E 关 于 数.

Presentation on theme: "E 关 于 数."— Presentation transcript:

1 e 关 于 数

2 关于 π π = … = 单位圆的半周长，圆周率

3 e= = … 当物质以每年100%的速率增加时一年内增加的比例数 N(1)/N(0)=e

4 大通银行3月17日至4月15日活期存款结算清单 ================================================== Opening Balance Average Balance Deposits and Credits Interest Paid for 30 Days Withdraws and Debits Annual Percentage Yield Earned 2.58% Ending Balance Interest Rate 03/17 to 04/15 at 2.55% Opening Balance 起始时刻（3月17日）帐面的结算款 $3147.8。 Ending Balance 最终时刻（4月15日）账面的结算款 $ Average Balance 30天平均账面结算款 $ Interest Paid for 30 Days 30天内银行支付的利息 $ 6.60。 Deposits and Credits 存入（利息）$6.60， Withdraws and Debits 取出 $0.00 Interest Rate 03/17 to 04/15 期间内的（年）利率2.55% Annual Percentage Yield Earned 年百分收益2.58%

5 年初存款N(0)=1万元，年利率为 r=0.05 活期存款 年底取出应为 N(1)=(1+r)N(0)=1.05万元

6 结帐单上给出从3月17日至4月15日这30天（一个月）期间内的年利率为2.55%，
起始时刻的存款数为 $ ， 因此在这一个月内的利息应该是 ×2.55%/12=6.689 结帐单中所给出的 $6.60， 低于这个数 $0.089, 降低了1.35% 使用利息与本金的比值来计算利率可得 6.60/ = =0.2097%， 折合年利率为0.2097%×12=2.516%， 也不是结帐单中所给出的2.55%。 为什么？

7 如果考虑到货币生息每个月都在发生 一年为12个月，假设每个月的时间是相等的。 每月结账 年利率r平均到每一个月时，月利率为 0.05/12= 每经过一个月的收益将为 = 一年下来，1万元将增加为 = 万元

8 如果考虑到货币的生息天天都在发生 假设一年为365天 每天结帐 5%的年利率平均到每一天时，日利率为 0.05/365= 每经过一天的收益将为 = 万元 一年下来，1万元将增加为 = 万元

9 如果考虑到货币的生息每小时都在发生 假设一年为365×24=8760小时 每小时结一次账 5%的年年利率平均到每一小时，每时利率为 0.05/8760= 每经过一小时的收益为 = 万元 一年下来，1万元将增加为 = 万元

10 如果用 r 表示货币的年利率 进一步细致地考虑货币的贬值的过程。 将一年细分成 n 个等分“天” 每一“天”的利率率为 r/n 每万元每一“天”收益为1+r/n 每万元每一年收益为 (1+r/n)n. 令x=r/n，则 n=r/x 上式可以写为 N(0)[(1+x)r/x]=N(0)[(1+x)1/x]r .

11 于是得到表达式 f(x)=(1+x)1/x 的变化过程是：
随着时间无限地分细，将有 于是得到表达式 f(x)=(1+x)1/x 的变化过程是： x f(x) x f(x) x × × × ×10-7 f(x) 由此可得

12 再回到银行存款的存单的计算。 不同于货币贬值的问题， 银行的存款的数额是按利率所给出的百分率时时刻刻增加的。 因此在银行存入a0 = A万元，如果年利率为r， 经过n年结算时账面的结算款应该是 a(n) = A er n 对于大通银行的存单来说， 有本金A=$3147.8, 年利率r=2.55%=0.0255/年。 存期n=30天=30/365= 年。

13 利用上面的公式可以得到 a(n) = A er n = ×e0.0255× =3154.4 这就是结算单中所给出的最终时刻的账面款 30天得到的利息应该是 a(n) – A = = 6.60 刚好就是结算单中的利息数值。 如果这样一直续存一整年，应该得到百分收益 [a(1)-A]/A = er -1 = e = =2.582% 它就是储蓄存单中年百分收益的百分数 实际上就是一年存款的“利率”

14 由此可得 N(1)=N(0)er×1=N(0)e 由于实际问题中以百分速率变化的问题非常多。 因此形如 Aert 的模型应用非常广泛。 数值 e= 和数值 = 一样是一个非常重要的常数。