圆锥曲线的应用 物理科学学院 2014级 王瑞璇.

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1 圆锥曲线的应用 物理科学学院 2014级 王瑞璇

2 The Gateway Arch Of St. Louis （192m） 喷泉 抛物线型天线 巴西利亚大教堂

3 圆锥曲线因其独特的 美感和独特的性质而广 泛地应用于生活的各个 方面。下面我们来看一 看圆锥曲线的应用。

4 提纲 反射镜 光学上的应用 圆锥曲线的应用 透镜 隧道设计 冷却塔设计 其他方面的应用 桥梁设计

5 圆锥曲线在光学上的应用

6 圆锥曲线形反射镜光学特征 1.反射镜 2.透镜

7 圆锥曲线形反射镜光学特征 光的反射 光射到一个界面上时发生反射，其反射角与入射角 相等。当界面为平面时，反射的法线方向为过反射
点的垂线平面的方向；当界面为曲面时，反射的法 法线方向为曲面过反射点处的切面的垂线。

8 抛物线的光学性质 1.理论证明 2.实际应用

9 抛物线的光学性质 一.抛物线的光学性质 抛物线上一个焦点P的焦半径与过点P且平行于y轴的直线的夹角被抛物线在P处的法线平分
下证明这一几何性质： 图中，DM为抛物线在M处的法线 QM垂直于x轴，MF为焦半径

10 抛物线的光学性质 可见MD平分了 得证

11 抛物线的光学性质 二.抛物线的光学性质的应用 将QM、MF、DM分别视作入（出）射光线、法线、出（入）射光线。
则平行于轴的光线入射，经反射后会汇聚于抛物线的焦点 由抛物线的焦点发出的光线，经反射后会平行于抛物线轴出射。此性质可以推广至旋转抛物面。 二.抛物线的光学性质的应用 1.旋转抛物面型天线

12 抛物线的光学性质 Arecibo, Puerto Rico
电磁波信号的反射与光有着相同的性质，平 行于轴方向的电波入射，经抛物面型的反射 镜反射后，将进入位于焦点处接收器。 抛物面的设计相较于其他设计拥有着难以比 拟的方向性好的特性。 Arecibo, Puerto Rico

13 抛物线的光学性质 2.抛物线形槽 抛物线形槽是一种收集太 阳能的装置，它由金属做 的反光材料制成，在抛物 线的焦点的连线上布置着 管子，管子中有液体循环。

14 抛物线的光学性质 3.抛物反射镜 抛物面反射镜多为旋转抛物面。 一方面由焦点入射的光线，经反射后会成为平行光。 （这是人造光源平行的一大途径） 另一方面，平行的光入射会汇聚于一点 （太阳能炊具）

15 椭圆的光学性质及应用 1.理论证明 2.实际应用

16 椭圆的光学性质 一、椭圆的光学性质 椭圆上一点P的两条焦半径的夹角被椭圆在P处的法线平分。 下证明：

17 椭圆的光学性质 得证！ 我们将 分别视为入 （出）射光线、出（入）射光线与 法线 即，在光学上，由一个焦点发出的 各向光线，均聚于另一个焦点。这 个性质可推广至椭球面。

18 椭圆的光学性质 二、应用 电影放映机，如图所示的电影放映机：在一个焦点处有一盏放映灯，之后有一个旋转椭球面的反射镜，将卡门（电影胶片所放置处）置于另一个焦点处，这样可以在卡门处获得最强的光线。 左半边为反射镜 右半边实际不存在

19 双曲线的光学性质 1.理论证明 2.实际应用

20 双曲线的光学性质 一、双曲线的光学性质 双曲线上一点P的两条焦半径的夹角被双曲线在P处的切线平分。

21 双曲线的光学性质 得证！ 我们将 分别视为入 （出）射光线、出（入）射光线与 法线 根据以上的双曲线的几何性质，
我们将 分别视为入 （出）射光线、出（入）射光线与 法线 根据以上的双曲线的几何性质， 可得其光学性质为由双曲线一个 焦点发出的光经反射后，好像是 从另一个焦点发出的。

22 双曲线的光学性质 二、应用 双曲线电瓶新闻灯， 这是我国于上世纪70年 代自主研发的灯。设计 是将光源放于双曲线的 一个焦点上，经旋转双
曲面的反射后，好像灯 光是从远处照射来的。 一方面大大减小了新闻灯的尺寸，另一方面，使得新闻灯线柔和。

23 圆锥曲线形反射镜光学特征 综合应用：反射式天文望远镜，这里同时利用了抛物线与双曲线的光学性质。如图，反射镜PQ所在的曲线为抛物线，MN所在的曲线为双曲线的一个分支。 、 为双曲线的两个焦点，且 为抛物线的焦点。这样的望远镜镜筒较短但是观察距离很远。

24 圆锥曲线形透镜光学特征

25 圆锥曲线形透镜光学特征 一、折射的基本概念 二、圆锥曲线形透镜光学特征
当光线由一种介质进入另一种介质时，在两介质的交界面上会发生折射现象。介质的绝对折射率n的大小反映了介质折射光的特性。通常在交界面上，我们将绝对折射率大的称为光密介质，绝对折射率小的称为光疏介质。 二、圆锥曲线形透镜光学特征 我们将透镜的边界面制成旋转双曲面和旋转椭圆面，发现这样的透镜具有特殊的特征。 光疏介质 光密介质

26 圆锥曲线形透镜光学特征 旋转双曲面：折射率为 的光疏介质和折射率为 的光 密介质为其交界面，且旋转双曲面凸向光疏介质一方。且光
旋转双曲面：折射率为 的光疏介质和折射率为 的光 密介质为其交界面，且旋转双曲面凸向光疏介质一方。且光 密介质的折射率比上光疏介质的比值为双曲线的离心率，则 一个焦点发出的光线将在界面折射后变为平行光线。

27 圆锥曲线形透镜光学特征 旋转椭球面面：折射率为 的光疏介质和折射率为 的光 密介质为其交界面，且旋转椭球面凸向光疏介质一方。且光
旋转椭球面面：折射率为 的光疏介质和折射率为 的光 密介质为其交界面，且旋转椭球面凸向光疏介质一方。且光 疏介质的折射率比上光密介质的比值为抛物线的离心率，则 一个焦点发出的光线将在界面折射后变为平行光线。 通常在光学中折射元件比应用得很广， 上述两种类型的折射元件将用于产生平 行光线。

28 圆锥曲线形透镜光学特征 有兴趣的同学可以了解这个证明（中间用到了等光程原理） M是两种界面的交界面。且其 关于X轴旋转对称。以0为极点， X 为极轴建立极坐标系。由极 点发出一条光线，其极角为 ， 入射至交界面M上时极径为 。我们假设由O处发出的光线， 经折射后成为了平行于轴的光线，我们可以在 （第二种介质中）作等相面。 二次曲线

29 圆锥曲线的在其它方面的应用

30 圆锥曲线的在其它方面的应用 隧道的最优设计方案为椭圆型设计：

31 圆锥曲线的在其它方面的应用 传统的隧道设计其截面是三个圆的拼接，而优化的设计中截面为椭圆的一部分。 这样的设计，一方面在满足设计要求（截面面积一定、上下左右的宽度满足范围）时，可使洞体截面的周长最小，节省材料。另一方面，可使洞体的边界为一条连续的曲线， 使其更稳定。

32 圆锥曲线的在其它方面的应用

33 圆锥曲线的在其它方面的应用 由结构力学知识可知，竖向均布荷载作用下，若我们将拱设计为抛物线形式，则在外力作用下，主拱任意截面上只有纯压力，无剪切力与弯矩。对于衡载强度均匀的拱桥多采用此设计。

34 圆锥曲线的在其它方面的应用 单叶双曲面型冷却塔

35 圆锥曲线的在其它方面的应用 化工厂、热电厂、发电厂的冷却塔多设计为单叶双曲面型。这样的设计有许多优点：一是单叶双曲面为直纹面，便于施工，二是单叶双曲面的设计可增加冷却面积，提升冷却塔的冷却效率，三是这样的设计可使冷却塔强度加强。

36 高度的概括性 应用的广泛性

37 Thanks!