7.4 用矩阵初等行变换 解线性方程组 主要内容： 一.矩阵的行初等变换 二.用行初等变换求逆矩阵 三.用矩阵法求线性方程组.

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1 7.4 用矩阵初等行变换 解线性方程组 主要内容： 一.矩阵的行初等变换 二.用行初等变换求逆矩阵 三.用矩阵法求线性方程组.

2 一、矩阵的初等行变换 定义: 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行以下三种变换： ⑴变换矩阵的某两行位置； ⑵用一个非零数乘矩阵某行的所有元素；
定义: 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行以下三种变换： ⑴变换矩阵的某两行位置； ⑵用一个非零数乘矩阵某行的所有元素； ⑶把矩阵某一行的K倍加到矩阵的另一行上去． 矩阵A经过初等行变换得到矩阵B，通常记作A→B，一般A≠B．符号(ri )↔(rj), (ri )K,(ri)K+(rj)分别表示交换A的第i 行与 j 行，第i 行乘K及第j行的K倍加到第i行上． 将定义中所有的“行”字改为“列”字，就得到矩阵的初等列变换的定义，矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换．

3 例1 设矩阵 依次对A施行如下初等变换： ⑴交换A的第1行与第2行； ⑵第1行乘-2加到第2行上； ⑶第2行乘1加到第3行； ⑷第2行乘(-1/8)； ⑸第2行乘-4加到第1行上．

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6 如果一个矩阵每一个非零行的非零首元素出现在上一行非零首元素的右边，同时没有一个非零行出现在零行之下，则称这种矩阵为行阶梯形矩阵．如果行阶梯形矩阵的每一个非零行的非零首元素都是1，且非零首元素所在列的其余元素都为0，则称这种矩阵为行简化阶梯形矩阵． 例如下面两个矩阵都是行阶梯形矩阵 且A为行简化阶梯形矩阵，而B不是行简化阶梯形矩阵．

7 例2 将矩阵 化为阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵 解 : 先把A化为阶梯形矩阵

8 再化为行简化阶梯形矩阵，即

9 由此例可看到，矩阵A的阶梯形矩阵是不唯一的，但是，一个矩阵的阶梯形矩阵中所含非零行的行数是唯一的，行简化阶梯形矩阵是唯一的．于是，这就为用行初等变换解线性方程组提供了一个明确的目标．

10 二、用矩阵初等行变换求逆矩阵 若n阶矩阵A可逆，矩阵A总可以通过一系列的 初等行变换化为单位矩阵，则用同样的初等行变换就
将I化为A-1．这就给我们提供了一个计算A-1的有效方 法： 若对(A|I)施以初等行变换将A变为I，则I就变为A-1， 即

11 例3 已知矩阵 求逆矩阵A-1

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14 值得注意的是，用初等行变换求逆矩阵时，必
须始终用初等行变换，其间不能作任何初等列变 换．且在求一个矩阵的逆矩阵时，不必考虑这个矩 阵是否可逆，只要在用初等行变换的过程中，发现 这个矩阵不能化成单位矩阵，则它就没有逆矩阵．

15 三、用矩阵法求线性方程组的解 消元法是解二元、三元一次线性方程组常用的办 法，将其运用到解n元线性方程组中也是有效的．它
的基本思想是将方程组中的一部分方程变成未知量较 少的方程，从而求出方程组的解．下面通过例子说明 如何解系数行列式不等于零的线性方程组． 例4 用消元法解线性方程组

16 解 把方程组的消元过程与方程组对应的增广矩阵的
初等变换过程对照 方程组的消元过程 增广矩阵的变换过程

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19 由此得到方程组的解为 由上表可以看出，方程组的消元顺序与增广矩阵 的初等变换顺序完全相同. 一般地，对一个n元线性方程组，当它的系数行列 式不等于零时，只要对方程组的增广矩阵施以适当的 行初等变换，使它成为以下的形式：

20 那么矩阵的最后一列元素就是方程组的解，即
x1=c1，x2=c2，…，xn=cn．这种消元法称为矩阵法． 例5 用矩阵法解线性方程组

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24 因此方程组的解为

25 由此可见，用矩阵的初等行变换表示线性方程
组求解过程，不仅简便而且清晰明了． 归纳起来，用矩阵法求线性方程组的解的过 程可以表述为：首先用增广矩阵表示线性方程组 AX=B，然后将用初等行变换化为行简化阶梯形矩 阵，最后写出简化阶梯形矩阵所对应的线性方程 组，从中解出原方程组的解．

26 四、小结 1.矩阵的行初等变换 2.用行初等变换求逆矩阵 3.用矩阵法求线性方程组的解 五、作业 习题 (1)(3) 2 (1)