數學學門現況 及未來規劃的推動方向 壹、學門架構 貳、學門預算 參、研究計畫核定統計 肆、學門研究推動

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1 數學學門現況 及未來規劃的推動方向 壹、學門架構 貳、學門預算 參、研究計畫核定統計 肆、學門研究推動 2015.9.23
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2 壹、學門架構 純粹數學組 應用數學組 數學學門分組及次領域 2 M 0201 ---代數 M 0202 ---數論
兩組各設有召集人 1 人及審議委員 5 人 負責工作：審核學門各類計畫申請案 2

3 貳、學門預算 100 101 102 103 104 3 數學學門 (2115) 優秀年輕學者養成計畫 (競爭經費) (2628) 合 計
經費單位：萬元 年度 經費項目 100  101 102 103 104 數學學門 (2115) 16,928 17,746 18,793 15,872 16,074 優秀年輕學者養成計畫 (競爭經費) (2628) 413 678 1,121 1,240 980 合 計 (與前年度預算比較之百分比) 17,341 18,424 (6.2%) 19,914 (8.1%) 17,112 (-14%) 17,054 (-0.3%) 3

4 參、研究計畫核定統計 數學學門104年度專題計畫申請與核定統計 申請數 通過數 通過率 核定經費 一般專題計畫 335 187 56％
項目 類別 申請數 通過數 通過率 核定經費 一般專題計畫 335 187 56％ 99,015,000 新進人員 38* 27 71％ 12,271,000 預核計畫 66 48,233,000 博士後研究員 58 49 86％ *含2件隨到隨審 4

5 自然司各學門104年度 一般專題計畫申請數 5 103 104 數學 157 90 57.32% 197 40 311 179 57.56%
通過數 通過率 (較前年) 增∕減 已預核數 統計 157 90 57.32% 197 40 數學 311 179 57.56% 370 59 66 物理 392 228 58.16% 430 38 273 化學 520 276 53.08% 495 -25 209 地球科學 285 166 58.25% 281 -4 19 大氣科學 144 85 59.03% 130 -14 20 海洋科學 146 82 56.16% 159 13 10 防災科技 235 136 57.87% 241 6 23 永續發展研究 187 107 57.22% 216 29 12 空間資訊科學 47 52.22% 129 39 1 總 計 2,467 2,648 181 5

6 104年度數學學門次領域研究經費分佈圖 6

7 近五年自然司數學研究專題計畫 主持研究人力統計表 教授 副教授 助理教授 其他 合計 100 65 73 60 22 220 101 102
單位：人 年度 教授 副教授 助理教授 其他 合計 100 65 73 60 22 220 101 102 64 77 27 270 116 28 285 103 111 61 69 24 265 104 128 71 66 20 「其他」含：專案助理教授(含約聘)、研究員、副研究員及助研究員 7

8 近五年自然司數學學門 核定兼任研究人力統計表 總計 100 71 253 324 101 87 335 422 102 388 490
單位：人 執行年度 博士生兼任助理核定人數 碩士生兼任助理 核定人數 總計 100 71 253 324 101 87 335 422 102 388 490 103 114 367 481 104 115 396 511 8

9 104年度數學學門 研究計畫申請單位件數分佈 9

10 104年度數學學門 研究計畫補助經費級距分佈 10

11 肆、學門研究推動 學門推動之活動 各次領域前景 未來規劃
圖片來源：

12 數學學門年度定期活動 12 名 稱 簡 介 數學年會 數學統計新進人員研習會 微分方程研討會 組合數學新苗研討會 幾何與代數研討會
名 稱 簡 介 數學年會 台灣數學界的年度盛會，共包括 9 大領域論壇，參加人數超過250人，演講場次超過100場，其中不乏大陸、香港、日本及韓國的演講者。 數學統計新進人員研習會 由數學推動中心舉辦 微分方程研討會 目前為第23屆 組合數學新苗研討會 目前為第22屆 幾何與代數研討會 目前為第20屆 工業與應用數學年會(TWSIAM) 前身為計算數學研討會，目前為第15屆 台灣幾何研討會 目前為第11屆 台日應用數學年輕學者研討會 由理論科學研究中心贊助，目前為第6屆 南區科學計算，微分方程與應用研討會 目前為第5屆 台義澳三邊微分方程研討會 由中央研究院數學研究所贊助 分析新苗研討會 隨機過程與應用研討會 12

13 數學學門非定期活動 數學學門每年有許多學術活動由下列機構補助或舉辦：
．國家理論科學研究中心（NCTS）：過去幾年國家理論研究 中心對於數學學門的研究推動有很大的幫助。 ．數學推動中心 ．中央研究院數學研究所 ．台灣大學數學科學研究中心（TIMS） ．交通大學數學建模與科學計算研究所 ．其他（丘成桐中心） 13

14 各次領域的研究現況及 推動策略 圖片來源：

15 代數 現況： 代數表現與羣表現理論：與數學物理及代數數論等相關，國內包含Yangian、超 Yangian、cluster代數、李代數、李超代數、量子群、頂點算子代數、群代數、 有限羣、p-adic群、李群等表現理論之研究較為活耀。 傳統的代數與數論：與代數幾何、代數數論及組合理論等相關，國內包含交換 代數、有限羣理論、有限羣作用、有限羣不變量、傳統數論與(非交換)環論之研 究較為活耀。 定期舉辦國際會議及研討會：加強國際合作與交流。 定期舉辦summer/winter schools：培訓年輕研究學者。 加強表現理論之研究團隊：有陪訓年輕學生，到國內外大學學習相關領並獲取 博士學位,強化表現理論之研究團隊之實力及增加與國際間之聯繫。鼓勵年輕世 代研究人員參與研究行列，積極推動年輕世代研究人員的交流合作。 未來規劃： 與國際趨勢接軌：目前世界熱門焦點在Khovanov-Lauda-Rouquier代數及其表現 理論、Nakajima’s quiver varieties、範疇化表現理論、2-Kac-Moody表現理論、 cluster algebra的應用等領域，國內缺乏相關研究人員。國內學者需要建立這些研 究方向或聘請這些方面的專家。 加強研究方向：代數群、量子群、Kac-Moody代數表現、W-代數表現、幾何表 現、幾何不變量等領域缺乏相關研究人員。 15

16 數論 現況： 未來規劃： 16 目前主要研究人力：PI約20人、博士後研究約6人。 具國際領先優勢之領域：
1. 正特徵值函數域體的算術性質， 2. p進自守表現理論及其在數論的應用， 3. 模曲線及志村曲線上之模形式的構造及應用， 4. 交換簇的算術性質。 未來規劃： 近期主要推動工作： 1. 優勢領域的深耕及人才培育， 2. 國際交流：明(105)年暑期將在台北舉辦第八屆泛亞數論會議及第三屆 台日雙邊數論會議。 16

17 幾何與拓撲 現況： 主要包括以下三大分枝（無特定順序）：幾何分析、代數幾何、辛幾何，這些分 枝是現今幾何學的主流，目前幾乎沒有拓撲領域之研究人員。 雖然此次領域在台灣佔有學門人數非常少，我們人數內的75％在台灣數學界內 的排名都是在最前端，其中10％的研究人員一直能在國際有聲望的期刊發表論 文，5％在國際上頗有名氣。 不幸的事實是，還有不少博士畢業生和博士後研究員仍然缺乏一個固定的工作 崗位。 未來規劃： 保持目前前端研究人員的水準。 加強台灣國際研究合作關係，包括鼓勵研究工作起步中或有潛力的學者出國 深造、訪問和邀請國際專家來台作中長期訪問和指導。 制定政策促使國內資深頂尖學者提攜協助後進學者的研究工作，以創造國內 更多互相合作機會。 17

18 分析 現況： 未來規劃： 18 分析學門目前研究學者人數(含博士後研究員)約 60 人。
主要的研究方向是古典分析(泛函分析、調和分析與算子理論); 最佳化領域(固 定點理論、數學規劃、非線性分析)。其中最佳化領域約佔 2/3 的研究人力。 古典分析方面，中央大學數學系幾位學者最近工作有重要突破和進展，比如沈 俊嚴助理教授與其合作者成功刻畫 Hilbert transform 雙權不等式的性質，發表在 著名期刊 Duke Math J 上。 在最佳化領域方面，姚任之教授和許瑞麟教授去年和今年分別發表文章在數學 規劃頂級期刊 Mathematical Programming 未來規劃： 持續推動高品質論文的發表，取代著重數量的論文發表狀況。 強調應用、計算與理論並重，避免純然結構複製的研究工作。 18

19 微分方程與動態系統 現況： 未來規劃： 19 本次領域人數約佔數學學門1/4 。
微分方程領域的研究主題 : 拋物方程、橢圓方程、雙曲方程、反問題、動態系統、波茲曼方程、流體力學等與科學相關之問題。 過去五年期間國內學者在微分方程領域的研究已有相當良好的進展並獲得國際同儕的重視。目前研究許多以深入各主題為主軸，未來研究方向除了持續擴展廣度，同時可増強數學領域之間橫跨次領域的合作。 微分方程領域每年定期舉辦微分方程研討會以促進國內微分方程領域學者之間的交流，並舉辦台日微分方程雙邊研討會，以增進台灣與日本在微分方程上的研究交流。此外與日本每年輪流舉辦台日研究生應用數學研討會，強化年輕學者雙邊的交流，以期能於微分方程的研究生涯初期促成台日之間可能的合作機會。 未來規劃： 微分方程與幾何(拓樸)、數值計算等數學次領域有著密切的關係。再者，近年來微分方程理論與數論、離散數學等數學次領域有著新的連結。因此，如何強化微分方程與數學各領域的橫跨次領域合作是一個值得注意的議題。 近年自然科學的研究中引發了許多不同類型的耦合型偏微分方程組。在這些新形態的耦合型偏微分方程組之研究，提出了許多挑戰性的新問題。未來微分方程的研究可以過去各主題研究中累積之經驗從事更艱深之任務。 生命科學的研究中，特別是在處理DNA或離子等小尺寸物質的情況，有許多牽涉到大系統的微分方程模型。如何提出一套有系統的方法將這些大系統模型化為相對較小且可處理的模型，亦為不容忽視的思考方向。國內已有部分學者開始此方面的研究工作。 19

20 機率理論與應用 現況： 財務數學：結合機率論、隨機控制及偏微分方程理論，發展出獨特研究最佳投資組合的數學分析方法。相對套利及最佳套利，不完備市場稀有事件的模擬計算等的研究。 隨機偏微分方程：隨機熱導方程的研究。 馬氏過程：不可逆蒙地卡羅馬氏過程收斂速率評估及相關問題與新演算法已有領先的研究成果。馬氏過程相變(cutoff) 的研究有基礎性的突破。 數學物理：用機率方法研究相變的相關問題，尤其對滲流在臨界狀態下的收斂或發散速度有很好的研究成果。 研究人力：人少兵老，各學校幾乎開不出像樣的完整機率學程。 未來規劃： 人才的延攬：近年來機率理論的進展及應用已是學術界的顯學，應積極延攬人才，尤其針對不少在海外的台灣年輕優秀機率學家。 研究課題：隨機偏微分方程的基礎研究；利用鞅論研究更一般的HJB方程；Levy隨機過程理論在財務數學上的應用；不可逆蒙地卡羅馬氏過程的震盪和非齊時馬氏過程的相變；粒子系統、隨機聚合物、隨機矩陣等。 20

21 離散數學與組合學 現況： 離散數學相對應於連續數學是另一種思維，其問題常產生於科學、工程、經濟、管理、生活等實際問題的數學建模，而獨具生命力。過去半個世紀又演變為計算機科學的理論基礎，研究進展非常快速。科技部每年此領域的申請案約有60件左右，國內較多人參與的研究方向為「圖的著色」、「圖的分解與組合設計」、「圖的結構及應用」、「群試與編碼」、「計數組合」、「組合矩陣論」、「解析組合」等領域。離散數學領域舉辦許多學術交流活動，除了平時在中研院及台大、師大、交大、義守大學、中山大學及高雄大學有針對特定議題固定的討論群外，每年暑假都會舉辦組合新苗研討會(已22屆) ，同時每兩年舉辦台印會議(已4屆)及海峽兩岸會議(已8屆) ，最近幾年又持續的舉辦台日會議及交大丘成桐中心的組合會議(都已3屆) 。 未來規劃： 深化離散數學教育：開設短期課程加強離散數學理論基礎、同時向大學部甚至高中生紮根，參與及舉辦數學競賽活動。 強調應用：除了加強離散數學許多的資訊方面的應用外，也應往生物、通訊、大數據分析等領域發展，此時機率、統計與分析方法扮演重要角色。亦鼓勵研究成果申請專利。 建立數學關聯：組合的發展快速, 除了古典的組合結構之外, 亦需從代數、數論、幾何、數學物理等領域上汲取新的問題與研究方向。 促進合作：除了持續會議的舉辦以促進交流外，應擴大研究人員的互訪並對特定主題進行合作，國內和國際並重。 21

22 數值分析與科學計算 現況： 每年有近60件專題計畫申請案，研究方向集中於偏微分方程數值解、流體力學 計算、矩陣計算及應用。部分研究主題已形成研究群，並積極參與跨領域交流 與合作。 2012年由該領域人員發起成立「台灣工業與應用數學會」，旨在促進台灣數學 界與工業界、科技界更密切的交流與合作，謀求工業與應用數學長遠發展，每 年定期舉辦學會年會暨計算數學研討會。 未來規劃： 重點發展方向包括複雜流體問題的高效率計算方法、多尺度偏微分方程數值 方法設計與分析、大尺度矩陣問題與平行化計算、其他跨領域如影像科學與壓 縮感知等相關議題的研究。 鼓勵參與跨領域研究與合作，以「台灣工業與應用數學會」為平台，加強與 產業界聯繫交流，豐富領域研究題材、協助解決產業中的數學問題，同時擴展 參與研究計畫的學生未來就業領域與機會。 22

23 跨領域數學科學 現況： 近代科學研究趨向多領域(multidisciplinary)知識及方法學之結合。當跨越傳統領域界 之結合在該研究中所扮演的角色達到一定的份量及深度時，既成為所謂跨領域研究 (interdisciplinary research)，已成現代科學研究之重要趨勢。其中最常見的就是利用數 學進行建模分析(modeling analysis)、計算(computation)或量化分析(quantitative analysis)的應用科學跨領域研究。 在我國有許多數學學者與國內外其他領域學者進行相關跨領域合作研究。但整體表現 時常因跨其他領域研究之程度及深度不同有極大差異。 未來規劃： 在全球化資訊發達及現代科技急速發展進步下大量資料因之產生，所以各應用科學 領域的量化資訊(quantitative information)的大數據(big data)之形成、收集、擷取及整 理已成常態。所以需要利用大數據進行建模分析或量化分析，以及分析後的模式驗證 (model validation)所需之計算模擬(computer simulation)。這是數學研究者投入跨領域 數學研究工作以發揮專長的有前瞻性研究方向。 跨領域合作研究是未來學術研究趨勢，因此主辦國際跨領域學術活動，積極推動與 國內外跨領域學者的交流及合作是未來要重視與支持的研究方向。 23

24 數學學門未來規劃重點方向 及可能遭遇的問題
目前國內數學學門各領域以基礎科學研究為主．整體研究 表現略高於世界的平均水準，在未來的規劃上將以各領域 的平均發展為前提。 數學學門未來的發展重點將著重在以下三方面： 強化研究團隊及已具國際化之研究領域，如偏微分方程、代數幾何及 數論等。 跨領域及應用導向（例如科學計算）的數學研究。 具有國際團隊合作特質的數學研究。 3. 數學學門未來可能遭遇的問題： 博士人數供過於求，市場教職工作短缺，嚴重影響學生就讀的意願。 少子化將導致學校（特別是私立學校）人事緊縮，促使上述現象更加 惡化。 24