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波的強度等於若觀察時在該處發現此粒子的機率！
電子的真面目 波的強度等於若觀察時在該處發現此粒子的機率！ 狀態的變化是以波方程式來計算 觀察時電荷及位置總是顆粒狀 由波函數來描述的粒子 （而不是位置函數）
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Schrodinger Wave Equation
狀態波函數隨時間的變化是以波方程式來計算 Schrodinger Wave Equation Davos, Swiss 1925
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A total of five papers in 1926
無法如其他的波方程式由介質的性質推導！ 根據少數的線索，猜出物質波的波動方程式。
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找物質波的波方程式如同解讀一個密碼
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解碼，如果如一個古老的失傳的語言，有對照表就非常有用
Rosetta Stone It was created in 196 BC, discovered by the French in 1799 at Rosetta
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找尋波方程式時可以用的線索 正弦波對應於一個不受力的自由粒子 粒子與波的翻譯表 波函數
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粒子與波的翻譯表 對一個自由粒子來說，能量與動量是有關係的： 因此，這個關係也就翻譯為物質波的波長與頻率的關係： 波的頻率與波長的關係，一般稱為色散關係： 對一般的波來說 一般的色散關係，來自傳統的波方程式，那麼是否可由電子波的色散關係追溯電子波的波方程式？
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我們以下先以正弦波為對象來找一個它所滿足的波方程式。
畢竟所有週期波都是正弦波的疊加！ 一般的波方程式至少必須要先適用於正弦波。
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一般的波如何得出色散關係？ 考慮正弦波 位置的二次微分，效果如同乘上 k 的二次方 k 的二次方，翻譯為位置的二次微分 時間的二次微分，效果如同 ω 的二次方 ω 的二次方，翻譯為時間的二次微分 代入波方程式即給出色散關係 假設我不會導波方程式，但觀察到色散關係！ 利用上述翻譯表 由觀察到的色散關係可以猜回波方程式
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這個翻譯方式，對物質波卻行不通： 右方的ω是一次方，表面上似乎翻為時間的一次微分 但一次微分後，正弦函數變為餘弦函數，與二次微分不會成正比！ 我們當然可以選擇放棄這套翻譯法！ 或者也可以繼續這個翻譯的辦法，但以新的波函數來取代傳統的正弦波 一次微分會交換正弦與餘弦函數 Idea:或許自由粒子的波函數是正弦函數與餘弦函數的某個組合： 微分依然會是一個組合
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要求下列函數的時間一次微分，正比於波函數本身
選擇常數A,B使得右邊中括號中的函數，正比於波函數本身
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k 的二次方，翻譯為位置的二次微分 ω 的一次方，翻譯為時間的一次微分乘上常數 C 色散關係即翻譯為此波方程式
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成功在望！ 解出常數A,B,C： 代數關係： 虛數正式進入物理學了！
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薛丁格自由電子的波方程式 自由電子的波函數
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此定義滿足指數函數所有重要性質！ 這是一個非常有名的數學式子！ Euler’s Formula 虛數的指數函數
正好是我們期待指數函數必須滿足的微分關係。 正好是我們期待指數函數必須滿足的乘積關係。 此定義滿足指數函數所有重要性質！
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在複數平面上表示，a 決定絕對值，θ 決定幅角
我們可以更進一步定義複數的指數函數： 在複數平面上表示，a 決定絕對值，θ 決定幅角 Im θ Re
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? Schrodinger Wave Equation 考慮複數的波函數 如我們所預期，這個波函數的一次微分與自己成正比
時間微分翻譯為 ω，位置微分翻譯為 k 稱之為翻譯是因為左手邊的運算作用於正弦物質波波函數，與右手邊的數乘在該波函數是一樣的 ? 對電子波而言：色散關係： Schrodinger Wave Equation
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終極翻譯表 動量翻譯為空間微分運算 能量翻譯為時間微分運算 運算得運算於某個東西之上 粒子 波動
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終極翻譯表 動量翻譯為空間微分運算 能量翻譯為時間微分運算 粒子 波動 運算 物理量
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以此指數三角函數來構造自由電子的波函數 波函數疊加時實數部虛數部分別疊加！ 實數部是破壞性干涉時，虛數部也是！ 因此干涉條紋與古典波類似！
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? 電子波波方程式 Schrodinger Wave Equation 如果電子不是自由粒子，而是受到一個位能的影響呢？
此時動量與能量的關係要修改為： 電子波波方程式 ? Schrodinger Wave Equation
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Schrodinger Wave Equation
給定起始條件，波函數可以完全被決定，沒有不確定性！ 但波函數不是可以測量的物理量。 因為有虛數係數，波函數必須是複數！ 波函數無法觀測，波強度正比於振幅平方，則是實數，應可觀測。 但波強度對單次實驗無預測效果，波強度只能預測機率！
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時間為 t 時在 x 與 x+dx 之間發現該粒子的機率
在 a 與 b 之間發現該粒子的機率
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發現該粒子的總機率必需等於 1 歸一化條件 Normalization Condition 這個是波函數在薛丁格方程式以外必須滿足的額外的條件
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雖然薛丁格期望電子是由一個連續的實質的波來描述！
但每一個電子都是明顯的顆粒，部分電子從未被看到過！
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薛丁格方程式的解 固定能量解 定態 Stationary State 獨立演化的微觀系統狀態
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定態 Stationary State 在定態中，所有對電子的測量結果，與時間無關！ 牛頓力學中，唯一的定態，就是靜止狀態！ 量子力學中，卻有許多定態。
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波爾的原子模型中的電子穩定軌道即是定態！
電子只能選擇某些符合量子化條件的軌道形成暫定狀態 電子在定態之間躍遷，釋放的能量以一個光子釋出。 Stationary 駐立 Stable 穩定 定態並不一定穩定，電磁場使為定態的激發態，成為不穩定
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一般而言，觀察的巨觀儀器與被觀察的微觀系統，在尺度上有巨大差異！
最新的奈米實驗已漸漸模糊兩者的界線
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? 巨觀的儀器無法長期地追蹤微觀的系統 只能於前後作設定及測量 在兩者之間微觀系統就獨立地演化
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或者之前獨立演化的微觀系統 在巨觀儀器干擾後，躍遷至另一狀態 獨立的微觀系統能量不變，因此一定處於固定能量解！
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固定能量解 能量為一定值 E 的解，能量沒有不確定性！（描述能量守恆的獨立系統） 這些解因為能量固定，具有固定頻率： 固定能量解與能量的關係為何？ 以能量完全確定的自由電子為例 時間函數與空間函數分離！ 讓我們大膽猜想所有固定能量解與能量的關係都具有同樣的形式
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固定能量解的波函數為時間的指數函數：波函數的變化率正比於波函數本身
這是固定能量解的正式條件 時間微分運算對這些解來說和常數乘積一樣！ 而時間微分是量子世界的能量，對這些解，現在回到古典一樣，只是數 所以對這些解，能量像古典一樣，只能是 E 這一個值 能量的測量，沒有不確定性！
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固定能量解正好描述定態 機率密度 與時間無關 可以證明其他物理測量的期望值與時間無關！
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固定能量解的時間部分與空間部分會分離： 與空間的關係，可以寫成一個方程式： 代入薛丁格方程式 位置函數 ψ(x) 滿足此常微分方程式：
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與時間無關之薛丁格方程式。 定態所滿足的方程式： 對那一些能量 E，方程式可以得到解 解出位置函數 ψ(x)， 整個波函數就都知道了！
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牛頓力學可以描述系統變化的軌跡。 量子力學只能討論兩個定態之間的躍遷。 了解這些定態便是討論的第一步！
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旅行波
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自由電子 當電子受力為零時，位能V 是一常數， 假設 動能 其解很簡單，二次微分後與自己成正比，就是指數函數
這是二次微分方程式，上式有兩個未知係數，因此已經是最普遍的解了
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自由電子 完整的波函數 分別對應於向+x與-x方向運動的正弦電子波 這就是德布羅意所寫下的物質波所具有的性質
但它既有實數部也有虛數部（這是德布羅意不知道的！） 波速不是定值
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單一方向傳播的電子波，波長確定，動量確定
與一般的波不同，它有虛數部！ 單一方向傳播的電子波機率密度為一常數 動量完全確定，位置完全不確定，波狀的態的波函數 它的位置是完全無法確定的。 因為沒有任何位置資訊，所以稱它為沿+x方向運動並不確實， 它只是擁有+x方向的動量，並沒有任何東西是在傳播之中。 波函數的相位波形是在傳播，但那不是可觀察的物理量。所以物質波並不是一個傳播的波
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以0.1c光速移動的電子 電子波的波長大致是原子尺度，極小，因此在日常生活無法察覺！ 極小的波長，使電子波顯微鏡鑑別度極高！
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單一方向傳播的自由電子波機率密度為一常數
動量完全確定，位置完全不確定 完全全球化的狀態
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我們觀察到的粒子總是得有一些地方特色：區域性！
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動量完全確定，單一波長的電子波只是一個理想狀態。
它無法滿足歸一化條件 它的機率分佈是一個常數，但總機率是有限的（等於1），那麼在任何一點的機率密度只能是無限小。 現實世界的粒子總是得有一些區域性， 現實的粒子狀態可以由一系列的理想狀態電子波疊加出來：波包。
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要製造出波包，動量就不可能完全精確，因此不能是單一波長
疊加波長在一個範圍內的正弦波，波函數的振幅會集中在空間中的一個區域之內，稱為波包。
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如果動量（波長）的分布是高斯分布，平均值即是粒子的動量，寬度即是動量不準度。
波包的寬度 Δk 波強度的分布也會是一個高斯分布，寬度即是位置測量的不準度。 Δx 測不準原理可由波包的傅利葉分析推導出來
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Δk Δx 波包即是一個位置與動量同時都有不準度的粒子狀態的波函數。 但因為波包的動量分佈也大概集中於一個平均值的附近， 若是計算一些對動量不太敏感的物理量， 以一個正弦（複數）電子波來近似波包，通常效果不錯！
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波包波函數的實部與虛部 波包並不是定態，而是類似的定態的疊加 所以位置的平均值會移動！ 移動速度正是古典的電子速度。
波包並不是定態，而是類似定態的疊加
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波包不是固定能量態， 而是能量相近的定態的疊加， 所以波包會擴散！ 原來較窄的波包，擴散較快！ 原來較寬的波包，擴散較慢！
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粒子狀的態的波函數 x 波狀的態的波函數 兩者都是波包的極端情況
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動量完全確定，單一波長的電子波只是一個理想狀態。
現實世界觀察到的粒子總是得有一些區域性， 現實的粒子狀態可以由一系列的理想狀態電子波疊加出來：波包。 如果位置的要求不是極度精準，動量的不準度無須極大 以單一動量的理想電子波，來近似真實的粒子，誤差並不大！
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階梯狀位能，反射與透射
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階梯狀位能
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反射與透射 在兩個區域內分別都是自由粒子，正弦波解可以適用： 由右入射一個正弦波，在邊境產生向右的透射波，即向左的反射波 入射波 透射波 反射波
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機率分布 反射的波與入射波疊加干涉！強度與位置有關。
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以波包來描述粒子的反射與透射！ 將一群前一頁的固定能量解（能量有略為差距），疊加形成波包， 你應該會預期有一反射波包及一個透射波包。 古典粒子會直接穿越，只是速度變慢。
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波包在撞擊位階後會分裂為二！透射與反射。
古典粒子碰到這樣的位能是不會有反射的！一個粒子分成兩個？ 這就是一維的散射，所以散射後測量該電子，有可能發現它往右運動，也有小部分機率會發現它往左，但發現是永遠是一顆電子。 如果是一束電子，波的強度就是電子數的分布！
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Tunneling effect 如果
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古典的粒子根本不能存在這樣的區域 繼續使用同樣的解 角波數為虛數 然而在量子力學中，波函數還是有解， 只是此時不再是正弦波，而是指數函數 另一種方法是直接看波方程式： 現在機率密度不再是常數了！
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電子波會以指數遞減的程度滲入古典粒子無法進入的區域！
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能量較低的波包撞擊位階時，波會滲入禁止區，
但在碰撞過後而言，滲入的部分就會消失， 反射波包的行為如同一個古典的反彈粒子。
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但如果這位能只持續很小一個範圍，位能很薄，粒子便能滲透過去，
在位能壘後方形成一個自由粒子波！ 穿隧效應 Tunneling Effect
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穿牆人 Le Passe-Muraille Marcel Aymé, 1943
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L 在位壘中 穿透的振幅
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Tunneling effect 穿隧效應 在位壘中 機率密度 隨距離而指數遞減。 穿透機率 一個電子有這麼多的機率會穿透，其餘的機率則反彈回來！
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Scanning Tunneling Microscope 穿隧顯微鏡 STM
石墨表面的碳原子
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Xenon Atoms
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原子核的 α 衰變
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以上的例子都對應到古典的自由態粒子 古典的束縛態則對應到駐波，
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有限範圍的駐波態振盪，頻率都不是連續的
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盒子中之自由電子 Particle in a box
邊界條件：
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盒子中之自由電子 Particle in a box
無限大位能井，在井中如自由電子 邊界條件： 邊界內，就如同自由電子
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有邊界之自由電子 邊界條件： 這是實數函數，結果與弦波駐波的振幅一模一樣！
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有邊界之電子束縛態形成駐波 電子束縛態波函數有虛數部
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能量量子化，能量由量子數 n 標定 基態的動量不為零 電子是靜不下來的！ 這是測不準原理的結果。 這是量子束縛態的一般特徵！
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波被限制於一個範圍內 波是蔓延於整個空間中，它會感覺到整個空間 因此它會感覺到限制， 被限制的波的狀態如駐波般就會是分立而非連續的！
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相反的，粒子則只占據空間中的一個點， 它不可能感到空間的限制， 它的狀態變通常是任意而連續的！
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能階躍遷 粒子狀態隨時間的演化即為能階穩定態之間的躍遷。 量子物理可以計算躍遷發生的機率！但無法預測何時確定會發生！
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節點處 P 永遠為零，在節點處永遠不可能發現該電子！
機率密度 節點處 P 永遠為零，在節點處永遠不可能發現該電子！ 量子數 n 減一即是節點數目！ 節點
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總機率必須等於 1 歸一化條件可以解出係數 C
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有限大位能井 電子被拘限於一定區域時，能量為離散的能階 電子不被拘限於一定區域時，能量為連續
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簡諧振盪器 Energy is quantized
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For large n, the quantum probability is similar to the classical one.
n = 11 State For large n, the quantum probability is similar to the classical one.
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Molecular Vibration
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A particle in a capacitor
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