第12章 信用风险和信用衍生工具 围绕公司价值的建模 围绕违约风险的建模 信用度量术(CreditMetrics)

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1 第12章 信用风险和信用衍生工具 围绕公司价值的建模 围绕违约风险的建模 信用度量术(CreditMetrics)
崩盘度量术(CrashMetrics) 考虑到违约风险后的衍生工具定价 信用衍生证券 信用衍生工具的定价 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

2 信用风险和信用衍生工具 在存在违约风险的情况下，如何对金融资产进行估值是本章的重点。估值的方法可以分为两类：一类是围绕着发行公司(或国家)的价值问题展开的建模；另一类是围绕违约风险的建模。稍后我们还将讨论像标准普尔和穆迪等信用评级公司提供的服务。这些信用评级为人们提供了一种对公司相对资信的公开评估。 本章还将介绍在业界广泛使用的信用度量术和崩盘度量术。之后我们将讨论考虑违约风险后的衍生工具定价问题、信用衍生工具及其定价问题。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

3 公司价值为随机变量的模型 假定发行债券的公司具有价值A,而且A是随机的并服从随机微分方程：
违约通过破产的概念来加以建模。我们将假定一旦公司的价值低于某一临界水平时公司将宣布破产。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

4 确定利率的情况 (1) 假定利率是固定已知的。由于债券价值V是公司价值A和时间的函数，运用伊腾引理（6.10）我们有：
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5 确定利率的情况 (2) 由于风险源相互抵消,我们就可得到V遵循的偏微分方程： 边界条件
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6 随机利率的情况 (1) 现在假定债务的价值 V 是一个三个变量的函数，则我们有 V(A, r, t)。
为了得到 V 应满足的方程，我们将一单位风险债券多头，加上 单位价格为P(r,t)的无风险零息票债券空头和 单位的空头A组成对冲组合: Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

7 随机利率的情况 (2) 消除 dr 项和dA,我们就可得到V遵循的偏微分方程:
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8 随机利率的情况 (3) 在公司价值和利率之间的相关关系为零时的这种特殊情况下，上述偏微分方程的解可写作如下形式： H(A,t)满足:
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9 用可测的参数和变量建模(1) 我们将对一个经营程序非常简单的公司的债务进行定价: 它出售自己的产品, 支付成本并将所有的利润存入银行。在这个模型中的关键量是公司的收入。这些收入被认为是公司从产品销售中获得的总收入。利润就是经营总收入扣除成本。假定公司的年总收入 E 是随机的 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

10 用可测的参数和变量建模(2) 我们假定公司的年固定成本为 E* 。可变成本为 kE 。利润E - E* - kE = (1 - k)E - E* 存入银行赚取一个固定利率 r 。如果我们用 C 表示在银行账户中的现金，那么有： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

11 用可测的参数和变量建模(2) C 应满足的随机微分方程: 仍然通过伊藤引理和无套利定价法，我们可以求出dV遵循的偏微分方程：
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12 用可测的参数和变量建模(3) （一）有限责任公司 如果公司没有负债，当时间 T0 公司在银行中具有一个负的金额时，则
V(E,C,T0) = max(C, 0) （二）合伙企业 如果企业所有者对公司的负债负有无限偿还责任，则当C<0时， V(E,C,T0) = C Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

13 泊松过程和瞬态违约风险(1) 建立信用风险模型的另一种方法采用了瞬态违约风险q。如果在t时刻公司没有违约，那么在t和t +dt期间的违约概率是qdt。 设Q(t;T)是给定公司在t时刻没有违约的情况下，在T时刻之前公司不违约的概率。在t时刻公司不违约地前提下，公司在T时刻不违约的概率Q(t;T)等于公司在T-dt时刻不违约的概率Q(t;T -dt)乘以T -dt时刻到T时刻之间不违约的概率（1-qdt）。即： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

14 泊松过程和瞬态违约风险(2) 在不考虑违约风险溢酬的情况下，有违约风险的债券价值等于无违约风险的债券价值乘以有违约风险债券不违约的概率，因此
现在我们将它应用在衍生证券上，包括风险债券。我们将假定即期利率是随机的。为了简化，我们将假定即期利率的扩散过程和违约事件的泊松过程之间不存在相关关系。 构造一个“对冲”的资产组合： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

15 泊松过程和瞬态违约风险(3) V遵循的偏微分方程：
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16 违约风险的期限结构(1) 假定一家公司发行不同到期日的风险债券。我们可以从这些债券的市场价格推断人们所认为的违约风险是如何取决于时间的。
如果违约风险是依赖时间的，q(t)，并且与即期利率不相关，而且不考虑违约风险溢酬，那么风险债券的价值就是： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

17 违约风险的期限结构(2) 如果风险债券的市场价值为V*，那么我们可以写作 对其求T的微分，就得到目前市场对违约风险的观点。
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18 随机的违约风险 (1) 为了“改进”违约风险q固定的模型，并使其与市场价格相一致，现在我们考虑一个违约的瞬态概率本身是随机的模型。
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19 随机的违约风险 (2) 为了对我们的风险零息票债券进行估价，我们构造一个资产组合，它是由一单位价值为V(r,q,t)的风险债券多头，和 单位价值为F(r,t)的无风险债券空头组成： 在接下来的小时间段dt中，风险债券可能违约也可能无违约，违约概率qdt。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

20 随机的违约风险 (3) 对资产组合价值变动取数学期望并省略dt的高阶项，可得：
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21 具有正回收率的模型(1) 假定对于违约发生我们知道我们将获得一个G数量金额。这将改变偏微分方程。要了解这一点我们回到方程(12.9)的推导上。如果不存在违约我们仍然有方程(12.7)。但是违约使方程(12.8)变成： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

22 具有正回收率的模型(2) 我们损失了债券但是得到G。取数学期望结果是： 现在你面临的困难是如何估计G，或者作为另一个随机变量为它建立模型。
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23 对冲违约风险 在上面我们运用了无风险债券对冲即期利率的随机变动。我们是否可以在该组合中再引入另一个风险债券或多个风险债券来帮助对冲违约风险呢？ 考虑对冲组合： 一个用来消除违约风险，另一个用来消除利率风险，通过与上面相似得分析我们可以得到： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

24 信用度量术(CreditMetrics)
信用度量术是由JP Morgan公司和其他一些合作机构（美国银行、KMV、瑞士联合银行等）于1997年推出的，旨在提供一种进行在险价值（VaR）度量的框架，用于诸如贷款和私募债券等非交易性资产的估计和风险计算。与风险度量术类似，信用度量术寻求回答的问题是：“如果下一年是坏年份，在贷款（债券）和贷款组合（债券组合）上最多损失会有多少？” Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

25 信用评级 存在着许多对个别公司或国家编辑数据和估计违约可能性的信用评级机构。 他们中最著名的是标准普尔和穆迪公司。这些机构对公司指定一个信用评级或等级作为对他们信誉的一种估计。标准普尔的企业等级为AAA、AA、A、BBB、BB、B、CCC和违约。穆迪公司采用Aaa、Aa、A、Baa、Ba、B、Caa、Ca、C的等级 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

26 信用评级变动 许多信用评级机构（如标准普尔公司、穆迪公司或KMV公司）会定期公布相应的信用转换矩阵。这些矩阵是对过去的评级公司发生信用等级变化的统计资料。表12.3中展示了一个例子。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

27 信用风险数据集 数据集由四种数据类型构成：收益率曲线、价差、转换矩阵和相关系数。
CreditMetrics收益率曲线数据集由主要货币的无风险到期收益率构成。 对于每一个信用评级，数据集提供对于各个到期日超过无风险收益率的价差 在CreditMetrics框架中，转换矩阵为一年时间各信用等级变动的概率。 当我们开始考察一个风险债券投资组合的行为时，我们必须考虑一个债券的重新评级或者违约与另一个债券的重新评级或违约之间是否存在着任何相互关系。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

28 信用风险度量术(1) CreditMetrics的度量术是有关计算在将来某一时间(时间期限)风险投资组合可能的价值和估计这种价值出现的概率。
让我们只考虑当前评级为AA级的单一风险债券。假定该债券为零息票的，到期期限为三年，而我们想要知道这个投资在一年时间的可能状况。对于一个三年的无风险债券到期收益率可能是6.12%，该工具的到期收益率为6.12%加上三年AA债券级的价差0.54%。所以，总的收益率是6.66%，确定一个价格是0.819。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

29 信用风险度量术(2) 因为三个原因中的其中之一，债券的价值将从在现在起的一年时间中波动：时间的推移、利率的发展和债券重新评级的可能。让依次来讨论这三点。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

30 风险债券的投资组合 我们已经知道如何对单个风险债券应用CreditMetrics的方法论，但将这种概念应用到风险债券的投资组合显然要困难得多，因为它要求知道不同债券之间相互系数的知识。 要计算我们的投资组合的期望值和标准差，我们必须知道每个联合状态发生的概率。这正是相关关系进入的地方。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

31 崩盘度量术 (CrashMetrics) CrashMetrics是一种评估在万一发生金融市场极端变动情况下投资组合的表现。 它不是JP Morgan业绩度量家族的成员。其研究重点是金融工具的投资组合是如何在最糟糕情况的场景下并在几乎没有任何关于市场变动大小或它的时间方面的假设前提下被估价的。唯一的假设是关于市场变动方面的，“崩盘”在规模上受到限制，而且，崩盘的次数在其它方面也受到限制。有关崩盘的规模和时间的概率分布上则没有任何假设。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

32 单个股票的崩盘度量术 在这里我们考虑它是一个股票价值的变动可以由基本标的资产变动的泰勒序列展开式来加以近似 最糟糕情况下的投资组合变动为
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33 投资组合优化 在找到了一种能发现可能发生的最糟情况是什么的技术后，很自然要问如何使最糟情况不那么糟。这可以通过最优静态对冲来实现。
假定存在着一种可利用来对冲我们投资组合的合约。该合约具有一个Delta和一个Gamma， 具有适当静态套期保值的投资组合现在价值总变化为： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

34 多资产/单指数模型(1) 通过将任何一个资产的极端变动的大小与象S&P500这样的一个或几个基准联系起来，我们可以度量资产和期权的投资组合的表现。这些变动的相对大小是通过每个资产相对基准的崩盘系数来度量的。如果基准变动了x%，那么第 i 个资产变动了kix%。 在单一指数多资产模型中我们可以把投资组合价值的变动写作 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

35 多资产/单指数模型(2) 我们假定当存在着一个极端变动时，每个资产的百分比变动可以与基准的变动百分率x相关联：
注意这里是怎样包括了一阶和二阶的崩盘风险暴露的。一阶系数D是崩盘Delta而二阶系数G是崩盘Gamma。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

36 多指数模型 以同样的方式，CAPM模型可以容纳多个指数，所以我们可以有一个多指数的CrashMetrics模型。
股票和期权投资组合的价值变动现在是所有的xj的二次方程式。此时我们必须决定在什么指数收益率范围内我们要寻找最糟糕情况。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

37 崩盘矩阵的简单扩展 首先，我们没有叙述CrashMetrics的方法论可以怎样应用到利率产品上。这不困难，只须运用一个收益率(或几个收益率)作为基准并把产品价值变动通过久期和凸性与收益率变动联系起来。 在崩盘之后通常存在着波动率上升的现象。波动率增加可以通过把Vega项加入到模型中来解决，这个Vega项还取决于崩盘的规模。 最后，通常的经验告诉我们崩盘不久后股票将出现反弹，因此实际的价格下跌并非如人们认为的那样糟。将这种动态效应合并到相对静态的CrashMetrics中是一件有趣的工作。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

38 考虑到违约风险后的衍生工具定价 债券市场上对信用风险的调整可作为计算衍生证券违约损失的预期成本的基础。为了简化我们的讨论，在这里采用了独立性假设。即在无违约世界中影响衍生证券价值的变量与影响对方发生违约可能性和影响违约事件中收回率的变量之间是相互独立的。并且假设公司零息票收益率曲线应该是针对这样的一些债券，即在违约情况下，该债券的信用等级与期权的信用等级相同。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

39 债券的信用风险(1) 从前面的分析中我们知道 假设风险债券与无风险债券都是采用贴现销售的到期本息为1元的零息票债券，则有
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40 债券的信用风险(2) 得到 我们可以推断，如果不考虑对预期违约损失要求额外的补偿，那么风险债券的较低价格应该恰好补偿债券持有人的预期违约损失。预期的风险债券的违约损失与无风险债券价值的比例为 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

41 期权价格的信用风险调整(1) 考虑由与风险债券具有相同信用评级公司发行的期限为T的欧式期权。
对于所有这些实际市场变量而言，预期的有违约风险价值与无违约风险价值的比例都是相同的，期权和债券也一定是相同的。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

42 期权价格的信用风险调整(2) 信用风险的调整准则说明了当我们贴现衍生证券时应该采用“有风险”的贴现率 而不是无风险的贴现率。因此，在对风险衍生证券进行贴现时，我们应该采用有风险利率替代无风险利率，但在确定风险中性世界中的期望收益率时，我们还是应该采用无风险利率进行贴现。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

43 既可能是资产也可能是负债衍生证券的信用风险调整(1)
设从t到ti之间预期的有违约风险价值与无违约风险价值的比例为： 定义ui为ti时刻预期违约损失与无违约价值之间的比例 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

44 既可能是资产也可能是负债衍生证券的信用风险调整(2)
全部的预期损失则确定为： 对应的连续时间公式为： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

45 信用衍生证券 随着信用风险定价技术的发展，对于任何损益状况的分布的估计已成为可能，从而推动了大量信用衍生证券的出现。所谓信用衍生证券就是与信用风险相关联的衍生证券，其类型主要有两类：一类是与违约事件相关联的信用衍生证券；另一类是与信用变化相关联的衍生证券。后者并不需要违约事件的发生，而前者则需要违约事件的发生。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

46 违约触发的衍生工具 违约互换 信用违约互换 有限追索权票据 资产交换
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47 收益率差价衍生工具 违约看涨期权和违约看跌期权 信用差价期权
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48 交换期权(1) 一个在时间T按某一固定的q以零息票风险债券交换零息票无风险债券的期权所具有的回报为：
假定在债券到期日TB （TB>T）收到的本金为D，则从本章第二节的（12.3）可知， Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

49 交换期权(2) 假定在债券到期日TB （TB>T）收到的本金为D，则从本章第二节的（12.3）可知，
在利率是常数的情况下，我们从本章第二节的分析可以得到风险债券价值遵循的偏微分方程是： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

50 交换期权(3) 同时 现在我们的交换期权回报的价值f(p,t)等于： 假设利率和风险率两者都是随机的。从（12.9）可知V满足方程：
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51 交换期权(4) 首先，我们运用下面式子求解基本标的债券： 然后,求解交换期权,它同样满足(12.15)式。同时，
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52 信用评级变动的支付(1) 假如一个债券发行者现在的信用评级是AAA级，而合约规定如果在某一确定日期发行者的信用评级降为AA级，则合约的持有人将获得一笔固定金额的支付。假设利率是不变的。用来解的方程为 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

53 信用评级变动的支付(2) 合约中如果信用等级是 AA就必须支付的规定必须被结合在边界条件中。由于除非发行者被评级为AA级,否则不存在支付，故边界条件是简单的 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

54 信用评级变动的支付(3) 如果将这个合约看成类似于一个“敲入”障碍期权，显然这将有助于对其进行定价。在敲入障碍期权中，支付是由基本标的变量达到某一给定水平而触发的。我们的信用衍生证券也具有类似的情况，其中信用等级水平扮演了基本标的变量的角色。同样，我们必须求解： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

55 信用评级变动的支付(4) 其边界条件为 但现在我们还有一个附加条件，它对应于敲入障碍期权中的边界条件为：对于所有的，
换句话说，在达到 AA 等级的那一刻我们获得 D的支付。对于这类合约通常会对触发有效时间加以限制。在这类合约中只有当触发处于有效期内对于的条件才会生效。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University