第十六章 狭义相对论基础 经典力学对于解决宏观物体的低速运动是卓有成效的，我们在日常生产、生活和科学实验中所遇到的物体的运动速度，大都远比光速为小，所以经典力学的适用范围很广泛。但是自从十九世纪中期以来，电子和放射性被发现以后，人们对于物质世界的认识开始进入微观领域，分子、原子和电子等微观粒子成为我们的研究对象。一个宏观物体，例如一块石头，质量以kg计；而微观粒子，例如一个电子，质量以10-31kg计。宏观物体的运动速度以m·s-1计，而微观粒子的运动速度却可以达到接近光速（3×108.

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1 第十六章 狭义相对论基础 经典力学对于解决宏观物体的低速运动是卓有成效的，我们在日常生产、生活和科学实验中所遇到的物体的运动速度，大都远比光速为小，所以经典力学的适用范围很广泛。但是自从十九世纪中期以来，电子和放射性被发现以后，人们对于物质世界的认识开始进入微观领域，分子、原子和电子等微观粒子成为我们的研究对象。一个宏观物体，例如一块石头，质量以kg计；而微观粒子，例如一个电子，质量以10-31kg计。宏观物体的运动速度以m·s-1计，而微观粒子的运动速度却可以达到接近光速（3×108 m·s-1 ）。另外电磁场的物质性已在理论上和实验中得到验证；物质间的相互作用在微观领域中起主导作用的不是万有引力而是电磁力和核力。基于上述种种事实，从宏观物体运动的研究中总结出来的经典力学的规律，在微观领域中已不能完全适用，而必须代之以新的力学规律。这就是相对论力学和量子力学。 天津理工大学 理学院 物理系编写

2 相对论力学是由爱因斯坦创立的。1905年左右，爱因斯坦在总结了一些新的实验事实的基础之上，吸取了当时的某些理论研究成果，提出了适用于物体的高速运动的新的物理学理论：狭义相对论以及广义相对论。我们下面只简要地介绍一下狭义相对论的基本观点和由它所得出的若干结论。至于量子力学的基本规律，将在下面几章中加以介绍。

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4 一 伽利略变换和力学相对性原理 1 伽利略变换 在经典力学中我们曾经讲过，在物理学上对于物质运动的描述都是相对的。例如在无风的条件下，两个观察者对雨滴运动的描述。静止在地面上的观察者认为雨滴是垂直下落的，而坐在匀速直线运动的卡车上的观察者却认为雨滴是斜向下落的。对于同一事物产生了两种看法，这是由于两个观察者在描述运动时采用了不同的参照系的缘故。地面上的观察者是以地面为参照系；而车上的观察者是以运动着的车为参照系，因此观察者选用的参照系不同，对运动的描述就会不同。

5 考虑在宇宙中的两个沿同一直线作相对运动的飞船A和B。两个飞船上的观察者都以自身所在的飞船为参照系描述运动。在飞船A上的观察者确认A静止，而B则是以速度v匀速直线地远离它；在飞船B上的观察者确认B静止，而飞船A则以－v的速度匀速直线地远离它。由此可见“静止”和“匀速直线”运动没有绝对的意义，只是相对的，与参照系的选择有关。 神舟号载人飞船 飞船A和B彼此作匀速直线运动。按照力学中所介绍的惯性参照系的概念，可以认为A和B都是惯性参照系。我们以后分别用K系和K’系来表示它们。 A B x y z

6 下面我们讨论一下在相对速度为v的两个惯性系K和K’上的观察者对某一运动物体所作的运动学和动力学描述有何不同，怎样从一个惯性系对某一运动的描述得到从另一惯性系对同一运动的描述呢？为简单起见，我们令当K系和K’系的坐标原点相重合时两个系统的时钟都开始计时（t=t’=0）。设想K系和K’系的观察者都在观察质量为m的质点的运动。K’系的观察者记录质点在t’时刻的坐标为（x’、y’、z’）；K系中的观察者在同一时刻t=t’记录质点的坐标为（x、y、z）。可见质点在两个惯性系中的时间和空间坐标有如下关系 K K’ x’ x y’ y z z’ 0’ m

7 利用上述变换关系可以由质点在一个惯性参照系中的坐标值，算出质点在另一个惯性系中的坐标值。上述变换式就叫做伽利略坐标变换。 K K’
x’ x y’ y z z’ 0’ m 利用上述变换关系可以由质点在一个惯性参照系中的坐标值，算出质点在另一个惯性系中的坐标值。上述变换式就叫做伽利略坐标变换。 K K’

8 利用伽利略坐标变换，可以获得两个惯性系之间的速度变换关系
对于K’系，质点的速度为 对于K系，同一质点的速度为 x’ x y’ y z z’ 0’ m 而y、z方向上的速度不变。

9 这就是伽利略速度变换。利用它可以确定出质点在两个惯性系中的加速度之间的关系。另外速度是矢量，如果写成矢量式应为

10 再看加速度之间的关系。对于K’系，质点的加速度为
若写成矢量形式。则为

11 上式表明，质点在两个惯性系中的加速度是相同的。在经典力学中，质量是一个恒量，因此对于K和K’系，牛顿第二定律有相同的表达形式
通过上面的讨论，我们知道了牛顿定律对伽利略变换是不变的，这个关系可以进一步表述为经典力学的力学相对性原理：在一切惯性系中，力学定律有完全相同的表达形式。这就意味着，在研究力学规律时，对所有的惯性系来说都是等价的；任何一个不会比另一个更优越。在一切惯性系中，力学现象按同样的方式进行着。 当然我们说过，虽然所有惯性系是等价的，然而非惯性系，即相对于某惯性系作加速运动的系统，都与惯性系有本质的差别。力学定律在惯性系中所具有的表达形式不经修改是不能随意搬到非惯性系中去的。

12 2 经典力学的时空观 K K’ 0’ x x’ 空间不变性
0’ x x’ 空间不变性 设有一棒，静止在K’系中。为简单起见我们沿X轴放置，在K’系中的观察者量得它两端的坐标分别为x1’和x2’ ，于是得棒长为 在K系中的观察者要量这根棒的长度，应在同一时刻t量这棒两端的坐标，分别为x1和x2。因此棒长 因为 所以 由此知在互相作匀速直线运动的惯性系中测量同一物体的长度，所得结果相同。这就是空间不变性，亦即空间的测量是绝对的，与观察者的运动速度无关。

13 至于时间对惯性系的不变性已由伽利略变换中的t=t’体现出来了。例如有两个事件P1和P2，在K系中的观察者测得发生的时间间隔是t1’和t2’ ，由伽利略变换知
因此 或 即两事件发生的时间间隔与观察者的运动速度无关，或者说时间间隔对互相作匀速直线运动的参照系是相同的，即时间间隔的测量是绝对的。

14 从上面的讨论中我们看出，在经典力学中我们把物体的“坐标”和“速度”这样的随惯性系而变的量看成是“相对”的；所说的“同一地点”也是相对的。在经典力学中，我们认为质量也与惯性系无关，也就是说在K系和K’系中测量的质量结果也相同。这样在经典力学中，我们把时间、长度、质量这样三个不随惯性系而变的物理量看成是“绝对”的，所说的同时性也是绝对的。 总起来看，经典力学的时空观念是这样的，自然界中存在着同物质运动无关的，而且彼此独立的“绝对时间”和“绝对空间”。关于这一点牛顿本人是这样讲的：“从本质上讲，绝对空间是与任何外界的物体都无关的，它永远是同一的、固定不动的”；“绝对的、真正的、数学的时间本身，不论有无其它客体永远均匀不断地流逝着”。这就是经典力学的时空观念。随着科学技术的发展，这种绝对的时空观念，同许多新的物理观念发生了矛盾，从而导致了新的时空观念的出现。

15 二 狭义相对论基本原理 伽利略变换和伽利略相对性原理，用于低速运动物体的力学现象是相当成功的。那么它是否也能用于高速运动的物体呢？是否也能应用到力学现象之外的其它物理现象，例如光学现象上去呢？在十九世纪末到二十世纪初，物理学家们把伽利略变换应用到光学现象上时发生了混乱，遭受了挫折。从而导致了狭义相对论的诞生。 1 光的传播 对于光的认识，人们经历了曲折而又漫长的过程。历史上有牛顿的微粒说和惠更斯的波动说。微粒说认为光是一种机械的粒子流；初期的波动说力图把光波纳入由弹性媒质传播的机械波之中。

16 当时的科学家们认为光波也应与机械波一样，只有在弹性媒质中才能传播。例如声波就是一种机械波，它在静止的空气中的传播速度是330m/s。我们都知道这样的实验，把电铃放在玻璃罩中，若抽出空气，则听不到电铃的声音。这说明声波的传播要有媒质，例如空气。另外我们在离声源的各个方向上所听到的声音是各向同性的，并且我们也可以证明声波的传播速度与声源的运动无关（多谱勒效应）。这些都是声波的性质。这样我们可以看出，如果光波和声波一样也是一种机械波，那么它的传播就必须也有一种弹性媒质存在。

17 但是客观事实表明，光波和声波不同，它能在真空中传播。为了解决这个矛盾，人们就设想了一种奇异的专门传播光波的媒质—以太。声波可以靠静止的媒质—空气传播，它的传播速度是各向同性的；那么光波也要靠一种媒质—以太传播，它也只有对静止的以太传播速度才可能是各向同性的。前面讲过，在力学中一切惯性系都是等价的，但是我们从光学的研究中似乎可以定义出一个优越的惯性系，即相对于以太静止的惯性系，它似乎就是牛顿所说的绝对空间了。因此人们曾经认为，通过对光速的测量应该可以找到这个唯一的绝对参照系，光在它内部的传播是各向同性的，而在其它的参照系中光速就不可能是各向同性的了。

18 地球每年绕太阳运行一周，轨道速度约为30Km/s。假定认为太阳系对应于绝对参照系，那么由于地球的公转和自转，地球在“以太”海洋中的运动状态不断变化，人在地球上就会感到“以太风”拍面而来。即使人们感觉不到，那么通过光速的测量应该可以从光速的各向异性证明以太风的存在。因此如果能测到以太风的速度，反过来就可以找到那个优越的绝对参照系。当然还有一个可能，倘若密闭车厢带着空气一起运动，那么里面的观察者测量光波也将是各向同性的，虽然车厢并不是绝对参照系。同样，如果地球运动时将周围以太带着一起跑，那么地球表面测量到的光速也将仍旧是各向同性的。

19 2 迈克耳逊实验 根据上面的讨论，我们知道了历史上人们认为宇宙间充满了一种叫“以太”的媒质，光是靠“以太”来传播的，光在静止的“以太”中传播是各向同性的。如果把这种“以太”选为绝对静止的参照系，凡是相对于这个参照系的运动就叫做绝对运动，以区别于相对于其它参照系的相对运动。 根据这一观点，历史上一些物理学家设计了各种实验来证实以太的存在与否以及究竟能否被地球所带动的问题，希望能够找出一种发现绝对运动并能测出绝对速度的方法来。但所有这些实验都未能得到预期的结果。直到1887年，迈克耳逊和莫雷两人作了一个精度相当高的实验才得出一个否定的结论：地面上根本找不到以太风。这个关于以太风存在与否的判决性实验是物理学史上少有的几个重要实验之一。下面我们简要地介绍一下。

20 麦克尔孙干涉仪

21 迈克耳逊设计的实验装置是这样的，P是一个半镀银玻璃片，当光通过它时一部分被反射，一部分被折射。M1和M2是两个反射镜。两臂PM1和PM2等长，即L1= L2，并且M1和M2互相垂直。E是一望远镜。从光源S发出的光经过P被分成两束，一束通过P向右被M1反射回P再被P反射后进入E。另一束被P反射向上，被M2反射后折回，再透过P也进入E。 整个装置浮在一水银槽上，可在水平面内平稳地转动。如果以v表示地球也就是仪器相对于以太的速度，那么以太相对于地球上的观察者的速度就是－v。 E L1 L2 P

22 按照迈克耳逊和莫雷的设想，如果以太是存在的，而且它又完全不为地球的运动所带动，那么地球相对于以太的速度就是地球的绝对速度。利用地球的绝对速度和光速在方向上的不同，应该在所设计的这个干涉装置中得到某种预期的效果，从而就可以测得地球相对于以太的绝对速度。 按经典力学的时空观念来看，由于这两束光相对于地球的速度各不相同，所以它们虽然走过的路程一样，但所需要的时间是不一样的。就象船在河水中行驶一样，顺水和逆水中行船走过同样的距离所需的时间肯定是不一样的。在迈克耳逊干涉仪中这种时间上的差异就表现在能看到某种干涉条纹。 E L1 L2 P

23 如果再把仪器旋转900，使两束光相对于地球的速度发生变化。这样通过两臂的时间差也将发生变化。按照光波的干涉理论，这种变化反映在观察中必然引起干涉条纹的移动。但是迈克耳逊在不同的地理条件，不同的季节条件下多次进行实验，却始终看不到干涉条纹的移动。当然实验中也许会有误差，迈克耳逊当时作出结论： 即使地球与以太有相对速度也不可能超过地球轨道速度的1/6。现在实验精度已提高到1/1000以上。这就是说即使地面上有以太风吹着，它的速度也绝对不会超过v/1000=30Km/1000=30m/s。地球像是带着以太一起走的，所以迈克耳逊的实验结论实际上是说地球上没有以太风。这可以看作是一个极其明确的判决。 E L1 L2 P

24 对于上述结果引起了许多物理学家的广泛而热烈的的争论。许多人提出了解决矛盾的方案。1889年斐兹杰拉，1892年洛仑兹先后提出了有名的洛仑兹—斐兹杰拉收缩假设。他们承认有以太存在，但认为在以太中静止的物体，当它相对于以太以速度v运动时长度会缩短。这样就解释了迈克耳逊实验。

25 洛仑兹不仅引入了长度收缩的概念，甚至导出了从以太绝对参照系的时空坐标变换到运动参照系的时空变换关系，即洛仑兹变换。法国物理学家彭加勒在某些方面甚至比洛仑兹走得更远，他引进了四维时空观念及相应的一套处理方法，提出了物理方法对洛仑兹变换应有不变的形式。他说：物理现象的规律按照相对性原理应该是一样的，不管一个观察者是固定的还是在作匀速直线运动。因此我们从没有也不能有任何方法分辨我们自己是否在作这样一种运动。这种表述就是后来爱因斯坦提出的相对性原理。彭加勒还感觉到：应构造一种完全新的动力学，那里的惯性随速度而增长，以至于光速成为一个不可逾越的极限。

26 还有一些科学家例如英国的拉摩在1900年左右也提出了类似的观点。这样在19世纪末到20世纪初的时候，科学的发展已经把建立一种新的时间—空间和物质运动的理论的任务提到日程上来了。各种必要的条件都已具备。洛仑兹和彭加勒等人实际上已经走到新的物理学理论的边缘。很可惜，大概是由于世界观的原因吧，他们没有向前再迈出一步。 庞加莱.J.-H. (1854～1912)

27 3 狭义相对论基本原理 1905年，爱因斯坦在一篇“论动体的电动力学”的论文中，总结了前人在这方面的成功和失败的经验，系统的提出了后来被称为“狭义相对论”的理论。为什么叫相对论呢？这是因为这个理论的出发点是两条假设，第一条就叫做“相对性原理”。爱因斯坦的原话是这样的：“物理体系的状态据以变化的规律，同描述这些状态变化时所参照的坐标系究竟用两个在互相匀速移动着的坐标系中的那一个并无关系”。 现在我们一般把相对性原理表述为 一切彼此作匀速直线运动的惯性参照系，对于描述运动的一切规律来说都是等价的。

28 爱因斯坦关于狭义相对论的著名论文(1905)

29 考虑这样一种情况，如果一个观察者坐在密闭的火车车箱内，火车对地面作匀速运动。他在里面作各种各样的物理实验，从而可以总结出相应的物理规律。但是他无论如何不能知道车箱对地面是否有运动，更不用说运动速度到底有多大了。匀速运动的火车速度快些还是慢些以至于静止，对于他的实验结果毫无影响。 我们可能注意到了，如果这个观察者只作力学实验，上面的话就是前面讲过的“力学相对性原理”。现在没有加以限制，他可以作一切物理实验，特别是电磁学（包括光学）实验。所以我们现在的相对性原理是过去的力学相对性原理的推广。这个原理明确地提出了不存在任何一种特殊的、优越的惯性系。

30 爱因斯坦引进的第二条假设是光速不变原理，他的原话是这样的：任何光线在“静止的”坐标系中都是以确定的速度v运动着，不管这条光线是由静止的还是运动的物体发射出来的。
现在我们一般把它表述为：在彼此相互作匀速直线运动的任一惯性系中所测得的真空中的光速都是相等的。也就是说，光速与观察者及光源的运动无关。 初看起来，光速不变原理似乎和常识相矛盾，但人们在天文观测中却已找到了这个原理的有力的证据。

31 三 洛仑兹变换 前面讲的内容说明，经典力学的伽利略变换已不适用于光学现象了。或者说已不适用于物体高速运动的情况了。而爱因斯坦提出的两个基本原理假定是正确的。那么满足于爱因斯坦两个基本原理的变换应该是一种什么形式呢？下面我们就来寻求一下这种时—空变换关系。 设有两个惯性系K和K’。仍可把它们看作是前面所讨论过的宇宙飞船。但这时v可与光速相比拟。K’系相对于K系沿X方向作速度为v的匀速直线运动。 x’ x y’ y z z’ 0’

32 我们又设当K系和K’系的坐标原点恰恰相重合时两个系统的时钟同时开始计时（t=t’=0）。随后在P点发生某一事件（例如一闪电）。K’系中的观察者记录该事件的时空坐标为（x’、y’、z’、 t’ ）；K系中的观察者记录同一事件的时空坐标为（x、y、z 、t ）。因两个惯性系只在X方向上有相对运动，因此显然应有 x’ x y’ y z z’ 0’ P 下面我们需要确立的是（x、t）和（x’、t’）之间的变换关系。

33 我们假定空间—时间是均匀的，也就是在空间—时间中的点都是平权的，没有哪一点特别优越。这就意味着原点0和0’是任意选取的。对于0这一点来说，由坐标系K来观察，不论在什么时刻总是x=0，但是由坐标系K’来观察，在时刻t’时，x’= v t’。即 由此可见，在同一空间点上，数值x和x’= v t’是同时变为零的。这就自然而然地使人认为在任何时刻x和x’= v t’都有一个比例关系，设这个比例常数为，则有 x’ x y’ y z z’ 0’ 这就是说，惯性系之间的时空变换关系应该是线性的。

34 下面的问题是取决于 的确定，因为新变换必须满足于爱因斯坦的两个基本原理，所以应该根据这两个原理来探求 应为何值。
根据爱因斯坦相对性原理，一切彼此相对作匀速直线运动的惯性系，对于描述运动的一切规律来说都是等价的。这就是说，K系和K’系的物理方程应有同样的形式，所以逆变换应为 x’ x y’ y z z’ 0’ 括号中v前面的负号只表示K系相对于K’系的速度沿x轴的负方向。

35 其次我们设想，当K系和K’系坐标原点相重合时，从原点发出一个沿X轴方向传播的光脉冲。按光速不变原理，对于K系和K’系的观察者来说，光速都是C。光脉冲以球面波前的形式向四周传播。这个球面波的半径，亦即光脉冲波前所在点的空间坐标，对于K系来说是 对于K’系来说是 x’ x y’ y z z’ 0’ 把上两式代入到前两式中去，可得到

36 两式相乘得到 即

37 再代回到x和x’原式中去，得到 由此两式消去x可得到

38 现在我们得到了两惯性系之间的时空坐标关系为
式中

39 上式就是洛仑兹变换，它表达了同一事件在不同惯性系中时空坐标的变换关系。由上式可以很容易看出，在低速情况下，即如果v<<c，则v2/c2<<1。上述变换就变成了伽利略变换。
从历史上讲，在相对论发表以前，洛仑兹在研究电子论时就提出了上述变换式来代替伽利略变换。所以今天仍用它的名字来命名。但正如前面所讲过的，当时洛仑兹并未认识到这个变换式在时空观念上的重大变革意义。而洛仑兹变换的重大意义是爱因斯坦的相对论所赋予的。

40 四 狭义相对论的时空观 前面讲的洛仑兹变换是相对论的基本内容。由它所推出的一些结论和我们在经典力学基础之上所形成的传统观念差别很大。刚接触时可能不太好理解，但它们是符合客观实际的。这一节中我们把狭义相对论的时空观念简要地介绍一下。 1 洛仑兹速度变换式 考虑从K系和K’系观测同一质点m在某一瞬时的运动速度。设K系和K’系的观察者分别测得的速度值是 x’ x y’ y z z’ 0’ m

41 因为 故有

42 反过来我们也可以得到 式中

43 这就是洛仑兹速度变换式。由上式我们可以看出
①当速度u、v远小于光速c时，含有c2的一项与1相比很小可以略去，此时洛仑兹变换退化为伽利略变换。 因此在一般的运动速度下，使用伽利略变换就足够了。但是在u、v与c可比时必须采用洛仑兹变换。

44 ②由洛仑兹速度变换式不可能得出大于光速C的速度，在极端情况下，令
则得到 但按伽利略速度变换却得到下述错误结论

45 2 同时性的相对性 同时性这个概念在日常生活中经常遇到。例如说我们俩8点正同时走进教室。这是指同一地点的两个事件是同时发生的。又如当我们8点整上课的时候，他起晚了，正坐在汽车上往学校里来。这是指两个不同地点的事件同时发生的，而且汽车在运动，是个运动参照系。也就是说这两个例子是有区别的：不同地点和同地点，运动参照系与相对静止的参照系。不过以往这两点区别不被人们所注意。因为大家心目中觉得时间是绝对的，同时性也是绝对的。所有的人不论在哪里，也不论是静止还是运动，都可以用同一只钟来计时。或者说所有的钟表经校准后永远同步。用物理学的语言来讲就是：在经典力学中，同时性是绝对的，在一个惯性系中同时发生的两个事件，在另一个惯性系中也认为是同时发生的，具有与惯性系无关的意义。

46 而K系中的观察者测得相应的时空坐标是（xa、ta）和（xb、tb）
下面我们会看到狭义相对论却指出，在一个惯性系中同时发生的两个事件，在另一个惯性系中可能是不同时的。这就是同时性的相对意义。它可由洛仑兹变换直接得出。 考虑在同一时刻t’在k’系中发生了两个事件a和b。k’系中的观察者测得事件a、b发生的时空坐标分别为（xa’、t’）和（xb’、t’） 。由于是同时发生的时间都是t’ 。 而K系中的观察者测得相应的时空坐标是（xa、ta）和（xb、tb） x’ x y’ y z z’ 0’ a b K系和K’系的时空坐标之间的联系，可由洛仑兹变换得到。

47 由此可见，当xa’≠ xb’时，K’系中同时发生的两个事件对于K系就不同时了，即
两式相减得到 由此可见，当xa’≠ xb’时，K’系中同时发生的两个事件对于K系就不同时了，即 x’ x y’ y z z’ 0’ a b

48 对于K系，上述两个事件的时差将与他们在K’系中的空间距离xb’－ xa’及两个惯性系的相对速度v有关。
y’ y z z’ 0’ a b 这表明，只有在一个惯性系中同时同地点发生的事件，在另一个惯性系中才是同时同地发生的。

49 3 长度的相对性 在伽利略变换下，物体的长度测量是绝对的，它与物体或观察者的运动速度无关，无论在那一个惯性系中同一物体的长度都一样。按照狭义相对性原理。在洛仑兹变换下，同一物体在不同惯性系中量得的长度又怎样呢？ 假定有一个固定在坐标系K中的物体，物体沿X轴的长度由坐标系K来度量是 而由坐标系K’在某一时刻t’进行度量时所得的长度是 K K’ 0’ x x’ 由洛仑兹变换式

50 得到 即 这就是说，固定在坐标系K中的物体长度，由坐标系K’来度量时，测得的长度较小。 K K’ 0’ x x’

51 反过来讲，如果有一个固定于K’系中的物体量得的长度是
而由坐标系K在某一时刻t进行度量时所得的长度是 所以 由于 K K’ 0’ x x’

52 即 显然物体的长度仍然是缩短，这正说明了所有的惯性系都是等价的，K系和K’系谁也不比谁更优越，没有绝对的缩短。这才是相对论。 由上面的结果我们得出结论：从对于物体相对速度为v的坐标系中所测得的沿速度方向的物体长度l’，总是比物体相对静止的坐标系中测得的长度l为短。 至于垂直于相对速度v方向的长度是不变的，因为洛仑兹变换中明确地写着

53 我们可能有这样的疑问，既然运动物体在运动方向上有长度缩短，然而人们为什么没有观测到运动的汽车或飞机比静止时短呢？下面我们实际测量一下。
若以汽车为K’系，静止于路旁的观测者为K系。汽车的长度为5米，即l=5m。若汽车相对于观察者的速度是v=30m/s（v=108Km/h）。对于静止的观察者来说，若测量它的长度应为 K K’ 0’ x x’

54 用幕极数展开 由于v/c<<1，因此高次项可以略去 即汽车缩短了 K K’ 0’ x x’ 显然这样小的缩短量是无法观测到的。

55 假定汽车的行驶速度可以达到v=c/2，即每秒15万公里，此时
汽车缩短了 可见物体高速运动时，相对论的长度收缩效应相当显著。 由上面的讨论中我们知道了在物体的低速运动中无须考虑相对论的长度收缩问题，但物体高速运动时必须应用相对论来处理。 K K’ 0’ x x’

56 关于长度收缩效应有两点需要说明。 一是前面的讨论中我们知道了只有物体的运动速度v→c时，洛仑兹收缩才显著。只有对于微观粒子来说才有可能具有接近于光速的速度。但它们本身的线度都很小，无法直接测量。所以至今为止，洛仑兹收缩只是理论上分析的结果，并无直接的实验证明。 二是上述长度收缩效应公式早在1905年就提出了，在那以后的很长一段时间里，大家都认为我们能“看见”一个圆球在高速运动时变成了扁椭球。有些画上画着一个人骑自行车高速前进，人和车都变扁了等等。实际上这是一个误解，事实上当我们看一个物体或是对它拍照时，我们记录物体发出的光子是同时到达视网膜上或照相底片上的。这就意味着这些光不是从物体上的一切点同时发出的。很明显，离开观察者较远的点发出光子的时间要比较近的为早，这样才能同时到达视网膜或照相底片上。因此如果物体处于运动状态，我们的眼睛或照相底片所得到的物体要发生畸变。这是由于在图像中看到的物体的各个部分在发射光子时，物体曾处于不同的位置上。

57 分析的结果表明，这种畸变具有令人惊异的结果，它抵消了洛仑兹收缩，物体看起来没有畸变，而只是转了一个角度。详细的讨论很复杂，这里从略。正是由于这种现象，我们在讨论长度收缩问题时，一般都讲“测量”而不讲“看”。这个问题是由一美国科学家戴勒尔发现并认真加以讨论的。而这已是相对论提出55年后的1959年了。

58 4 时间的相对性 考虑前面一直引用的两个惯性系K和K’。每一个惯性系中的观察者都使用对自己为静止的钟，度量事件发生的时间和过程的进程。设想在K’系的同一地点x1’相继发生了两个事件。这两个事件可以是一个过程的开始和结束。试问分别处在作相对运动的惯性系K和K’系中的两个观察者，所观测到的该两事件发生的时间间隔是否一样？ x’ x y’ y z z’ 0’

59 习惯采用经典力学处理问题的人，可能会满有信心地回答，对于K系和K’系来说两事件的时间间隔是一样的，因为他采用伽利略变换中的
自然会得出 下面看看用相对论力学即洛仑兹变换处理此问题会得出什么结论。由于这两个事件发生在K’系中的同一地点，设在K’系中观测到这两事件发生的时空坐标分别为 K’系中的观察者使用静止于此系的钟来计时，确定出此两事件的时空间隔为 x’ x y’ y z z’ 0’

60 在K系中的观察者使用静止于K系中的钟来计时，测得发生此两事件的时刻分别为t1和t2 ，它们与在K’系中测得的时空坐标的关系，由洛仑兹变换给出。分别为
x’ x y’ y z z’ 0’

61 这就是说，从对于发生事件的地点作相对运动的惯性系K中度量的时间比相对静止的惯性系K’中度量的时间要长。
x’ x y’ y z z’ 0’

62 反过来讲，如果我们假定在K系的同一地点x1发生了两个事件，其时间间隔为
那么在K’系中进行度量时，K’系中的观察者认为这两事件所经历的时间间隔是 按洛仑兹变换有 x’ x y’ y z z’ 0’

63 这和前面的结论一样，时间也是延长的。这就是相对性原理的表现所在，时间应是相对的，不同的惯性系应有共同的结论：一切发生在运动物体上的过程，在静止的观察者看来都变慢了。这种现象常被称为“时间延长”或“时间膨胀”效应。这是一个十分重要的相对论运动学效应，并且有直接的实验证明。例如，1963年科学家们在研究来自外层空间的宇宙射线中的子时就观测到了这种情况。

64 不过要注意，上述时间膨胀效应是说明一个时钟由一个与它作相对运动的观察者来观察时，就比由与它相对静止的观察者来观察时走得慢些。这种时间膨胀或时钟过程的延缓，完全来自相对论性的时空效应，与钟表的具体运转无关。并且不仅对时钟（包括摆的振动周期或晶体振荡的频率等）是如此，对一切生长变化的过程（包括生物钟如心跳的频率等）也是如此。

65 这个结果是说地球上的观测者测量飞船上的钟比地球上的钟慢了49秒。
例题 飞船速度v=0.9998c。飞船上的乘客举一下手。在飞船上测量用了时间t’=1s。问地球上的人测量飞船上乘客举手的时间t为多少？ 解 这个结果是说地球上的观测者测量飞船上的钟比地球上的钟慢了49秒。 反过来若地球上的人举一下手。用地球上的钟测量t=1s。则飞船上的人测量地球上的人举手的时间t为 这说明飞船上的观察者测量地球上的钟比飞船上的钟也慢了49秒。所以可看出，对于观察者所在的惯性系作相对运动的时钟变慢了，或事件所经历的过程变慢了，因此时间是个相对的概念。

66 五 狭义相对论动力学基础 我们知道在狭义相对论中，对于不同的惯性系有两个不变的观念，一是光速不变；二是物理定律的形式不变。在这两个概念下，基本物理量长度和时间的度量成为与惯性系有关的相对量了。那么另一个基本的物理量—质量又怎样呢？下面我们就讨论这个问题。 1 质量与速度的关系 把两个静止的球放到天平上去秤，具有相同的质量m。现在把两个球分给具有相对运动的两个观察者K和K’，试问对每一个观察者来说，这两球质量是否还相同。 当然我们不便再用天平来比较它们的质量了，但是根据相对性原理，在任何一个惯性系中，物理定律的形式不变，因此可以确信，动量守恒定律在不同的惯性系中仍成立。于是我们可以设法让两个球发生碰撞，用碰撞前后的速度来比较它们的质量。

67 两球的碰撞实验可以这样进行。设想两个观察者K和K’沿x方向的相对速度为v，观察者K沿x方向以速度v朝K’投出球A。此时A球相对于K运动而相对于K’静止。另一方面观察者K’沿－x方向以速度－v朝K投出求B，B球相对于K静止而相对于K’运动。在发生碰撞之前，观察者K看到的是动球A去撞静球B， K看到 K K’ x A B K’看到 而观察者K’看到的是动球B去撞静球A。在讨论中我们约定静球的质量为m0，动球的质量为m。

68 此外我们还假定球有某种性质，能使它们的碰撞是完全弹性的，从而碰撞以后两球粘在一起运动。观察者K看到粘连体的速度是ux，观察者K’看到的粘连体的速度是ux’ 。根据爱因斯坦相对性原理，在不同的惯性系中物理定律的表达形式不变。可以认为两个惯性系中总质量应守恒，并且总动量守恒定律仍成立。 K看到 K K’ x A B K’看到

69 对K来说，他看到B球质量为m0 ，A球以速度v运动着，质量为m，碰撞后两球粘在一起，质量为M。碰撞前后总质量守恒，动量守恒。
对K’来说，他看到A球质量m0 ，B球质量m ，B以速度v向左运动。同样有动量守恒定律知 A B m m0 M 碰前 碰后 观察者K 观察者K’ 即

70 显然有 另外两速度又应和爱因斯坦速度变换式相联系 或 A B m m0 M 碰前 碰后 观察者K 观察者K’

71 把此式整理一下可得到

72 此即为质速关系式。

73 因质量与速度有关，所以不再象经典力学中那样动量与速度成正比了。
由上式我们看出，物体的质量m是随观察者的速度v增加而增大。可见质量与惯性系有关。它也是一个相对的物理量了。不难看出，当v<<c时，m=m0。这正是经典力学的概念。另外我们还可以看出，对于静止质量不为零的物体，当v→c时，m→∞。当v>c时，m变成虚数。所以静止质量不为零的物体，速度不可能等于或超过光速。运动速度等于光速的粒子，例如光子、中微子等，它们的静止质量只能是零。 我们把经典力学的质量概念作了上述修正以后，按质量与速度的关系，在狭义相对论中动量定义变为 因质量与速度有关，所以不再象经典力学中那样动量与速度成正比了。

74 因质量m随速度变化，此时牛顿第二定律也要用动量形式来表示
经典力学中F=ma，力与加速度成正比。一个恒定的力会产生恒定的加速度。但是按狭义相对论中牛顿第二定律的形式，质量随速度增大。所以一个物体在恒力作用下不会有恒定的加速度。随着粒子运动速度的增加，加速度不断减小。当v→c时，a=0，因此不论使用多大的力也不可能把一个粒子从静止加速到等于或大于光速。 物体的质量随速度而变这一事实，早在1901年考夫曼在对射线的研究中就观测到了，后来又为许多事实而证实。

75 2 质量和能量的关系 在经典力学中，一个速率为v的物体，动能为½mv。在狭义相对论中物体的动能应如何计算呢？ 按照动能定理，当外力对物体作功时，物体动能的增加等于合外力对它所作的功 合外力F由下式给出 即 为了使问题简化，下面我们只考虑物体受力的方向与其运动方向相同的特殊情况，所得结果对一般情况也普遍成立。

76 设物体自静止开始在方向恒定的合外力F的作用下，从a移动到b，速度由0增至v。由于v总与F方向相同，所以上式可以写成标量式。因而在这过程中它所获得的动能为
令=v/c，上式可写成

77 一般我们把Ek称为物体运动时的能量；把m0c2称为物体的静止能量。物体的动能和静能之和称为物体的总能量。即
式中E=mc2表明，物体的质量和能量这两个重要的物理量之间有着密切的关系。如果物体的质量m发生了变化，由上式可知，物体的能量也一定有相应的变化

78 反过来，如果物体的能量发生变化，那么它的质量也一定发生相应的变化。日常生活中系统能量的变化，在其总能量中所占的百分比一般很小，因此其相应的质量变化在其原来质量中所占的比例也很小。有人算过，燃烧1百万吨煤放出3.3×1016J的能量，其质量变化只有0.37kg。所以实际上是难于观察到的。 质能关系式也有实验验证和应用，核反应就是其中之一。我们不再讨论了。

79 3 动量和能量的关系 有时我们需要考虑一下粒子的动量，因此建立能量和动量之间的联系是必要的。 前面讲过，静止质量为m0、速度为v的物体的动量和总能量为 将两式平方，得到

80 即 上两式相减，得到 即

81 此即动量和能量之间的关系式。 对于光子来说静止质量为零，m0=0，静止能量E0=0。 由上式知，光子的能量 即能量为E的光子具有动量 质量 光子没有静质量和静能量，但光子有动质量和动量。因为光子有动质量所以光子经过一个大星球旁边时会受到星球的万有引力而使光线弯曲。这一点已为天文观测所证实。光子有动量，所以光照射到物体表面会有光压产生。这种光压也可由实验观测到。

82

83 广义相对论简介 广义相对论是爱因斯坦在1915—1916年间建立的一种引力理论。
经典力学认为，时间和空间都是绝对的。一个质点的速度和加速度都是相对于一个绝对空间而言的，牛顿方程只对一个惯性系才有效。 关于绝对空间的存在，牛顿曾作过这样的论证，这就是著名的水桶实验。他说：我们使一个盛有水的水桶旋转，当桶已旋转而水还未动时，水面依然与静止时相同，是一个平面。但到最后水随桶一起旋转时水面就呈现出一个凹型曲面。这个实验表明，当水静止时，不管它是否与水桶有相对运动水面都是平的；而当水旋转时，不管它是否与水桶相对静止，水面都是凹型曲面。由此看来，根据水面的平与曲，可以判断水对绝对空间是静止的或是旋转的。

84 总之，在牛顿力学中承认有绝对的运动。但是按照力学相对性原理，这种绝对运动在各惯性系之间又呈现为一种相对运动，即速度总是相对于一特定的参照系才有意义。
在狭义相对论中，我们把力学相对性原理推广为”相对性原理“。这个原理说明，一个惯性系相对于绝对空间的速度靠任何物理手段，不仅是力学的，也包括电磁学、光学等手段都是测量不出来的。由此可见，相对论这个词同这样一个概念有关，运动总是表现为一个物体相对于另一个物体的相对运动，一切绝对运动都是观察不到的。或者说不存在绝对运动。 在狭义相对论里，从这一否定的陈述出发得出了一个肯定的结论：一切自然定律对各惯性系都成立。或者反过来说，各惯性系在描述自然规律上是等效的。这样我们自然要产生这样的疑问：既然运动不仅要用速度而且要用加速度来描述，那么如果速度概念只能有相对的意义，难道我们还应当把加速度当成绝对的吗？

85 上面是爱因斯坦最初的想法，但现在看来已不很正确。实际上广义相对论并不是关于非惯性系的理论，而是在有引力的情况下惯性系一种局域化的理论。
我们知道相对于一个惯性系作加速运动的参照系不再是一个惯性系了，所以爱因斯坦认为，相对性原理的进一步推广就要不仅承认速度是相对的，还要求承认加速度也是相对的。这就必然要求抛弃在狭义相对论中仍保留的那一点限制，那一点残留的经典力学基础—即自然定律只对惯性系有效。而开始承认“自然定律对一切任意运动着的非惯性系也有效”。奠基在这样一种“广义的”相对论原理之上的理论就叫做“广义相对论”。 上面是爱因斯坦最初的想法，但现在看来已不很正确。实际上广义相对论并不是关于非惯性系的理论，而是在有引力的情况下惯性系一种局域化的理论。 上述观念很多人都想到过，例如马赫就曾对牛顿的水桶实验作过这样的解释：水相对于桶壁的旋转并不能引起它的表面的凹起的现象。这种凹面现象只可能是由于水相对于地球以及无数遥远天体的相对旋转而引起的。一个静止在旋转着的凹面水上的观察者，将看到无数天体绕着他旋转。正是这一拥有巨大质量的天体系统绕着水的旋转，引起了水面变凹的现象。

86 所以在马赫看来，一切运动都是相对的，同绝对空间联系的惯性系、惯性质量、惯性力等本身也是相对的，是无数遥远天体对一个物体作用的结果。马赫还认为这种作用是引力作用。一个物体被加速时所表现出来的惯性，或者说在加速坐标系中所感觉到的惯性力，并不是由于加速度的绝对性，而是由于物体抗拒它相对于宇宙中其它物体产生加速度所引起的。因此惯性系是由宇宙中的质量分布决定的，一个物体的惯性质量是由宇宙中所有其它物质的存在所决定的，惯性力在本质上是一种引力。这就是“马赫原理”。

87 这样惯性质量和引力质量的相等性是同加速度和引力场强度之间的某种等价性密切联系在一起的。这可通过一个理想实验来说明。
爱因斯坦接受了马赫的这种观点，认为非惯性系理论一定要包括引力理论，把引力问题作为研究的主要对象。但是觉得马赫这种超距作用的观点不能为建立一种新理论提供可靠的基础。他认为引力现象也应该同电磁现象一样，要建立在场的观点之上。这样它就发展成为了引力理论。他认为 （惯性质量）×（加速度）=（引力质量）×（引力场强度） 精确的实验表明： 1964年，狄开等人所作的实验表明 这样惯性质量和引力质量的相等性是同加速度和引力场强度之间的某种等价性密切联系在一起的。这可通过一个理想实验来说明。

88 地球表面有一个引力场，在小范围看这个场是均匀的，其强度由重力加速度来表征。现在让一个观察者登上一个密闭的电梯。当电梯静止时，他的脚与地面的压力等于他的体重mg。当升降机向上以加速度a启动时，他感到脚下压力增大，即自己的体重增加了，变为mg’，而g’=g+a。当升降机匀速上升时，他感到一切恢复正常（狭义相对性原理）。当上升着的电梯刹车时，他又感到脚下压力减轻，即自己的体重是mg”，g”=g－a。a是刹车过程中减速度的绝对值。这个观察者可以认为升降机向上加速的效应等价于地球引力场的增强，而减速的效应等价于地球引力场的削弱。合起来说，一个加速度为a的参照系即电梯等效于一个静止参照系。即地球内存在附加的均匀引力场（强度为a）的情况。特殊的情况下，如果让电梯自由下落，内部的观察者将处于失重状态，“加速场”完全抵消了“引力场”。

89 总之，从经验的观点看在局部的范围内，观察者无法分辨自己所在的参照系K’究竟是相对于参照系K’的加速呢？还是仍在原来的参照系K中但受到了一个引力场作用。对他来说用参照系K’还是K（内部有一个引力场）来描述物理过程的规律是完全等效的，这一表述方式就叫做“等效原理”。 和任何理论一样，相对论也不是没有问题存在。例如对于狭义相对论，虽然迄今为止还未发现有实验事实与之不符，但它确实存在一些隐含的逻辑循环，推导出洛仑兹变换必须假定光速不变原理存在。而由相对性原理的数学表述—洛仑兹协变性与麦克斯韦方程一结合，立即就可得出光速不变的结论。因此最初把它作为原理提出来似乎是多余的。但是没有光速不变原理又没有办法使两个惯性系上的时空坐标明确地定义出来。

90 再比如光速不变是否合理。从哲学意义上讲，变是绝对的；不变是相对的。任何极限都是能够也是应该打破的，因此光速不变是不合乎辩证法的，一定有超光速粒子存在。
但是若反问一下，一旦超光速的速度被我们找到了，它能不能再被超过呢？如果是否定的，那还是光速不变。如果是肯定的，那就意味着极限速度v→∞，这就不可避免地又回到了牛顿的绝对时空观了。再讨论下去就涉及到太多的哲学问题了，就此打住。

91 [英]史蒂芬·霍金　著　　许明贤　吴忠超　译 《时间简史——从大爆炸到黑洞》