概率论与数理统计 课件制作：应用数学系 概率统计课程组.

Presentation on theme: "概率论与数理统计 课件制作：应用数学系 概率统计课程组."— Presentation transcript:

1 概率论与数理统计 课件制作：应用数学系 概率统计课程组

2 大数 定律 中心极 限定理 第五章 大数定律与中心极限定理 本章要解决的问题 ANSWER 为何能以某事件发生的频率
第五章 大数定律与中心极限定理 本章要解决的问题 ANSWER 为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？ 大数 定律 为何能以样本均值作为总体 期望的估计？ 为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？ 中心极 限定理 大样本统计推断的理论基础 是什么？

3 5.1 大数定律 重要不等式 设非负随机变量 X 的期望 E( X )存在， 则对于任意实数  > 0,
5.1 大数定律 重要不等式 马尔可夫（Markov） 不等式 设非负随机变量 X 的期望 E( X )存在， 则对于任意实数  > 0, 证 仅证连续型随机变量的情形

4 设随机变量 X 的k阶绝对原点矩 E( |X |k)存在， 则对于任意实数  > 0,
推论 1 设随机变量 X 的k阶绝对原点矩 E( |X |k)存在， 则对于任意实数  > 0, 推论 2 ——切贝雪夫（ chebyshev ）不等式 设随机变量 X 的方差 D ( X )存在， 则对于任意实数  > 0, 或

5 示意图 j(x) Dx/e2 x Ex-e Ex Ex+e

6 例1 设x是掷一颗骰子所出现的点数, 若给定e=1,2, 实际计算P(|x-Ex|e), 并验证切贝谢 夫不等式成立
例1 设x是掷一颗骰子所出现的点数, 若给定e=1,2, 实际计算P(|x-Ex|e), 并验证切贝谢 夫不等式成立. 解 因P(x=k)=1/6, (k=1,2,3,4,5,6)

7 例2 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试估计 在任选的 6000 粒种子中, 良种所占比例与 1/6 比较上下小于1%的概率. 解 设 X 表示 6000 粒种子中的良种数 , X ~ B (6000,1/6 )

8 实际精确计算： 用Poisson 分布近似计算： 取 = 1000

9 例3 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大时, 才 能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出现的 频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90? 解 设 X 表示 n 次独立重复试验中事件 A 发生 的次数 , 则 X ~ B(n,0.75) 要使 ，求 n

10 即 即 由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故 令 解得

11 若 E(X ) =  , D(X ) =  2, 类似于正态分布的3
原理，由 Chebyshev 不等式可估计 由 Chebyshev 不等式，可看出 D (X) 反映了 X 偏离 E(X ) 的程度. 固定 ，  较小者， 较小. Chebyshev 不等式对于  2 2 无实际意义

12 大数定律 贝努里（Bernoulli） 大数定律 有 或 设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的
次数, p 是每次试验中 A 发生的概率，则 有 或

13 证 引入随机变量序列{Xk} 设 则 相互独立， 记 由Chebyshev 不等式

14 故

15 贝努里（Bernoulli） 大数定律的意义：
在概率的统计定义中，事件 A 发生的频率 “ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生的概率是 指： 频率 与 p 有较大偏差 是 小概率事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频率 近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定.

16 定义 是一系列随机变量， 设 a 是一常数， 有 若 (或 则称随机变量序列 依概率收敛 于常数 a , 记作 故

17 结果同样适用于服从其它分布的独立随 在 Bernoulli 定理的证明过程中， Y n 是相互
独立的服从 0-1分布的随机变量序列 {Xk} 的 算术平均值, Y n 依概率收敛于其数学期望 p . 结果同样适用于服从其它分布的独立随 机变量序列

18 Chebyshev 大数定律 相互独立， 设随机变量序列 (指任意给定 n > 1, 相互独立)，且 具有相同的数学期望和方差 则 有 或

19 定理的意义： 具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的 算术平均值依概率收敛于数学期望. 当 n 足够大时，算术平均值几乎就是一个常数,
可以用算术平均值近似地代替数学期望.

20 不一定有相同的数学 期望与方差，可设 注1： 有 相互独立的条件可以 去掉，代之以 注2：

21 辛钦大数定律 设 相互独立，服从同一 分布，且具有数学期望 E(X k) =  , k= 1,2,…, 则对任意正数  > 0

22 相互独立， 注3: 设随机变量序列 具有相同的分布，且 则 有 记

23 则 连续， 若 则

24 §5.2 中心极限定理 定理1 独立同分布的中心极限定理 设随机变量序列 相互 独立，服从同一分布，且有期望和方差： 则对于任意实数 x ,

25 注： 记 则 Y n 为 的标准化随机变量. 即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标准正态 随机变量的分布函数 近似 近似服从

26 定理2 李雅普诺夫(Liapunov)定理 设随机变量序列 相互 独立，且有有限的期望和方差： 记 若

27 则对于任意实数 x ,

28 定理3 德莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理 （DeMoivre-Laplace ） 设 Y n ~ B( n , p) , 0 < p < 1, n = 1,2,… 则对任一实数 x，有 即对任意的 a < b, Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)

29 正态分布的概率密度的图形 x m m+s m-s

30 二项分布的随机变量可看作许多相互独立的0-1分布的随机变量之和, 下面是当x-B(20,0.5)时, x的概率分布图

31 普阿松分布相当于二项分布中p很小n很大的分布, 因此, 参数l=np当很大时也相当于n特别大, 这个时候普阿松分布也近似服从正态分布, 下面是l=30时的普阿松概率分布图.

32 中心极限定理的应用 X ~ B(6000,1/6) 例1 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试估计
例1 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试估计 在任选的6000粒种子中，良种所占比例与 1/6比较上下不超过1%的概率. 解 设 X 表示6000粒种子中的良种数 , 则 X ~ B(6000,1/6)

33 近似

34 比较几个近似计算的结果 用二项分布(精确结果) 用Poisson 分布 用Chebyshev 不等式 用中心极限定理

35 X ~ B(200,0.6) , X ~ N (120, 48) (近似) 例2 某车间有200台车床，每台独立工作，开工
例2 某车间有200台车床，每台独立工作，开工 率为0.6. 开工时每台耗电量为 r 千瓦. 问供 电所至少要供给这个车间多少电力, 才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足 而影响生产？ 解 设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力 设 X 为200 台车床的开工数. X ~ B(200,0.6) , X ~ N (120, 48) (近似) 问题转化为求 a , 使

36 由于将 X 近似地看成正态分布，故

37 反查标准正态函数分布表，得 令 解得 (千瓦)

38 例3 检查员逐个地检查某种产品, 每检查一只 产品需要用10秒钟 . 但有的产品需重复检 查一次，再用去10秒钟. 假设产品需要重 复检查的概率为 0.5, 求检验员在 8 小时内 检查的产品多于1900个的概率. 解 检验员在 8 小时内检查的产品多于1900个 即检查1900个产品所用的时间小于 8 小时. 设 X 为检查1900 个产品所用的时间(单位： 秒) 设 Xk 为检查第 k 个产品所用的时间(单位：秒), k = 1,2,…,1900

39 Xk P 相互独立,且同分布,

40

41 解法二 — 1900个产品中需重复检查的个数

42

43 例4 对敌人的防御工事用炮火进行 100 次轰击, 设每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其 数学期望为 2, 均方差为 如果各次轰击 命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击 (1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率. 解 设 X k 表示第 k 次轰击命中的炮弹数 相互独立，

44 设 X 表示100次轰击命中的炮弹数, 则 (1) (2)

45 例5 售报员在报摊上卖报, 已知每个过路人在 报摊上买报的概率为1/3. 令X 是出售了100份 报时过路人的数目，求 P (280  X  320). 解 令Xi 为售出了第 i – 1 份报纸后到售出第i 份报纸时的过路人数, i = 1,2,…,100 (几何分布)

46 相互独立,

47 中心极限定理的意义 在实际问题中，若某随机变量可以看 作是有相互独立的大量随机变量综合作用 的结果，每一个因素在总的影响中的作用
都很微小，则综合作用的结果服从正态分 布.

48 练习1 (2002年数学四考研试题) 设随机变量 相互独立， 则根据列维-林德贝格中心极限定理，当n充分大时， 近似 服从正态分布，只要 ( ). 有相同的数学期望 (B) 有相同的方差 (C ) 服从同一指数分布 (D) 服从同一离散型分布 练习2(2001年数学四考研试题十一题) 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977. ( (2)=0.977，其中(x)是标准正态分布的分布函数)

49 作业 *补充：设某农贸市场某种商品每日的价格的变化是均值为0，方差为 2 = 2的随机变量，即
其中Yn是第n天该商品的价格。如果今天的价格为100，求18天后该商品的价格在96与104之间的概率。