*第 7 章 量子力学中的矩阵形式 与表象变换.

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1 *第 7 章 量子力学中的矩阵形式 与表象变换

2 7.1 量子态的不同表象，么正变换 一、直角坐标系中的类比 取平面直角坐标系x1x2的基矢为e1和e2,长度为1，彼此正交 标积
7.1 量子态的不同表象，么正变换 一、直角坐标系中的类比 取平面直角坐标系x1x2的基矢为e1和e2,长度为1，彼此正交 标积 我们将其称之为基矢的正交归一关系. 平面上的任一矢量 可以用它们来展开 称为矢量A在坐标系x1x2中的表示. A1、A2代表A在坐标系中的投影.

3 二、坐标系顺时针转动 现在将坐标系x1x2顺时针方向转动，得到 x1′x2′,其基矢为e1′和e2′,满足 在此坐标系中,矢量A表示成 其中投影分量是

4 同一个矢量A在两个坐标系中的表示有什么关系？
根据(2)和(2')式 上式分别用e1′和 e2′点乘,得 表成矩阵的形式为

5 或记为 把A在两坐标中的表示联系起来的变换矩阵 矩阵R的矩阵元是两个坐标系的基矢之间的标积，它表示基矢之间的关系.故当R 给定，则任何一个矢量在两坐标系间的关系也随之确定.

6 三、变换矩阵的性质 变换矩阵R 具有下述性质： 是R的转置矩阵 真正交矩阵 （实矩阵）

7 量子态和力学量(算符)的不同表示形式,称为表象。
四、不同表象中基矢的关系 量子态和力学量(算符)的不同表示形式,称为表象。 形式上与此类似，在量子力学中，按态叠加原理，任何一个量子态，可以看成抽象的Hilbert空间中的一个“矢量”.体系的任何一组对易力学量完全集F的共同本征态，可以用来构成此空间的一组正交归一完备的基矢（称为F表象） 对于任意态矢量y ，可以用它们展开 其中

8 这一组数 就是态(矢)在F表象中的表示， 它们分别是态矢y与各基矢的标积. 与平常解析几何不同的是： ①这里的“矢量”(量子态)一般是复量； ②空间维数可以是无穷的，甚至不可数的. 现在考虑同一个态y在另一组力学量完全集 F′中的表示. F′表象的基矢,即F′的本征态 y'a ,它们满足正交归一性

9 对于任意态矢量y ，可以用它们展开 这一组系数 就是态(矢)y在F'表象中的表示， 与 有何关系 ？ 显然 (14)左乘 (取标积),得

10 其中 F′表象基矢与F表象基矢的标积 (15)式也可以写成矩阵的形式： 简记为

11 式(17)就是同一个量子态在F′表象中的表示与它在
F表象中表示的关系，它们通过S 矩阵相联系，且 变换矩阵S 为么正(unitary)矩阵矩阵，此变换也称为么正变换.