解析几何课件(第四版) 吕林根许子道等编第一章矢量与坐标第二章轨迹与方程第三章平面与空间直线

解析几何课件(第四版) 吕林根许子道等编第一章矢量与坐标第二章轨迹与方程第三章平面与空间直线
吕林根许子道等编第一章矢量与坐标第二章轨迹与方程第三章平面与空间直线第四章柱面锥面旋转曲面与二次曲面第五章二次曲线的一般理论

第一章矢量与坐标 §1.1 矢量的概念 §1.2 矢量的加法 §1.3 数乘矢量 §1.4 矢量的线性关系与矢量的分解
第一章矢量与坐标 §1.1 矢量的概念 § 矢量的加法 § 数乘矢量 §1.4 矢量的线性关系与矢量的分解 § 标架与坐标 § 矢量在轴上的射影 §1.7 两矢量的数性积 § 两矢量的矢性积 § 三矢量的混合积

第二章轨迹与方程 § 平面曲线的方程 § 曲面的方程 § 母线平行与坐标轴的柱面方程 § 空间曲线的方程

第三章平面与空间直线 §3.1 平面的方程 §3.2 平面与点的相关位置 §3.3 两平面的相关位置 §3.4 空间直线的方程
第三章平面与空间直线 §3.1 平面的方程 § 平面与点的相关位置 § 两平面的相关位置 §3.4 空间直线的方程 § 直线与平面的相关位置 § 空间两直线的相关位置 §3.7 空间直线与点的相关位置

第四章柱面锥面旋转曲面与二次曲面 §4.1 柱面 § 锥面 § 旋转曲面 §4.4 椭球面 § 双曲面

第五章二次曲线的一般理论 §5.1 二次曲线与直线的相关位置 §5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 §5.3 二次曲线的切线
第五章二次曲线的一般理论 §5.1 二次曲线与直线的相关位置 § 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 § 二次曲线的切线 §5.4 二次曲线的直径 § 二次曲线的主直径和主方向 § 二次曲线方程的化简与分类

§1.1 矢量的概念 | | 定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做矢量，或称向量. 两类量: 数量(标量):可用一个数值来描述的量;
§1.1 矢量的概念定义既有大小又有方向的量叫做矢量，或称向量. 两类量: 数量(标量):可用一个数值来描述的量; 矢量(向量)既有大小又有方向的量. 矢量的几何表示：有向线段有向线段的长度表示矢量的大小, 有向线段的方向表示矢量的方向. 或 | | 矢量的模：矢量的大小. 或下一页返回

定义1.1.2 如果两个矢量的模相等且方向相同，那么叫做相等矢量.记为
单位矢量：模为1的矢量. 或零矢量：模为0的矢量. 定义1.1.2 如果两个矢量的模相等且方向相同，那么叫做相等矢量.记为＝所有的零矢量都相等. 定义1.1.3 两个模相等，方向相反的矢量叫做互为反矢量. 上一页下一页返回

定义1.1.4 平行于同一直线的一组矢量叫做共线矢量.
定义平行于同一直线的一组矢量叫做共线矢量. 零矢量与任何共线的矢量组共线. 定义平行于同一平面的一组矢量叫做共面矢量. 零矢量与任何共面的矢量组共面. 上一页返回

§1.2 矢量的加法这种求两个矢量和的方法叫三角形法则. 定理1.2.1 如果把两个矢量为邻边组成一个平行四边形OACB，那么对角线矢量
§1.2 矢量的加法 B O A 这种求两个矢量和的方法叫三角形法则. 定理1.2.1 如果把两个矢量为邻边组成一个平行四边形OACB，那么对角线矢量下一页返回

这种求两个矢量和的方法叫做平行四边形法则
B C O A 这种求两个矢量和的方法叫做平行四边形法则定理矢量的加法满足下面的运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（3）上一页下一页返回

A4 A1 A3 A2 An-1 O An 这种求和的方法叫做多边形法则上一页下一页返回

A B C 上一页返回

§1.3 数乘矢量下一页返回

定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）第一分配律：（3）第二分配律：两个向量的平行关系返回上一页
定理数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）第一分配律：（3）第二分配律：两个向量的平行关系上一页下一页返回

证充分性显然；必要性 ‖ 两式相减，得上一页下一页返回

上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.
按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量. 上一页下一页返回

例1设AM是三角形ABC的中线，求证: 如图证因为所以 A B C M (图1.11) 但因而即上一页下一页返回

例2 用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.
例2 用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半. 证设ΔABC两边AB，AC之中点分别为M，N，那么所以且上一页返回

§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解下一页返回

. , 2 4 1 唯一确定被并且系数）－（的线性组合，即可以分解成或者说向量线性表示，可以用向量共面的充要条件是与
不共线，那么向量如果向量定理 r e y x + = . , 2 1 叫做平面上向量的基底这时 e . , ) 3 4 1 ( 2 唯一确定被并且其中系数的线性组合，即可以分解成向量任意向量线性表示，或说空间可以由向量不共面，那么空间如果向量定理 r e z y x - + = 上一页下一页返回

例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.
, 3 2 1 叫做空间向量的基底这时 e 例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分. D . , 3 2 1 关系式线性表示的，用先求取不共面的三向量就可以了三点重合下只需证两组对边中点分别为其余它的中点为线为的连的中点对边一组设四面体证 e AP AD AC AB P EF F E CD ABCD = e3 F P1 C e2 A E e1 B 上一页下一页返回

连接AF，因为AP1是△AEF 的中线，所以有
又因为AF1是△ACD 的中线，所以又有上一页下一页返回

. , ) 4 1 ( 2 关的向量叫做线性无关性相叫做线性相关，不是线个向量那么（＝使得个数在不全为零的，如果存对于
( 2 关的向量叫做线性无关性相叫做线性相关，不是线个向量那么（＝使得个数在不全为零的，如果存对于定义 n a L - + l . = a 线性相关的充要条件为一个向量推论 . , 2 4 1 组合向量是其余向量的线性充要条件是其中有一个线性相关的时，向量在定理 n a L . 5 4 1 相关那么这一组向量就线性分向量线性相关如果一组向量中的一部定理 . 线性相关量，那么这组向量必一组向量如果含有零向推论上一页下一页返回

例4 设为两不共线向量，证明共线的充要条件是 . 6 4 1 是它们线性相关两向量共线的充要条件定理 . 7 4 1
件是它们线性相关三个向量共面的充要条定理 . 8 4 1 线性相关空间任何四个向量总是定理例4 设为两不共线向量，证明共线的充要条件是上一页下一页返回

共线线性相关，即存在不全为0 证的实数使即又因为不共线线性无关有唯一零解上一页返回

§1.5 标架与坐标三个坐标轴的正方向符合右手系. 竖轴定点纵轴横轴空间直角坐标系下一页返回

2、坐标面与卦限 Ⅲ 面面 Ⅱ Ⅳ Ⅰ 面 Ⅵ Ⅶ Ⅴ Ⅷ 空间直角坐标系共有八个卦限上一页下一页返回

称为点M的坐标，x称为横坐标, y称为纵坐标， z称为竖坐标.
3、空间点的直角坐标空间的点有序数组称为点M的坐标，x称为横坐标, y称为纵坐标， z称为竖坐标. 特殊点的表示: 坐标轴上的点坐标面上的点上一页下一页返回

4、空间向量的坐标称为向量的坐标分解式. 上一页下一页返回

在三个坐标轴上的分向量：显然，向量的坐标：向径： (点M关于原点O) 上一页下一页返回

5、利用坐标作向量的线性运算向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式上一页下一页返回

6、线段的定比分点坐标解设为直线上的点，上一页下一页返回

7、其它相关定理定理1.5.4 已知两个非零向量则共线的充要条件是定理1.5.6 已知三个非零向量，则共面的充要条件是返回
定理已知两个非零向量则共线的充要条件是定理已知三个非零向量，则共面的充要条件是上一页返回

§1.6 矢量在轴上的射影空间一点在轴上的投影下一页返回

由此定义，关于向量的投影定理（1）证上一页下一页返回

定理1的说明：投影为正；投影为负；投影为零； (4) 相等向量在同一轴上投影相等；上一页下一页返回

关于向量的投影定理（2）（可推广到有限多个）上一页下一页返回

解上一页返回

§1.7 两矢量的数性积实例 M2 M1 启示两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 下一页返回

结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.
定义结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积. 数量积也称为“点积”、“内积”. 上一页下一页返回

数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若为数：若、为数：上一页下一页返回

两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为：上一页下一页返回

向量的模与空间两点间距离公式由勾股定理上一页向量模的坐标表示式下一页返回

为空间两点. 空间两点间距离公式上一页下一页返回

方向角与方向余弦的坐标表示式空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值. 上一页下一页返回

非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
非零向量的方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. 上一页下一页返回

由图分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向. 上一页下一页返回

向量方向余弦的坐标表示式当时，上一页下一页返回

上式表明，以向量的方向余弦为坐标的向量就是与同方向的单位向量
方向余弦的特征上式表明，以向量的方向余弦为坐标的向量就是与同方向的单位向量上一页返回

§1.8 两矢量的矢性积下一页返回

上一页返回

§1.9 三矢量的混合积定义设混合积的坐标表达式下一页返回

关于混合积的说明：（1）向量混合积的几何意义：上一页下一页返回

式中正负号的选择必须和行列式的符号一致. 上一页返回

§2.1 平面曲线的方程空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 空间曲线的一般方程特点：
§2.1 平面曲线的方程空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 空间曲线的一般方程特点：曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程. 下一页返回

例1 方程组表示怎样的曲线？解表示圆柱面，表示平面，交线为椭圆. 上一页下一页返回

表示怎样的曲线？例2 方程组解上半球面, 圆柱面, 交线如图. 上一页返回

§2.2 曲面的方程曲面的实例：水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面方程的定义：下一页返回

以下给出几例常见的曲面. 解根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为上一页下一页返回

x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （*）
由得上、下半球面的方程分别是：由上述方程可得球面的一般式方程为： x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = （*）反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到： (x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4 当 A2+B2+C2-4D >0 时, 是球面方程. 上一页下一页返回

解根据题意有化简得所求方程上一页下一页返回

例4 方程的图形是怎样的？解根据题意有图形上不封顶，下封底．以上方法称为截痕法. 上一页下一页返回

以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：
（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．（讨论旋转曲面）（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论柱面、二次曲面）上一页返回

§2.3 母线平行与坐标轴的柱面方程平面抛物柱面平面方程：抛物柱面方程：下一页返回

（其他类推）从柱面方程看柱面的特征：实例椭圆柱面，母线// 轴双曲柱面，母线// 轴抛物柱面，母线// 轴返回上一页
母线// 轴双曲柱面，母线// 轴抛物柱面，母线// 轴上一页下一页返回

椭圆柱面 z x y o b a 上一页下一页返回

双曲柱面 z x y = 0 o y 上一页下一页返回

抛物柱面 z x y o 柱面都是直纹面，而且都是可展曲面上一页返回

§2.4 空间曲线的方程一、空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程下一页返回

取时间t为参数，动点从A点出发，经过t时间，运动到M点解螺旋线的参数方程上一页下一页返回

螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要性质：上升的高度与转过的角度成正比．即上升的高度螺距上一页返回

§3.1 平面的方程一、平面的点法式方程如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量．法线向量的特征：
§3.1 平面的方程一、平面的点法式方程如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量．法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量．已知设平面上的任一点为必有下一页返回

平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形．
平面的点法式方程其中法向量已知点平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形．上一页下一页返回

解取法向量所求平面方程为化简得上一页下一页返回

二、平面的一般式方程由平面的点法式方程即任一平面？平面的一般方程法向量表示（A,B,C不同时为零）不妨设，则
即任一平面表示（A,B,C不同时为零）？不妨设，则，为一平面. 平面的一般方程法向量上一页下一页返回

平面的一般方程平面一般式方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过轴；平面平行于轴；类似地可讨论情形.
平面通过轴；平面平行于轴；类似地可讨论情形. 平面平行于坐标面；类似地可讨论情形. 上一页下一页返回

解设平面为由平面过原点知所求平面方程为上一页下一页返回

解设平面为将三点坐标代入得上一页下一页返回

将代入所设方程得平面的截距式方程上一页下一页返回

解设平面为由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）上一页下一页返回

令化简得代入体积式所求平面方程为或上一页返回

§3.2 平面与点的相关位置解下一页返回

在第一个平面内任取一点，比如（0，0，1），上一页返回

§3.3 两平面的相关位置定义两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. （通常取锐角）下一页返回

按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面位置特征： // 上一页下一页返回

例1 研究以下各组里两平面的位置关系：解两平面相交，夹角上一页下一页返回

两平面平行两平面平行但不重合．两平面平行两平面重合. 上一页返回

§3.4 空间直线的方程一、空间直线的一般方程定义空间直线可看成两平面的交线．空间直线的一般方程（注：两平面不平行）下一页返回

// 二、空间直线的对称式方程方向向量的定义：如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．直线的对称式方程
（点向式方程）上一页下一页返回

例1 求过点(1,0,-2)且与平面3x+4y-z+6=0平行,又与直线垂直的直线方程.
线垂直的直线方程. 解: 设所求线的方向向量为已知平面的法向量已知直线的方向向量取因此,所求直线方程为上一页下一页返回

三、空间直线的参数式方程由直线的对称式方程令直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦. 直线的参数方程上一页下一页返回

例2 用对称式方程及参数方程表示直线解在直线上任取一点取解得点坐标上一页下一页返回

因所求直线与两平面的法向量都垂直取对称式方程令得参数方程上一页下一页返回

解所以交点为取所求直线方程上一页返回

§3.5 直线与平面的相关位置定义直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角．下一页返回

直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系： // 上一页下一页返回

例2 求过点 M (-1,2,-3), 且平行于平面又与直线相交的直线方程. 分析: 关键是求得直线上另外
P M L P1 M1 分析: 关键是求得直线上另外一个点 M1. M1在过M且平行于平面 P 的一个平面P1上, 待求直线又与已知直线相交, 交点既在P1上,又在 L上,因此是L与P1的交点. 解过M作平行于平面 P 的一个平P1 上一页下一页返回

P1: 即P1: 求平面 P1与已知直线 L的交点上一页返回

§3.6 空间两直线的相关位置定义两直线的方向向量的夹角称之为该两直线的夹角.（锐角）直线直线两直线的夹角公式下一页返回

两直线的位置关系：例如，直线直线上一页下一页返回

解设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直线的方程上一页下一页返回

M 解先作一过点M且与已知直线垂直的平面 L N 再求已知直线与该平面的交点N, 令上一页下一页返回

交点代入平面方程得 , 取所求直线的方向向量为所求直线方程为上一页返回

§3.7 空间直线与点的相关位置是L外一点, 设直线L, 求P0到L的距离d . 设为L上任一点，如图 S S 又于是
点到直线的距离公式下一页返回

例10 求点(5,4,2)到直线的距离d. 解上一页返回

§4.1 柱面曲面的实例：水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面方程的定义：下一页返回

定义4.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线. 母线观察柱面的形成过程: 准线上一页下一页返回

柱面举例：平面抛物柱面平面方程：抛物柱面方程：上一页下一页返回

（其他类推）从柱面方程看柱面的特征：实例椭圆柱面，母线// 轴双曲柱面，母线// 轴抛物柱面，母线// 轴返回上一页
母线// 轴双曲柱面，母线// 轴抛物柱面，母线// 轴上一页下一页返回

1. 椭圆柱面 2. 双曲柱面 x y z O 上一页返回

§4.2 锥面定义4.2.1 通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做锥面. 这些直线都叫做锥面的母线.
§4.2 锥面定义4.2.1 通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做锥面. 这些直线都叫做锥面的母线. 那个定点叫做锥面的顶点. 锥面的方程是一个三元方程. 特别当顶点在坐标原点时：下一页返回

反之，以原点为顶点的锥面的方程是n次齐次方程
方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次方程： F(x,y,z)= 0 的图形是以原点为顶点的锥面； n次齐次方程 x z y 反之，以原点为顶点的锥面的方程是n次齐次方程 F(x,y,z)= 0. 准线锥面是直纹面锥面的准线不唯一，和一切母线都相交的每一条曲线都可以作为它的母线. 单叶双曲面是直纹面（定义见马鞍面）。单叶双曲面是双重的直纹面，即：它有两个直母线系。顶点上一页下一页返回

椭圆锥面请同学们自己用截痕法研究其形状. 上一页下一页返回

解圆锥面方程或上一页返回

§4.3 旋转曲面定义4.3.1 以一条曲线绕其一条定直线旋转一周所产生的曲面称为旋转曲面或称回旋曲面. 这条定直线叫旋转曲面的旋转轴．
§4.3 旋转曲面定义以一条曲线绕其一条定直线旋转一周所产生的曲面称为旋转曲面或称回旋曲面. 这条定直线叫旋转曲面的旋转轴．这条曲线叫旋转曲面的母线．下一页返回

y z o 曲线 C 绕 z轴 C 上一页下一页返回

y z o 曲线 C 绕z轴 . C x 上一页下一页返回

S f (y1, z1)=0 曲线 C 绕 z轴旋转一周得旋转曲面 S M(x,y,z)  S z C o y x P N M 返回 z
. M M(x,y,z)  S S z f (y1, z1)=0 C o x y . 上一页下一页返回

S f (y1, z1)=0 f (y1, z1)=0 o 绕 z轴 M(x,y,z)  S z C f (y1, z1)=0 曲线 C
P N . M M(x,y,z)  S S z f (y1, z1)=0 C f (y1, z1)=0 f (y1, z1)=0 . x . . 上一页下一页返回

建立旋转曲面的方程：如图将代入得方程上一页下一页返回

例1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．
例1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程． y z o x y z o x 旋转双叶双曲面上一页下一页返回

旋转单叶双曲面 x y o z x y o z 上一页下一页返回

x y z 旋转椭球面 x y z 上一页下一页返回

旋转抛物面 x y z o x y z o 上一页下一页返回

几种特殊旋转曲面 1 双叶旋转曲面 2 单叶旋转曲面 3 旋转锥面 4 旋转抛物面 5 环面上一页下一页返回

x 1 双叶旋转双曲面绕 x 轴一周 y 上一页下一页返回

1 双叶旋转双曲面 x 绕 x 轴一周 z . y 上一页下一页返回

1 双叶旋转双曲面 x 绕 x 轴一周 z . y . 上一页下一页返回

2 单叶旋转双曲面 x y o 上题双曲线绕 y 轴一周 a 上一页下一页返回

2 单叶旋转双曲面 x y o 上题双曲线绕 y 轴一周 a z . 上一页下一页返回

2 单叶旋转双曲面 x y o 上题双曲线绕 y 轴一周 . . a z . 上一页下一页返回

3 旋转锥面 x y o 两条相交直线绕 x 轴一周上一页下一页返回

3 旋转锥面 x y o 两条相交直线 z 绕 x 轴一周 . 上一页下一页返回

3 旋转锥面 x y o z 两条相交直线绕 x 轴一周得旋转锥面 . . 上一页下一页返回

4 旋转抛物面抛物线绕 z 轴一周 z y o 上一页下一页返回

4 旋转抛物面抛物线绕 z 轴一周 z . y x o 上一页下一页返回

4 旋转抛物面抛物线绕 z 轴一周 z 得旋转抛物面 . . o y 生活中见过这个曲面吗？ x 上一页下一页返回

5环面绕 y轴旋转所成曲面 y x o r R 上一页下一页返回

5环面绕 y轴旋转所成曲面 y x o z . 上一页下一页返回

5环面绕 y轴旋转所成曲面 y x o 生活中见过这个曲面吗？ z . 环面方程 . . 上一页下一页返回

5 环面 . 救生圈上一页返回

§4.4 椭球面二次曲面二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．相应地平面被称为一次曲面．
§4.4 椭球面二次曲面二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面形状的截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．下一页返回

椭球面 y x z o c 截痕法用z = h截曲面 b 用y = m截曲面用x = n截曲面 a 上一页下一页返回

椭球面的方程椭球面椭球面与三个坐标面的交线：上一页下一页返回

椭球面与平面的交线为椭圆同理与平面和的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. 上一页下一页返回

椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面由椭圆绕轴旋转而成．方程可写为旋转椭球面与椭球面的区别：与平面的交线为圆. 返回上一页
由椭圆绕轴旋转而成．方程可写为旋转椭球面与椭球面的区别：与平面的交线为圆. 上一页下一页返回

截面上圆的方程球面方程可写为上一页返回

§4.5 双曲面一、单叶双曲面单叶双曲面（1）用坐标面与曲面相截截得中心在原点的椭圆下一页返回

与平面的交线为椭圆. 当变动时，这种椭圆的中心都在轴上. （2）用坐标面与曲面相截截得中心在原点的双曲线.
与平面的交线为椭圆. 当变动时，这种椭圆的中心都在轴上. （2）用坐标面与曲面相截截得中心在原点的双曲线. 实轴与轴相合，虚轴与轴相合. 上一页下一页返回

（3）用坐标面，与曲面相截均可得双曲线. 单叶双曲面图形 x y o z 上一页下一页返回

二、双叶双曲面双叶双曲面 x y o z 上一页下一页返回

双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。
双曲面及其渐进锥面 y x z o 双叶：渐进锥面：单叶： . . . 在平面上，双曲线有渐进线。相仿，单叶双曲面和双叶双曲面有渐进锥面。用z=h去截它们，当|h|无限增大时，双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。在平面上，双曲线有渐进线。相仿，单叶双曲面和双叶双曲面有渐进锥面。用z=h去截它们，当|h|无限增大时，双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。上一页返回

第五章二次曲线的一般理论在平面上，由二元二次方程
第五章二次曲线的一般理论在平面上，由二元二次方程所表示的曲线，叫做二次曲线。在这一章里，我们将讨论二次曲线的几何性质，以及二次曲线的化简，最后对二次曲线进行分类。下一页返回

为了方便起见，特引进一些记号：上一页下一页返回

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§5.1 二次曲线与直线的相关位置讨论二次曲线（1）与直线（2）
§5.1 二次曲线与直线的相关位置讨论二次曲线（1）与直线（2）的交点，可以采用把直线方程（2）代入曲线方程（1）然后讨论关于t的方程下一页返回

（3）（4）对（3）或（4）可分以下几种情况来讨论：上一页下一页返回

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§5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 1.二次曲线的渐近方向
定义5.2.1满足条件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向. 定义5.2.2没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的. 即1)椭圆型：I2>0 2)抛物型： I2＝0 3)双曲型： I2<0 下一页返回

定义5.2.3 如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心.
2. 二次曲线的中心与渐近线定义5.2.3 如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心. 定理5.2.1 点C(x0 ,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是：推论坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程里不含x与y的一次项. 上一页下一页返回

二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：
如果I2≠0，则(5.2－2)有唯一解，即为唯一中心坐标如果I2＝0，分两种情况：上一页下一页返回

定义5.2.5 通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线.
定义5.2.4 有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线，没有中心的二次曲线叫无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线，无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线. 定义5.2.5 通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线. 定理5.2.2 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分. 上一页返回

§5.3 二次曲线的切线定义5.3.1 如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点，如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每个点都可以看作切点. 定义5.3.2 二次曲线(1)上满足条件F1(x0,y0)= F2(x0,y0)=0的点(x0,y0)叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点. 下一页返回

定理5.3.1 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是 (x-x0)F1 (x0,y0)+
(y-y0)F2 (x0,y0)=0， (x0,y0)是它的切点. 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的奇异点，那么通过(x0,y0)的切线不确定，或者说过点(x0,y0)的每一条直线都是二次曲线(1)的切线. 推论如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是：上一页下一页返回

例1 求二次曲线x2-xy+y2+2x-4y-3=0在点(2,1)的切线方程
解：因为F(2,1)= =0, 且 F1(2,1)=5/2≠0, F 2 (2,1)=-2 ≠0 所以(2,1)是二次曲线上的正常点，因此得在点(2,1)的切线方程为： 5/2 (x-2)-2(y-1)=0 即：5x-4y-6=0 上一页返回

§5.4 二次曲线的直径 1.二次曲线的直径定理5.4.1 二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线.
§5.4 二次曲线的直径 1.二次曲线的直径定理5.4.1 二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线. 定义5.4.1 二次曲线的平行弦中点轨迹叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫做共轭于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径. 下一页返回

推论二次曲线的一族平行弦的斜率为k，那么共轭于这族平行弦直径方程为 F1(x,y)+kF2(x,y)=0
定理5.4.2 中心二次曲线的直径通过曲线的中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向，线心二次曲线的直径只有一条，即曲线的中心直线 2.共轭方向与共轭直径中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方向. 定义5.4.2 中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对共轭直径. 上一页返回

§5.5 二次曲线的主直径和主方向定义5.5.1 二次曲线的垂直与其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径，主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向. 下一页返回

定义5.5.2 方程(5.5-2)或(5.5-3)叫做二次曲线(1)的特征方程，特征方程的根叫做二次曲线的特征根
定理5.5.1 二次曲线的特征根都是实数. 定理5.5.2 二次曲线的特征根不能全为零. 定理5.5.3 由二次曲线(1)的特征根λ确定的主方向X:Y，当λ≠0时，为二次曲线的非渐近主方向；当λ＝0时，为二次曲线的渐近主方向. 定理5.5.4 中心二次曲线至少有两条主直径，非中心二次曲线只有一条主直径. 上一页返回

§5.6 二次曲线方程的化简与分类 1.平面直角坐标变换为转轴公式，其中α为坐标轴的旋转角. 下一页返回

定理5.6.1 适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个：
2.二次曲线方程的化简和分类定理5.6.1 适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个：定理5.6.2 通过适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：上一页下一页返回

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