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數學本質概念 因數與倍數 指導教授：林宜臻老師 學生：廖冠惠 歐妍汝
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因 數 ☆因數，又稱「約數」，不限正負 ☆甲數能被乙數整除時，乙數就是甲數的因數 ☆若 ，則稱b、c為a的因數
因 數 ☆因數，又稱「約數」，不限正負 ☆甲數能被乙數整除時，乙數就是甲數的因數 ☆若 ，則稱b、c為a的因數 Ex:15=3×5， 3、5為15的因數
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因 數 ☆1是任何整數的因數 ☆大於1的任何整數其因數中，最小的是1，最大的是它本數 ☆1是任何整數的因數，也是任何幾個整數的公因數
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倍 數 ☆與「因數」是相對來說 ☆甲數能被乙數整除時，甲數就是乙數的倍數 ☆若 ，則稱a為b、c的倍數 甲數是乙數的因數，乙數就是甲數的倍數
倍 數 ☆與「因數」是相對來說 甲數是乙數的因數，乙數就是甲數的倍數 ☆甲數能被乙數整除時，甲數就是乙數的倍數 ☆若 ，則稱a為b、c的倍數 Ex:15=3×5， 15為3、5的倍數
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倍 數 ☆0是任何數的倍數 ☆一個數的倍數有無限多個 ☆任何整數的倍數中，最小的是本數，最大的是無限大
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公因數與最大公因數 ☆一個整數是幾個整數共同的因數，這個整數叫做這幾個整數的「公因數」
☆最大公因數 Greatest common divisor，縮寫gcd Highest common factor ，縮寫hcf 某幾個整數的共有因數中，最大的 ！ ☆兩個整數中，如果有一數是另一數的因數，這個數就是這兩數的最大公因數
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求最大公因數的方法 排列法 短除法 質因數分解法 輾轉相除法
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排 列 法 ☆比較適合初學者使用 ◎求12和8的最大公因數? 的因數有:1,2,3,4,6, 的因數有:1,2,4,8 其中1,2,4皆是12和8的公因數，而4即為最大公因數。 <最大公因數的寫法：（12,8）= 4>
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短 除 法 ☆最常被使用的方法 ◎請找出12, 24 和 60 的最大公因數 △將最左邊的數字相乘，就能找到最大公因數
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質因數分解法 ☆先將數各別做質因數之分解，並列為標準式，再從兩標準式中找出同時存在的基數，並要取最小指數的部份 ◎求12和8的最大公因數?
最大公因數：
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輾轉相除法 ☆又名「歐幾里德演算法」 ☆適合用來處理數字比較大的數
☆它是已知最古老的演算法, 其可追溯至前300年。它首次出現於歐幾里德的《幾何原本》中，而在中國則可以追溯至東漢出現的《九章算術》。
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輾轉相除法 ◎求1280和1620的最大公因數 1.先用1620除以1280， 得到1餘340 2.再用1280除以340，
得到1餘 再用1280除以340， 得到3餘 如此輾轉相除,最後整除前是 除以20，20便是最大公因數
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公倍數與最小公倍數 ☆一個數是幾個數的共同倍數，這個數叫做它們的「公倍數」
☆最小公倍數 Least common multiple，縮寫lcm 共有倍數中最小的一個！ ☆幾個整數中，如果有一個數是其餘各數的公倍數，這一個數就是這幾個數的最小公倍數
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求最小公倍數的方法 排列法 短除法 質因數分解法
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排 列 法 ☆比較適合初學者使用 ◎求3和4的最小公倍數? 3的倍數有:3,6,9,12,15,18,21,24… 4的倍數有:4,8,12,16,20,24… 其中12,24皆是3和4的公倍數，而12為最小公倍數。 <最小公倍數的寫法：﹝3,4﹞= 12>
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短 除 法 ☆最常被使用的方法 ◎請找出8,12 和 15 的最小公倍數 △將在 之外的數字相乘，就能找到最小公倍數
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質因數分解法 ☆先將數各別做質因數之分解，並列為標準式，再從兩標準式中找出所有存在的基數，並要取各數最大指數的部份
◎求168和90的最小公倍數? 最小公倍數：
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因數分解的思考 大家有看過機器人嗎？ 有些機器人是可以分解的，有些則不行 讓我們來看看以下這些機器人吧！
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因數分解的思考 ★每一個數我們都可以把它視為一個機器人。 ★有的機器人製作比較簡單，不能分解，我們把它稱為「質數」。
★每一個「質數」機器人，僅有兩個因數，一個是1，一個是它本身。
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因數分解的思考 ★有的機器人製作較精細，可以拆解，我們把它稱為「合數」機器人。 ★ 例如：可以將頭與身體分開成兩部份的機器人。
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因數分解的思考 ★有一些「合數」機器人，可以拆解的更細。 ★ 例如：可以將頭與身體和四肢都分開成的機器人。
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因數分解的思考 ◎由以上我們可得知： 我們所介紹的數字機器人，最少有兩個因數 「1」(一個)、「它本身」(機器人)。
b. 不能拆解的機器人相當於「質數」。 可以拆解的機器人相當於「合數」。 c. 拆解的每一部份，視為一個因數： 拆成兩部分則有 2 +2 (1，本身) =4個因數 拆成三部分則有3+2=5 個因數 拆成四部分則有4+2 =6個因數 ： ： 以下類推
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質數與合數是什麼? 質數:一個大於 1的正整數，若只有 1 和本身兩個正因數，則這正整數叫做「質數」。
20 以內的質數有 2、3、5、7、11、13、17、19。 1不是質數 質數除了２之外，必為奇數。（換句話說，２是最小的質數，也是唯一的偶數） 合數:一個大於１的整數，除了１和它本身二個因數之外，還有其它因數的，叫做合數。 20 以下的合數便是 4、6、8、9、10、12、14、15、16、18。
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一起來找質數吧~ 古早古早的方法- 「埃拉托散尼篩法」 生為現代人…- 看能不能被比它小的質數整除，如果不能被整除，則這個數就稱為「質數」。
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一起來找質數吧~ 最大的質數是什麼? 有二十五萬八千七百一十六個位數 全部印出來，要印滿八頁報紙 答案揭曉---2859733－1
掐指一算即知道~讓質數無所遁形吧! 質數都是6的倍數加或減1的數目 （除了2和3之外）
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質數好好玩~有吃又有拿1 玩法一 1.準備１到２４的數字卡，並將全班分成二組進行比賽。
2.比賽開始，每組輪流取一張數字卡，直到數字卡取完，並將各組的牌分別排在黑板的左右兩邊。 3.比賽下列幾道題目：各組派一人上台將指定的數字卡挑出來，兩組比賽多者獲勝。
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玩法一之續集 a.質數數字卡。 b.有２的因數的數字卡。 c.１張數字卡中因數最多者。 d.是奇數而且又是合數的數字卡。
e.只有３個因數的數字卡。 4.將數字卡加到３０或５０，重複進行1到3的步驟。
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玩法一之續集 a.質數數字卡。2.3.5.7.11.13.17.19.23 b.有２的因數的數字卡。 c.１張數字卡中因數最多者。
d.是奇數而且又是合數的數字卡。 e.只有３個因數的數字卡。 4.將數字卡加到３０或５０，重複進行1到3的步驟。
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玩法一之續集 a.質數數字卡。 b.有２的因數的數字卡。 c.１張數字卡中因數最多者。 d.是奇數而且又是合數的數字卡。 e.只有３個因數的數字卡。 4.將數字卡加到３０或５０，重複進行1到3的步驟。
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玩法一之續集 a.質數數字卡。 b.有２的因數的數字卡。 c.１張數字卡中因數最多者。24 d.是奇數而且又是合數的數字卡。 e.只有３個因數的數字卡。 4.將數字卡加到３０或５０，重複進行1到3的步驟。
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玩法一之續集 a.質數數字卡。 b.有２的因數的數字卡。 c.１張數字卡中因數最多者。24 d.是奇數而且又是合數的數字卡。 e.只有３個因數的數字卡。 4.將數字卡加到３０或５０，重複進行1到3的步驟。
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玩法一之續集 a.質數數字卡。 b.有２的因數的數字卡。 c.１張數字卡中因數最多者。24 d.是奇數而且又是合數的數字卡。 e.只有３個因數的數字卡。9 4.將數字卡加到３０或５０，重複進行1到3的步驟。
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質數好好玩~有吃又有拿2 玩法二 １.二人一組，仿照籃球遊戲「滿江紅」的玩法。規定每人基本分數為一分。
２.輪流投擲骰子，若骰子點數為一點則加一分， 為二點則加二分，依此類推。
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３.當累計分數為質數時，則「爆炸」，分數再從一分算起 。 例：點數為３ 點數為２ 點數為５
（∵ 11 為質數，此時總分再從 1 分算起） ４.總分先達一百分者為勝利者。
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質數好好玩~有吃又有拿3 玩法三<體驗> １. 全班圍成一個大圓圈。 ２.輪流報數，如遇質數不報數，改為拍手。
１. 全班圍成一個大圓圈。 ２.輪流報數，如遇質數不報數，改為拍手。 如： 1，(拍手)，(拍手)，4，(拍手)，6，(拍手)，8，9，10，(拍手)， ３.為避免數字太大，不易判別是否為質數，由１數到 100 即從頭數起。 ４.速度宜越來越快。 ５.凡錯誤老淘汰，直至產生冠軍。 P.S也可以將遊戲改為遇到3的倍數.4的倍數…拍手或是站起來等。
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質數好好玩~有吃又有拿4 玩法四 1.分組比賽，（ 2人或 3人為佳），先決定先後順 序及棋子顏色。
２.利用亂數表在棋盤的方格內填上１到９９的 數字，不得重覆。 ３. 比賽開始，棋子由起點前進一格，前進方向 為 或如遇質數在前可跳進更前一格。 ４.先將棋子移進終點者為勝。 ５.可將圈內數字擦掉，再填上新數字，重覆比賽。
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質因數分解 質因數：一個質數如果是某一個整數的因 數，它是該整數的「質因數」 。 例如：2是質數，2也是20的因數，所以2是
20的質因數。1不是質數，所以１不會是任 何整數的質因數。
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質因數分解：將一個整數表示成其質因數連乘積的活動稱之為「質因數分解」，依據算術基本定理：每一個正整數，都可以表示為其質因數的連乘積
以60為例，60的質因數分解紀錄可以是 3×2×2×5，也可以是2×5×2×3或5×2×2×3…
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短除法 是質因數分解法的簡要紀錄。 1.用短除法求最大公因數： 3 30，105 5 10，35 2，7 （30，105）＝3×5＝15
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質因數分解法和短除法的關係 3 30，105 5 2，7 30 ＝ 3 × 5 × 2 105＝3 × 5 ×7
3 30，105 5 10，35 2，7 105＝3 × 5 ×7 當剩餘的兩數互質 ,就可以停止短除法了
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不用再做下去囉!因為2.3.14三數已經互質啦~耶!!! 8＝ 2 × 2 × 2 12＝ 2 × 2 × 3 56＝ 2 × 2 × 2 × 7 2 8，12，56 4， 6，28 2， 3，14
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綱要結構 五年級 年級 階段能力指標 分年細目 說明 N-2-04 能理解因數、倍 數、公因數與公 倍數。 5-n-03 能理解因數、
倍數、公因數 與公倍數。 ●以1-n-07（幾個一數），2-n-08（九九乘法），3-n-04(除法)為前置經驗，理解因數、倍數的概念。 ●用列表的方式，尋找兩數的公因數與公倍數。學童應知道兩整數的乘積一定是此兩數的公倍數。
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綱要結構 六年級 年級 階段能力指標 分年細目 說明 N-3-01 能認識質數、合 數，並做質因數 分解。 6-n-01 能認識質數、
合數，並作質 因數的分解 （質數＜20， 質因數＜10， 被分解數＜ 100）。 ●在5-n-03，製作整數的因數表時，可以發現有一些整數不能再被分解，這些數稱為質數，他們的因數只有1與自己而已。大於1且不是質數的整數（或有3個以上因數的整數）稱為合數。 ●在對一數做因數分解的練習裡，發現遇到質數就必須停下來。同時在紀錄分解的樣式及整理中（此時的質因數乘積不寫成指數形式），發現不管怎麼分解，形式都一樣。
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綱要結構 六年級 年級 階段能力指標 分年細目 說明 N-3-01 能認識質數、合 數，並做質因數 分解。 6-n-01 能認識質數、
合數，並作質 因數的分解 （質數＜20， 質因數＜10， 被分解數＜ 100）。 ● 例：60＝6×10＝（2×3）×（2×5）＝2×2×3×5，或60＝15×4＝（3×5）×（2 ×2）＝2×2×3×5＝22×3×5等。 （★） ● 牽涉因數分解的細目（參見6-n-02），都應遵循如下原則：質因數＜10，被分解數＜100。 ● 讓學童熟悉20以內的質數之倍數（小於200）。並可從活動中，讓學童掌握2、3、5的倍數規則。
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綱要結構 六年級 年級 階段能力指標 分年細目 說明 N-3-02 能理解最大公因 數、最小公倍數 與兩數互質的意 義，並用來將分
數約成最簡分 數。 6-n-02 能認識兩數的 最大公因數、 最小公倍數與 兩數互質的意 義，理解最大 公因數、最小 公倍數的計算 方式，並能將 分數約成最簡 分數。 ●最大公因數、最小公倍數的初步教學，以列舉觀察為主，待學童熟悉其意義後，再介紹短除法，計算兩數的最大公因數與最小公倍數，數目大小原則參見6-n-01。 ● 兩數的最大公因數是1稱為互質。注意區辨互質與質數的不同。例如14與15雖然都是合數，但兩者互質。
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綱要結構 七年級 年級 階段能力指標 分年細目 說明 N-3-01 能認識質數、合 數，並做質因數 分解。 7-n-09 能理解質數的
意義，並認識 100以內的質 數。 ●能理解質數的定義，並能檢驗100以內的任何數是否為質數。
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綱要結構 七年級 年級 階段能力指標 分年細目 說明 N-3-02 能理解最大公因 數、最小公倍數 與兩數互質的意 義，並用來將分
數約成最簡分 數。 7-n-10 能理解因數、 質因數、倍 數、最大公因 數和最小公倍 數，並熟練質 因數分解的計 算方法。 ● 能由尋找正整數的正因數和正倍數的過程理解短除法、和質因數分解的計算方法。 ● 教學以熟練質因數分解的計算方法為主，正整數位數不宜過高。 ● 例： 48的標準分解式： 2 48 24 12 6 3
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綱要結構 七年級 年級 階段能力指標 分年細目 說明 N-3-02 能理解最大公因 數、最小公倍數 與兩數互質的意 義，並用來將分
數約成最簡分 數。 7-n-10 能理解因數、 質因數、倍 數、最大公因 數和最小公倍 數，並熟練質 因數分解的計 算方法。 所以48 = 2×2×2×2×3（或2．2．2．2．3），其中2、3稱為48的質因數，而1、2、3、4、6、8、12、16、24、48皆為48的因數，且48則為1、2、3、4、6、8、12、16、24、48的倍數。 ●例： 求36，48的的最大公因數。 仿上，36的因數有1、2、3、4、6、9、12、18、36，
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綱要結構 七年級 年級 階段能力指標 分年細目 說明 N-3-02 能理解最大公因 數、最小公倍數 與兩數互質的意 義，並用來將分
數約成最簡分 數。 7-n-10 能理解因數、 質因數、倍 數、最大公因 數和最小公倍 數，並熟練質 因數分解的計 算方法。 則兩數最大公因數為12，亦可簡化兩者的因數分解為： 則兩數的最大公因數（36，48）= 2×2×3 = 12，而兩數的最小公倍數 [36，48] = 2×2×3×3×4 = 144。 2 36 48 18 24 3 9 12 4
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綱要結構 七年級 年級 階段能力指標 分年細目 說明 N-3-02 能理解最大公因 數、最小公倍數 與兩數互質的意 義，並用來將分
數約成最簡分 數。 7-n-10 能理解因數、 質因數、倍 數、最大公因 數和最小公倍 數，並熟練質 因數分解的計 算方法。 ●做正整數的質因數分解時，其質因數以不大於47為宜。 ● 能解相關應用問題。 例：一數既是2的倍數，也是3的倍數，那麼一定也是哪個數的倍數？為什麼？
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綱要結構 七年級 年級 階段能力指標 分年細目 說明 N-3-02 能理解最大公因 數、最小公倍數 與兩數互質的意 義，並用來將分
數約成最簡分 數。 7-n-11 能以最大公因 數、最小公倍 數熟練運用至 約分、擴分、 最簡分數的計 算。 ●銜接N-3-04，加入負數的四則運算，並能化至最簡分數。 ●例：-4/42=-2/21，7/38-3/19=7/38-6/38=1/38 。
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動動腦~ 想一想唷!!
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神秘的身份證字號 櫻桃武藏丸的身份證字號很有趣，由1到9 的九個數字都出現，而且由左邊算起，前 兩位數是2的倍數，前三位數是3的倍數，
前四位數是4的倍數，......前九位數是9 的倍數。猜猜看！他的身份證號碼是多少 呢？ □□□□□□□□□
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報告完畢~~ 謝謝大家
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