试中的试题为例

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1 对效果、信度与区分度的 认识 ——以初中数学学业考试中的试题为例
黄埔区教育局教研室 甘晓芬

2 效度 一、认识 针对考试目标和要求而言，考试结果（考生得分）的准确和有效程度。
高效度考试的命题既考考生现有的知识水平，又考考生今后学习潜在的能力，即检测现在，预测未来。

3 二、评价要点 体现数学课程标准（教学大纲）所规定的学习要求； 有利于考生展示自己在数学课程学习中取得的成就； 试题的科学性；
评分标准的合理性； 题型使用的合理性； 存在造成高分低能可能性的程度。 （摘自《2005年全国中考数学考试评价指标体系》）

4 考什么？怎么考？ 1、知识与技能 2、数学思考 3、解决问题 4、数学活动过程

5 三、命题示例

6 （一）知识与技能 考什么？ 核心内容 ——“课标”中最基础、最核心的内容，即所有学生在学习数学和应用数学解决问题过程中最为重要的、必须掌握的核心观念、思想方法、基本知识和常见技能。（摘自《2005年课程改革实验工初中毕业数学学业考试命题指导》）

7 怎么考？ 1、广州市05、06年命题确保基础题的题量（分值比例50%以上），突出核心内容的考查。
2、选择合适的载体考查学生知识的理解水平、技能的运用水平 在知识的交汇点命题，保证主干容的考核有必要的深度

8 命题示例 例1（06广州）某市某日的气温-2℃—6℃，该日的温差是（ * ） （A）8℃ （B）6℃ （C）4℃ （D）-2℃
评析：有理数的有关概念起源于现实生活。考查方式采用通过现实背景让学生感受有理数及其运算的现实意义，从而能够考查出学生对数轴的概念、性质的理解情况是合适的。 不恰当命题举例：下列各数中无理数有 ，有理数有 .

9 命题示例 评析：在解决这个实际问题的过程中自然可以考查学生数学表示技能和运算技能。 不恰当命题举例：解析 可以表示哪些现实情境，举例说明。
例2（06广州）目前广州市小学和初中在校共有约128万人，其中小学生在校人数比初中生在校人数的2倍多14万人（数据来源：2005学年度广州市教育统计手册） （1） 求目前广州市在校的小学生人数和初中生人数 （2）假设今年小学生每人需交杂费500元，初中生每人需交杂费1000元，而这些费用全部由广州市政府拨款解决，则广州市政府要为此拨款多少？  评析：在解决这个实际问题的过程中自然可以考查学生数学表示技能和运算技能。 不恰当命题举例：解析 可以表示哪些现实情境，举例说明。

10 命题示例 例3（06广州）下列图象中，表示直线的是（ ） （图略）   评析：数学表示技能包括两个方面：其一，列出代数式、函数、方程、不等式等关系式对研究对象进行“数”的表示；其二，作出相应的图形对研究对象进行“形”的表示。这题是在“数”与“形”的转变中考查数学表示技能。

11 评析：关注的是图表制作原理的理解以及图表信息的提取
例4（06广州）广州市某中学高一（6）班共54名学生，经调查其中40名学生患有不同程度的近视眼病，初患近似眼病的各年龄段频数分布表如下 初患近视眼病年龄 （注：表中2岁—5岁的意义为大于等于2岁并且小于5岁，其它类似） （图略） （1）求a的值，并把下面的频数分布直方图补充画完整 (2）从上面的直方图中你能得出什么结论（只限写出一个结论）？你认为此结论反映了教育与社会的什么问题？ 评析：关注的是图表制作原理的理解以及图表信息的提取

12 不恰当命题举例 *为了考察学校8年级学生的视力状况，小明拟对8年级所有学号是5的倍数的同学进行调查，在这个调查过程中，样本是 ..
*为了考察学校8年级学生的视力状况，小明拟对8年级所有学号是5的倍数的同学进行调查，在这个调查过程中，样本是 *某次歌唱比赛中，6位评委对某选手的打分如下（单们：分）9.6，9.4，9.2，9.6，9.5，9.4. 求这6个数的平均分 这两题都仅仅考查了对概念的记忆，以及运算的技能，但没有考查对概念的理解。或者说不具备考查学生对概念理解的有效性。有关统计量的考查侧重是这些概念的理解与运用。

13 命题示例 例5（06滨江）如图（单位：m），直角梯形以m/s的速 度沿直线向正方形方向移动，直到与重合，直角
梯形与正方形重叠部分的面积关于移动时间 的函数图象可能是（　　） ． Ａ G F l 10 D B C E 5 A． B． C． D． 评析：“图形的变换”“函数”都是核心知识。将几何图形的运动与函数图象有关机联系起来，体现了“图形变化过程的基本规律”以及“函数是刻画变化着的事物相互关系”的理念。突出考查了学生提取信息、处理信息、表达信息的能力。

14 命题示例 例6（05广州）如图，某学校校园内有一块形状为直角梯形的空地ABCD，其中
现计划在上面建设一个面积为S的矩形综合楼PMBN，其中点P在线段AD上，且PM的长至少为36米。 （1）求边AD的长； （2）设 （米），求S关于x的函数关系式， 并指出自变量x的取值范围； （3）若S＝3300平方米，求PA的长。（精确到0.1米） 图11 本题考查了梯形、三角形、函数、方程、不等式等多方面的知识。

15 （二）数学思考 以推理能力为例 考什么？ *演绎推理（逻辑推理）能力 *合情推理能力（如归纳、类比、统计推断等）
以推理能力为例 考什么？ *演绎推理（逻辑推理）能力 *合情推理能力（如归纳、类比、统计推断等） *具体地，其内容包括，能通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，能对所作的猜想进行适当的佐证，能进行一些简单的严密的逻辑论证，并有条理地表达自已的证明，与他人交流；能对他人结论进行合理的质疑等

16 怎么考？ （1）在归纳、类比等活动过程中考查学生的合情推理能力 例7（06广州14）已知， ， (n为整数).当
时，有A<B；请用计算器计算当 时，A、B的若 干值，并由此归纳出当 时，A、B间的大小关系为 *

17 怎么考？ （2）使用多种形式多角度考查逻辑推理能力 （几何证明的难度控制在课标要求的范围内。）
例8（06广州）如图，AC交BD于点O，请你从下面三项中选出两个作为条件，另一个为结论，写出一个真命题，并加以证明 ① OA=OC，②OB=OD，③AB∥DC （几何证明的难度控制在课标要求的范围内。）

18 怎么考？ （2）使用多种形式多角度考查逻辑推理能力 （1）求证：该抛物线与x轴有两个不同的交点； 例9（06广州25）已知抛物线
（2）过点P（0，n）作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B（点A在点P的左边）。是否存在实数m、n，使得AP=2PB？若存在，则求出m、n满足的条件；若不存在，请说明理由. （考查的知识背景，既可以以空间与图形为背景，也可以以数与代数为背景，从评卷来看，不少学生对逻辑关系的理解不正 确）

19 （3）观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想—对所作的猜想进行适当的佐证，进行一些简单的严密的逻辑论证，并有条理地表达自已的证明
例10（06广州）在⊿ABC中，AB=BC，将⊿ABC绕点A沿顺时针方向旋转得到⊿ ，使点C1与点C不重合）。 （1）如图①，当∠C>60°时，写出边 与边CB的位置关系，并加以证明； （2）当∠C=60°时，写出边 与边CB的位置关系(不要求证明)； （3）当∠C<60°时，请你在②中用尺规作图法作出 ⊿ （保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）（2）中得到的结论是否成立？并说明理由。 （图略）

20 （二）数学思考 以空间观念为例 考什么？ 课标是这样描述的
以空间观念为例 考什么？ 课标是这样描述的 ①能够由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状进行几何体与其三视图、展开图的转化 ②能够根据条件做出立体模型或画出图形 ③能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系 ④能描述实物或几何图形的运动、变化 ⑤能采用适当的方式描述物体间的位置关系（如向他人描述你所见到的几何形休等 ⑥能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考

21 怎么考？ 数学 北京师范大学出版社 ①②是空间观念最为直接的一种表现形态，都侧重于三维实物（立体图形）与平面图形的转化，
①②是空间观念最为直接的一种表现形态，都侧重于三维实物（立体图形）与平面图形的转化， 例11（05广州）如图1，讲台上放着一本数学书，书上放着一个粉笔盒,若这个组合图形的俯视图如图2， 则这个组合图形的左视图是（ * ） （A） （B） （C） （D）． 数学 北京师范大学出版社 粉笔盒 正面 图 1 图 2

22 值得一提的是这题是改编于《数学同步导学》（7下）第55页第4题。原题是：讲台上放着一本数学书，书上放着一个粉笔盒（如右图）, 则这个组合图案的左视图正确的是（ * ）．
北京师范大学出版社 粉笔盒 （B） （C） （A） （D） 改编的原因： 1）要分辨组合立体图形的三视图，首先应确定从什么方向看，比如，先确定了正面后，左面和俯视才能确定；2）仅有组合图形并不能准确判断三视图中不同平面图形间的位置组合关系，需要添加尺寸的准确定位。

23 怎么考？ ③④⑤指出了空间观念在分析、抽象层面上的表现；⑥指出了应用空间观念解决实际问题的行为主动性
例12（06广州10）如图①，将一块正方形木板用虑线划分成36个全等的小正方形，然后，按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木版 ，制成一副七巧板。用这副七巧板拼成图②的图案，则图②中阴影部分的面积是整个图案面积的（ * ） （图略,选项略） 例13（06广州）如图是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF，AB∥DC，BC∥DF，从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公共汽车，路线1是B→D→A→E，路线2是B→C→F→E，请比较两条路线路程的长短，并给出证明. （图略） 放置到一定的情景中，在具体情境中进行，考查图形分解与组合、感知其中的平移、对称等关系的能力。 ．

24 （三）解决问题 考什么？ 从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题；有一定的解决问题的基本策略，能从解决问题的过程中获得发展 怎么考？ 无论是什么类型的问题，其核心都是需要学生通过“观察、思考、猜测、交流、推理”等富有思维成分的活动才能够解决的题，而不能等同于那些仅仅通过“识别题型、回忆解法、模仿例题”等活动就能够解决的“题”

25 上例13（06广州）如图是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF，AB∥DC，BC∥DF，从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公共汽车，路线1是B→D→A→E，路线2是B→C→F→E，请比较两条路线路程的长短，并给出证明. 评析：在具体问题的解决过程中考查学生解决问题的能力。将现实问题转化成数学问题，用数学知识与方法解决问题。路线长短比较，化整为零，分段比较，由已知直接可知AE=FE，直观猜测BD=CF、BC=AD，借肋几何直觉作出判断后才据果索因，从几何知识里寻找依据。考查了学生利用（线段垂直平分线、相似三角形、平行四边形、等腰梯形等）几何知识解决实际问题的能力，考查了学生的探究能力和和演绎推理的能力。 ．

26 上例10（06广州）在⊿ABC中，AB=BC，将⊿ABC绕点A沿顺时针方向旋转得到⊿ ，使点C1与点C不重合）。
（1）如图①，当∠C>60°时，写出边 与边CB的位置关系，并加以证明； （2）当∠C=60°时，写出边 与边CB的位置关系(不要求证明)； （3）当∠C<60°时，请你在②中用尺规作图法作出 ⊿ （保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）（2）中得到的结论是否成立？并说明理由。 （图略） 评析：经历“判断—猜想—证明”的过程。这个问题同样需要学生要借助几何直觉，通过一定的猜想，并结合一定的逻辑推断获得解决，其中用到了类比，抓事物本质的思想。

27 （1）求证：该抛物线与x轴有两个不同的交点；
上例9（06广州25）已知抛物线 （1）求证：该抛物线与x轴有两个不同的交点； （2）过点P（0，n）作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B（点A在点P的左边）。是否存在实数m、n，使得AP=2PB？若存在，则求出m、n满足的条件；若不存在，请说明理由. 评析：存在性问题的判断与说理。涉及了特殊到一般、数形结合、分类讨论的思想与策略，

28 命题示例 例14（05广州）、将一张长为70 cm的长方形纸片ABCD，沿对称轴EF折叠成如图6的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60 cm，则原纸片的宽AB是_*__ cm． 评析：主要考查空间观念，考查考生对图形变换中数量关系的理解与运用能力。也在一定程度上让学生体会到动手操作不仅是数学学习的有效方法，也是探求问题的效方法。 10a

29 命题示例 例15（06岳阳）为了迎接2006年德国世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则及奖励方案如下表：
当比赛进行到14轮结束（每队均需比赛14场）时，甲队共积分25分． （1）请你通过计算，判断甲队胜、平、负各几场． （2）若每赛一场，每名参赛队员均得出场费800元．设甲队中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和为Ｗ（元），试求出Ｗ的最大值． 评析：有效地考查了学生“问题情境——建立模型——解释与应用的过程”的能力。

30 命题示例 例16（05广州） （1）观察图9的①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征．
（2）借助图9之⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所写出的两个共同特征． （注意：① 新图案与图9的①～④的图案不能重合； ② 只答第（2）问而没有答第（1）问的解答不得分） 评析：本题主要考查考生对图形进行观察、分析、概括的能力，并运用建立的模型解决相关问题。

31 命题示例 评析：函数建模与运用。 例17（06长春）小张骑车往返于甲、乙两地，距甲地的路程（千米）与时间（小时）的函数图象如图所示．
（1）小张在路上停留　　　小时，他从乙地返回时骑车 的速度为　　　千米／时．（3分） （2）小李与小张同时从甲地出发，按相同路线匀速前往 乙地，到乙地停止，途中小李与小张共相遇3次．请在图 中画出小李距甲地的路程（千米）与时间（小时）的函数 的大致图象．（3分） （3）小王与小张同时出发，按相同路线前往乙地，距甲地的路程（千米）与时间（小时）的函数关系式为．小王与小张在途中共相遇几次？请你计算第一次相遇的时间．（4分） ． 评析：函数建模与运用。

32 （四）数学活动过程 考什么？ 数学活动过程中所表现出来的思维方式、思维水平，对活动对象、相关知识与方法的理解深度；从事探究、证明等活动的意识、能力和信心等。能否通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并寻求证明猜想的合理性；能否使用恰当的数学语言有条理地表达自己的数学思考过程。 怎么考？ 设计一个“做数学”的活动：或者是猜测与证明一个数学规律，或者是设计一个解释现象（问题）特征的数学模型，或者是寻找一个解决问题的途径、方案；设计一些多层次的问题，在问题的解答过程中暴露学生的思维活动过程，从而进行有关过程性目标的考查。

33 例18（06大连）．如图，P为 所在平面内任意一点（不在直线AC上）， M为AB边中点．
操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连结PM 并延长到点E，使ME=PM，连结．DE 探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论； （2）请你利用图14－2，图14－3选择不同位置的 点P按上述方法操作； （3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图14－2或图14－3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分） （4）若将 改为任意 ，其他条件不变，利用图14-4操作，并写出线段DE有关的结论（直接写答案）． C D B E M A P C B M A 图14－2 图14－3 图14－4

34 （五）个性化评价 “承认差异、尊重个性、给每一位学生以充分的发展空间”是“课程标准”提倡的一个基本理念，评价过程中应当给学生以更多的自主性，让不同类型、不同水平的学生尽可能地展现自己的数学才能。 具体的操作方式主要有以下三种： 1、设置自主选择试题——在试卷上设立可以选做的试题，让学生根据自己的数学学习状况、认知特征，选择恰当的试题做答，以充分表现自己数学学习才能； 2、提供开放性试题——在试卷上设立开放性试题，力图使得每一个学生都能够根据自己的思考角度、对试题背景的理解程度，提出一个问题、给出一个结论（猜想）、或提供一种结论之所以成立的解释（证明），等等； 3、制订个性化评分标准——对于某些具有个性化的试题求解过程，例如提出问题、给出开放性试题的答案等，制订一个开放的、不同类型、不同层次的评分标准，使得所有对试题提供了实质性解答的学生都能够获得相应的分数，而不是简单地将学生的解答套入事先预定的“标准解答”体系之中。

35 信度 一、认识 是指考生在考试中的成绩（分数）的可信程度。也就是考生成绩在多大程度上反映考生的真实水平，使用这个成绩评价考生水平的高低的可靠性有多大。 高信度的命题既要符合考试的目标和要求，又要切合考生的实际。 有好的效度必有好信度，反之不然。 X（考生的分数）=V（有效分数）+I（系统误差）+E（测量的随机误差）

36 二、评价要点 试卷所规定系统误差的可行性； 评分标准的准确性； 试题陈述的准确性； 试题呈现的规范性。
（摘自《2005年全国中考数学考试评价指标体系》）

37 三、命题示例

38 命题示例 上例2（06广州） 评析：取材于学生身边的事情，每个学生都熟悉。防范了由于学生对问题背景（载体）上的差异而影响相关数学知识的考查。
欠恰当命题举例（学生理解有一定的困难）：假设A型进口汽车（以下简称A型车）关税率在2001年是100%，在2006年是25%，2001年A型车每辆的价格为64万元（其中含32万元的关税）． （Ⅰ）已知与A型车性能相近的B型国产汽车（以下简称B型车），2001年每辆的价格为46万元，若A型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2006年B型车的价格为A型车价格的90%，B型车价格要逐年降低，求平均每年下降多少万元； （Ⅱ）某人在2004年投资30万元，计划到2006年用这笔投资及投资回报买一辆按（Ⅰ）中所述降低价格后的型车，假设每年的投资回报率相同，第一年的回报计入第二年的投资，试求每年的最低回报率．（参考数据：略）

39 命题示例 上例9（06广州25） 评分标准有较好的预见性

40 命题示例 例19（06浙江）自2006年3月26日起，国家对石油开采企业销售国产石油因价格超过一定水平（每桶40美元）所获得的超额收入，将按比例征收石油特别收益金（征收比率及算法举例如下面的图和表），有人预测中国石油公司2006年第3季度将销售百万桶石油，售价为每桶美元，那么中国石油公司该季度估算的特别收益金将达到人民币是（按1美元兑换8元人民币的汇率计算）（　　）………… 易误解的命题举例： 根据十届全国人大常委会第十八次全体会议《关于修改＜中华人民共和国个人所得税法＞的决定》的规定，公民全月工资、薪金所得不超过1600元的部分不必纳税，超过1600元的部分为全月应纳所得额，月个人所得税按如下方法计算：月个人所得税＝（月工资薪金收入－1600）×适用率－速算扣除数 注：适用率指相应级数的税率． ………………

41 区分度 一、认识 指考试和试题能否鉴别不同水平考生的优劣程度。

42 二、评价要点 封闭题不同解法之认知水平要求的等价性； 试题记分所对应的考查层次清楚 区分达到数学课程标准（教学大纲）所规定的毕业水平的程度；
试卷总分划分有利于评定不同层次数学成绩达标者的数学成绩； 各数学成绩水平主要得分试题的可区分性； 试卷及评分标准适合等级表示评分标准的准确性。 （摘自《2005年全国中考数学考试评价指标体系》）

43 三、命题示例 1、 承认差异，尊重个性，给考生充分发挥的空间 2、兼顾毕业与升学的要求

44 衷心地感谢 您 如此有耐心地 听完了课！