數學本質概念---機率 欣雁、婉貞.

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1 數學本質概念---機率 欣雁、婉貞

2 數學結構 認知結構 迷思概念 教學策略 教材分析

3 貳、行為異常的分類 數學結構 機率的定義 1.古典機率（或稱理論機率） ---將機率的概念以“相同的可能性”來解釋
做任何一個隨機試驗，共有n種互斥的且出現可能性相同的結果，其中滿足性質A的有n種，則事件A發生的機率為p（A）＝n/N

4 數學結構 機率的定義 經驗機率（Empirical probability）（或稱次數機率）
---以在多次重覆實驗後，一事件出現的頻率來表示機率，此即統計的定義，或客觀的解釋。 一隨機實驗重複試行n次，則事件A發生的機率為該實驗在長期試驗中事件A所出現的次數f與實驗總次數的比。也就是P（A）＝ f/n

5 數學結構 機率的定義 主觀或直覺機率（Subjective and Intuitive probability）
---以觀察者對一事件的相信程度來定義機率，此即主觀的觀點。 例如:明天會下雨的機率是80﹪ 某公司的行銷經理預測新產品上市的成功機率 是0.7

6 認知結構 兒童概念發展---Piaget理論 1.七歲以前的兒童是屬於運思前期，尚無法區分事件之必然性和可能性。
*假如事件A和B，像事件A出現的次數較多，下一 次兒童將預測B，其理由是“B常被跳過”。 *從袋中抽一個白球，放回去再抽第二球時，兒童 會覺得不一樣，其理由是因為白球已被抽過了， 第二次應會抽到其它的球，因此兒童沒有隨機的 概念。

7 認知結構 *Piaget亦注意到某些兒童常以所觀察的事件多量 作為預測判斷而完全忽略了群體的比值。
例如:一個箱子有三個黑球和一個白球；另一個箱 子有六個黑球和二個白球，當問他們從每個箱子各拿出一個球時是否拿到一個黑球的機會一樣，兒童經常會說人有六個黑球的箱子拿到黑球的機會較在，因為它有六個黑球。 *此時期的兒童不具有集合包含關係，因此亦無法 將一事件看做所有可能發生事件的一部份。

8 認知結構 2.七到十四歲的兒童是屬於具體運思期，已能 認清事件之必然性和可能性，但尚無法以有系統的方式去產生一個有系列性的機率概念。
2.七到十四歲的兒童是屬於具體運思期，已能 認清事件之必然性和可能性，但尚無法以有系統的方式去產生一個有系列性的機率概念。 3.十四歲以上的兒童屬於形式運思期，開始發展他們的組合分析的才能，並且瞭解相對次數的極限（大數法則）機率。 *大部份十六歲的學生尚未發展到形式操作期階段。 更而發現學生對樹枝圖和乘法原則均不甚瞭解

9 學生的迷思概念 1.如果一個箱子有三個黑球和一個白球；另一個 箱子有六個黑球和二個白球，當問他們從每個箱子各拿出一個球時，是否拿到一個黑球的機會一樣，學生經常會說：有六個黑球的箱子拿到黑球的機會較大，因為它有六個黑球。 2.如果我們從袋中抽一個白球後，再放回去抽第二球時，學生會覺得不一樣，因為白球已經被抽過了，所以學生認為第二次應該會抽到其它的球，因學生沒有隨機的概念。

10 學生的迷思概念 3.學生對機率的一般語言觀念模糊。 例如：月亮從東邊升起的可能性是多少？ 大部分的學生都會回答『可能會』。
（月亮一定會從東邊升起） 4.賈媽媽生二個女兒，那賈媽媽第三個還是 生女兒的可能性為何？ 大部分的會覺得『生女兒』的機會會較大。 少部分的認為『生兒子』的機會會較大。 （其實生男生女的機會都一樣）

11 教學策略 1.以質問代替講述，引導學生釐清概念
*當學生忽略了「每一次硬幣投擲都是獨立事 件」時，教師可藉由反問學生「硬幣有記憶力嗎？它會記得前次試驗的正反面情形而影響到下一次的正反面嗎？」學生經此一問，會發現硬幣沒有記憶性，前次試驗和後次試驗是獨立事件不可能互相影響的。藉由質問的過程刺激學生對機率問題做更深入的思考和辨證，並能獨立去找出答案。

12 教學策略 2.透過合作學習之教學活動，協助學生去檢驗自己的機率基本信念
教師可先安排一個教學活動，在活動之初先讓學生各自說出自己對結果的預測，並與其他學童做比較，並要求學童檢驗自己的內在信念變化，並觀察自己的信念和實際結果有無一致。在這樣的層層檢驗之下，學童較易發現自己先前不當的迷思概念並加以破除。

13 教學策略 3.於課堂中藉助機率遊戲學習 老師可以藉由猜拳、擲骰子和抽球等常見的遊戲，讓學生去評估這些遊戲規則的公平性，進而去預測遊戲之輸、贏可能的情況，如此這樣的遊戲活動便隱含了機率的概念，並能收「寓教於樂」之效果。

14 教材分析 依據八十二年度國小課程標準，兒童從遊戲中瞭解機率的初步概念，且注解機率的初步概念包含如下： （1）部分與全體的關係
（2）大數法則，也就是大量的試驗結果， 趨近於某一數。 例：世界人口，男女人數趨於平衡，各約 占總人口為數的1/2。

15 教材分析

16 教材分析

17 教材地位 第十冊 第九冊 • 認識平均數 本冊 及其算法 • 比的意義 本單元 • 認識眾數及 • 比值的意義 • 觀察事件發生的 其算法
• 比的相等 本單元 • 觀察事件發生的 可能性 • 機率的初步概念 • 大數法則的體驗 第十冊 • 了解平均數與個 數總量間的關係 • 認識加權平均數 的意義及其求法 第十二冊 • 報讀圓形圖 長條百分圖 • 繪製圓形圖

18 百分率的基本介紹 一.百分法： 以某數量為標準，求另一個同種類的數量是它的百分之多少的方法。 二.百分率：
﹝一﹞用百分法求出的百分之多少叫百分率， 百分率也稱為「百分比」或「百分數」。 ﹝二﹞任何數把它化成分母是100的分數。 ﹝三﹞部分量除以全部量的值乘以100%。

19 百分率的基本介紹 ﹝四﹞把基準量設定為100，部分佔全部的百分 之幾。 ﹝五﹞表示兩個或兩個以上同類數量的比值。 三.百分號：
用來表示百分率的符號【%】稱做百分號。

20 變形百分率 一、小數變百分率： 把小數點向右移二位，再補上【﹪】 例：0.36＝36﹪ 0.457＝45.7﹪ 二、百分率變小數：
例：0.36＝36﹪ ＝45.7﹪ 二、百分率變小數： 先將【﹪】去掉，再把小數點向左移二位。 例：98﹪＝ ﹪＝0.564

21 變形百分率 三、分數變百分率： 1.把分母化成100，用百分率【﹪】來表示。 例： ＝ ＝0.06＝60﹪
例： ＝  ＝0.06＝60﹪ 2.分子除以分母，得到小數後再變成百分率。 例： ＝5÷8＝0.625＝62.5﹪ 〈1〉 ＝2＋3÷4＝2.75＝275﹪ 〈2〉 ＝11/4＝2.75＝275﹪

22 變形百分率 四、百分率變分數：將 20﹪化成最簡分數。 例：20﹪ ＝ ＝1/5 五、折扣數變百分率： 〈1〉八折是指80%
例：20﹪ ＝ ＝1/5 五、折扣數變百分率：      〈1〉八折是指80% 九折是指90% 依此類推。     〈2〉七五折是指75% 五五折是指55% 依此類推。

23 計算百分率 一、求百分率 →部分量÷全部量＝百分率 部分量÷部分量＝百分率 例 : 100元分給甲乙二人，甲得80元，請問
乙所得是佔甲的百分之幾？ 【答】 乙所得÷甲所得 ＝（100－80）÷80 ＝20÷80 ＝0.25 ＝25﹪ 答：25﹪

24 計算百分率 二、求部分量 → 全部量×百分率＝部分量 1. 數學試題50題，某生做錯12﹪，請問共答錯幾題？ 【答】
  【答】 50題×12﹪＝6題 答：6題 2. 合作社進貨3600元，售出後賺得15，請問賺了 多少錢？ 【答】 3600元×15﹪＝540元 答：540元

25 計算百分率 三、求全部量 →部分量÷百分率＝全部量 橘子一簍，爛掉30個，恰巧佔良好的5 ﹪,問簍裡共有橘子多少個？
【答】全部的橘子＝爛掉的橘子＋良好的橘子 爛掉的橘子÷良好的橘子＝5﹪ 良好的橘子＝爛掉的橘子÷5﹪ 30÷5﹪＝30÷0.05＝600 30＋600＝   答：630個

26 開始上課 ~和機率的第一次親密接觸~

27 請每個人都擲10次並紀錄正反 面發生的次數，最後請小組把每個人的結果加總………
大家動動手來擲錢幣 : 請每個人都擲10次並紀錄正反 面發生的次數，最後請小組把每個人的結果加總……… 小組討論看看 你們發現了什麼?

28 小明在商店抽遊戲王卡，有2種不同的抽獎盒，甲盒中有10張藍籤和6張紅籤，乙盒中有5張藍籤和3張紅籤。
小明說他要抽甲盒，因為6張紅籤比3張紅籤多。 你覺得小明說的對不對？ 對 不對 為什麼?______________________

29 針對此次報告希望大家都有收穫喔…. 謝謝大家！