基礎半導體物理 Energy Bands and Carrier Concentration in Thermal Equilibriumn

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1 基礎半導體物理 Energy Bands and Carrier Concentration in Thermal Equilibriumn
熱平衡時的能帶及載子濃度

2 2.1 SEMICONDUCTOR MATERIALS
2.2 BASIC CRYSTAL STRUCTURE 2.3 BASIC CRYSTAL GROWTH TECHNIQUE 2.4 VALENCE BONDS 2.5 ENERGY BANDS 2.6 INTRINSIC CARRIER CONCENTRATION 2.7 DONORS AND ACCEPTORS

3 2.1 半導體材料 Insulator，Semiconductor，Conductor

4 半導體材料 ：導電率介於絕緣體與導體之間  導電率易受溫度、照光、磁場及微量雜質的影響，所以半導體在電子應用上很重要。
104～106S/cm  10-18～10-8S/cm 導電率易受溫度、照光、磁場及微量雜質的影響，所以半導體在電子應用上很重要。

5 半導體材料分類 元素：矽（Si）、鍺（Ge） 化合物: 二元(binary)-例如GaAs，用於高速、光電元件。
三元(ternary)-例如AlxGa1-xAs，調整x的大小可改變材料的特性。 四元(quarternary)-例如AlxGa1-xAsySb1-y

6 Al 鋁 P 磷 As 砷 Ga 鎵 Sb 銻 In 銦 Se 硒 Te 碲 Hg 汞 Pb 鉛 Zn 鋅 S 硫

7 2.2 基本晶體結構 固態物質由其原子排列方式可分為：
非晶形(amorphous)、多晶(polycrystalline)、單晶(crystalline)

8 2.2.1 單位晶胞（unit cell) 是晶體中可用以複製整個晶體的一小塊體積
3D 2D 晶格（lattice): 晶體中作週期性排列的原子

9 如何表示晶體？ 畫圖法 數學式 c b a m、n、p為正整數

10 常見的正立方體晶體結構 簡單立方(SC) 如釙（Po） 原子間最近距離為a，稱為晶格常數（lattice constant）
體心立方(BCC) 如鈉、鎢 面心立方(FCC) 如鋁、銅、金、鉑

11 最鄰近距離 = 面對角線的一半 最鄰近距離 最鄰近距離=體對角線的一半

12 2.2.2 鑽石結構：元素半導體的晶體結構 可看成兩個fcc結構
俯視圖 堆積密度為34%

13 閃鋅礦結構：如GaAs，類似鑽石結構。 可看成一個fcc結構原子為As，另一個往體對角線移動1/4的fcc結構原子為Ga。

14 2.2.3 晶面以及米勒指數 ABCD面：有4個原子 ACEF面：有5個原子 比較兩個面，原子密度不同 不同平面之晶體性質不同

15 晶面以及米勒指數（續） 例：截距為1，3，2 倒數為1，1/3，1/2 倒數比 6：2：3 此平面之米勒指數為 （623）
米勒指數為描述晶面的方法 找出晶面在x軸y軸 z軸的截距（以晶格常數a為單位） 將截距取倒數，再求出最小簡單整數比h:k:l 則(hkl)即為此平面的米勒指數 例：截距為1，3，2 倒數為1，1/3，1/2 倒數比 6：2：3 此平面之米勒指數為 （623）

16 立方體結構中重要的平面

17 米勒指數其他相關表示 (hkl) 表示x截距為負
[hkl] 表示晶面的方向，在立方晶體上，[hkl]正好垂直於(hkl)晶面。

18 2.3 基本晶體成長技術

19 柴可斯基拉晶儀

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21 2.4 價鍵(valence bonds) 共用電子的結構稱為共價鍵 (covalent bonding)，兩原子（相同元素，如矽，或相似電子外層結構的不同元素，如GaAs）的原子核對共用電子的吸引力使的兩個原子結合在一起。

22 由鍵結理論解釋電子電洞的生成 低溫時：電子束縛於四面體晶格中，無法傳導。
高溫時，熱振動打斷共價鍵，形成導電電子，原來之電子空缺（稱為電洞）可由鄰近原子填滿，好似電洞在移動。

23 2.3 能帶(energy band) 能階 氫原子模型—1913年波爾提出 主要假設：電子繞氫原子核做圓周運動，其角動量量子化(L=nħ)
結果算出單一個氫原子的電子能量為 其中 m0為自由電子質量、q為電子電荷、 ε0為自由空間的介電係數，n為正整數，稱為主量子數。 能階 重要概念：能量不是連續的，而是分立的

24 多個氫原子的電子能量 兩個氫原子靠近到有交互作用時，原來n=1的能階變成兩條（很靠近）
同理，很多氫原子集合在一起，原來的能階分裂成很多條，看起來就變成能帶

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27 半導體能階/能帶模型 N個矽原子靠在一起，3s及3p軌道產生交互作用及重疊，平衡時分裂為兩個能帶，形成矽晶體
導電帶 能隙 價電帶 形成允許能帶和禁制能帶

28 2.5.2 E-p 圖 – 另一種分析，可看出允許能帶和禁制能帶。
晶體中的電子: 將m0改成mn(有效質量），左式仍可用。 自由電子： 允許能帶 禁制能帶 退縮k空間圖形 (or k)

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30 有效質量（Effective mass） 圖形越瘦，曲率越大，有效質量越小。 反之，越胖，有效質量越大。

31 有效質量 晶體中的電子和自由電子的差異---晶體中的電子，受到原子核週期性位障的影響。 如何描述晶體中電子的能量？ 借用自由電子的能量公式：
將其中的自由電子質量修正成 mn（電子在晶體中的有效質量），則以上之公式 變為 即可以簡單關係式表示晶體中，受到原子核週期性位障的影響的電子之能量。

32 如何求有效質量？ 可由能帶圖（E-P圖或E-k圖）的曲率倒數求得。 曲線越”胖”，曲率越小，有效質量越大。
反之，曲線越”瘦”，曲率越大，有效質量越小。 如左圖： A晶體中電子之E-k 圖曲線的曲率大於B晶體中電子的曲率 所以A晶體中電子的有效質量小於B晶體中的電子

33 Si與GaAs的E-p圖 導電帶能量最低點和價電帶能量最高點之p不同 導電帶能量最低點和價電帶能量最高點之p相同 0.19mo

34 Direct Semiconductor & Indirect Semoconductor
直接半導體:如GaAs，電子在價電帶與導電帶中躍遷，不需要改變動量。所以光電子產生的效率高，適合作為半導體雷射或其他發光元件的材料。 間接半導體：如Si，電子在價電帶與導電帶中躍遷，需要遵守動量守恆。所以躍遷發生除了所需能量外，還包括與晶格的交互作用。

35 以E-P圖解釋半導體中的導電電子與電洞 電子對導電性的影響 : T =0oK 時，電子填滿價電帶，無法自由移動，故無法導電。
(b) T > 0oK 時，部分電子具有足夠的熱能，可以躍遷至導電帶。而導電帶的電子可自由移動，故可導電。

36 電洞對導電性的影響 : (b) 而價電帶的空位，可視為帶正電的載子，稱為電洞。
　　(a) T > 0oK 時，部分電子具有足夠的熱能，可以躍遷至導電帶。而價電帶的電就有空的能態(states)，所以價電帶的電子也可以自由移動，幫助導電。 (b) 而價電帶的空位，可視為帶正電的載子，稱為電洞。

37 絕緣體與半導體的能帶圖 例：(室溫下) GaAs：EG~1.42eV 例： Si：EG~1.12eV SiO2：EG~8eV
Ge：EG~0.66eV 例： SiO2：EG~8eV 鑽石：EG~5eV

38 金屬的能帶圖 導電帶部分填滿（如銅） 導電帶與價電帶重疊（如鋅或鉛）

39 2.6 本質(Intrinsic)半導體的載子(carrier)濃度
Thermal equilibrium：無外界激發，如光、壓力、電場。 本質半導體：雜質量遠小於因熱能產生之電子電洞對的半導體，一般指的是未摻雜質的半導體。 如何求得電子濃度n(單位體積的電子數）？ 能量介於E與E＋dE間的電子濃度 N  導電帶的電子濃度為：（假設Ec=0）

40 N n(E)：單位能量，單位體積的電子數。 N(E) (Density of states)：能量在E到E＋dE間的單位體積允許能階數。
F(E) (費米機率分佈）：能量為E的狀態，被電子填滿的機率。 即：在單位體積內，電子的數目為電子可能存在的狀態乘上這些狀態被填滿之機率。 N

41 Fermi- Dirac Disribution F(E)
統計力學上用來表示某些粒子的機率分佈，晶體中的電子就滿足這種分佈 能量為E的能量狀態被電子佔據的機率 其中 k為波茲曼常數，k = x10-23J/K T為絕對溫度，單位為K。 一般在室溫（300K）下，kT = eV EF為費米能量。

42 費米能量（Fermi Energy） T = 0K時，能量低於EF的能量狀態被電子佔據的機率為1，能量高於EF的能量狀態被電子佔據的機率為0。 EF 小於費米能量的能態

43 費米能量（Fermi Energy）（續）
T > 0K時，比能量EF小一點之能態上的電子有機會躍升到能量大於EF的能態 能量為EF的能態被電子佔據的機會為1/2

44 費米能量（Fermi Energy）（續）
能態為空的機率分佈 即：形成電洞的機率 被電子佔據的機率分佈

45 費米能量（Fermi Energy）（續）
若E-EF>3kT，則費米機率分佈可以以波茲曼分佈來近似。 若E-EF< 3kT，則費米機率分佈為 可看成電洞佔據能量為E之能態的機率

46 費米能量的位置 若EF靠近Ec，則由圖可知電子濃度會大於電洞濃度 曲線下面積為電子濃度 曲線下面積為電洞濃度 此二圖相乘

47 費米能量的位置（續） 若EF靠近Ec，則由圖可知電洞濃度會大於電子濃度

48 費米能量的位置（續） 若EF在Ec與Ev的中間，則由圖可知電洞濃度會等於電子濃度。 熱平衡狀態下，本質半導體之電子濃度應等於電洞濃度，

49 電子濃度n之公式推導 p. 34~36 導電帶中的有效態位密度 價電帶中的有效態位密度

50 熱平衡狀態下，本質半導體之載子濃度討論 熱平衡狀態下，本質半導體之電子濃度應等於電洞濃度。以ni表示本質半導體的電子及電洞濃度，即n = p = ni 整理可得

51 熱平衡狀態下，本質半導體之載子濃度討論（續）
熱平衡狀態下，本質半導體的載子濃度受到溫度、有效質量以及能隙的影響。 室溫下：矽的ni = 9.65 x 109cm-3 砷化鎵的ni=2.25 x 106cm-3

52 溫度越高，ni越大。 以GaAs為例: 300K的ni為2.26×106cm-3， 450K的ni為3.85×1010cm-3 Eg越大，ni越小。

53 2.7 施體與受體（Donors and Acceptors）
摻有摻質(dopant)的半導體稱為外質半導體（extrinsic） 摻質可分為施體(donor)及受體(acceptor) 摻入五價雜質 摻入三價雜質

54 摻質(dopant)對半導體能帶圖的影響
以施體為例，好像一個帶正電的施體離子以及一個受束縛的電子。電子要脫離束縛，跳升至導電帶的能量稱為解離能。

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56 摻質(dopant)對半導體能帶圖的影響
Shallow impurity level： 游離能小於3kT的摻質能階。 Deep impurity level: 游離能大於或等於3kT。

57 2.7.1 Nondegenerate (非簡併）semiconductors
Nondegenerate: 雜質濃度較小，彼此距離較遠，其所產生的電子（或電洞）沒有交互作用。此時之EF與Ec(或EF與 Ev)的距離大於3kT。

58 載子濃度與費米能階 N type：n > p，EF在能隙中央之上方。 P type：p > n ，EF在能隙中央之下方。
本質半導體之公式仍可用（nondegenerate時）： n p乘積仍為常數（相同材料，溫度下）： （mass-action law）

59 可整理成： 又 同理： 可得 與本質半導體有相同的結果 整理：熱平衡時，加入摻質不會改變電子電洞濃度的乘積，但會使費米能階朝向Ec或Ev移動

60 載子濃度與摻質濃度 若摻質為淺層施體，在室溫下即有足夠的能量游離出電子，假設施體完全解離，電子密度n = ND（施體濃度）。
同理，若摻質為淺層受體，在室溫下即有足夠的能量使得價電帶的電子跳升到受體能階，產生電洞。假設受體完全解離，電洞密度p = NA（受體濃度）。 式(25)及式(27)

61 非本質半導體費米能階的位置 N型半導體： P型半導體 溫度越高，Ec與EF的距離越大。 施體濃度越高，Ec與EF的距離越小。
溫度越高，Ev與EF的距離越大。 受體濃度越高，Ev與EF的距離越小。

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65 電中性（Charge neutrality）--可推導出主要載子濃度與摻質濃度之關係
補償（compensated）半導體：同時含有施體及受體的半導體。 若施體濃度大於受體濃度，則為n型補償半導體。 若受體濃度大於施體濃度，則為p型補償半導體。 若施體濃度等於受體濃度，則為完全補償半導體。（和本徵半導體特性相同） 電中性條件：正電荷密度等於負電荷密度。

66 N型半導體的載子濃度 假設完全解離： 解之可得 （多數載子） （少數載子）

67 P型半導體的載子濃度 假設完全解離： 解之可得 （多數載子） （少數載子）

68 主要載子濃度公式之討論： 本質半導體（NA=0，ND=0）：n = p = ni 非本質半導體：
（NA-ND）>>ni時：p ≈ (NA-ND) n =ni2/ (NA-ND) 或（ND-NA）>>ni時： n ≈ (ND-NA) p =ni2/ (ND-NA) ni >>│ND-NA│時： n ≈ p ≈ ni2 即在很高的溫度下，所有的半導體都變成跟本質半導體一樣。

69 Freeze-out region

70 2.7.2 Degenerate (簡併）semiconductors
Degenerate：雜質濃度較高，其所產生的電子（或電洞）開始有交互作用。以施體為例，原來形成之施體能階會分裂為帶狀，若施體濃度夠高，施體能帶會與傳導帶重疊。此時之EF與Ec(或EF與 Ev)的距離小於3kT。當傳導帶的電子濃度超過Nc時，費米能階就會進入傳導帶內。 Bandgap narrowing effect：高濃度的摻雜也會使能隙變小，見式(37)

71 計算載子濃度時，可用波茲曼分佈做近似。 計算載子濃度時，不可用波茲曼分佈做近似。

72 Degenerate:

73 結 論 3.1 在鑽石晶格中，每個矽原子 (有 4 個價電子) 都被 4 個矽原子包圍，構成 4 個共用電子對的共價鍵，因此在價電層形成了 8 個電子為一組。在閃鋅結構 (例如砷化鎵) 中，部分的電子是共用的 (共價鍵)，部分的電子 (離子鍵) 是由鎵轉移到砷。 3.2 在晶體中，電子波函數重疊，可以得到各種原子軌域的線性組合(LCAO)。共價層電子波函數的結合或對稱的組合，在 (幾乎) 填滿的價帶，(幾乎) 都會形成連續的允許能帶，由能隙隔開導帶和價帶，(幾乎) 是空的導帶具有較高能量狀態，與導帶相對應的是反鍵結或反對稱的線性組合。在價帶中，空的電子能態可以被視為正電荷載子 (電洞)，而在導帶中，被填滿的能態視為負電荷 (電子)。

74 3.3 如果能隙大，我們可以得到絕緣體; 如果能隙較小 (~1 eV)，可以得到半導體，如果能隙為零，那就是導體 (金屬)。
3.4 簡單的鍵結圖繪製出在導帶 (向上增加) 電子的能量是位置的函數。能帶的邊緣相對應於位能，與能帶邊緣的距離為動能。在價帶中的電洞，其能量越往下會越高。 3.5 載子的能量可以被畫成是波向量 k (正比於速度或動量) 的函數，而得到直接 (導帶的最小值剛好就在價帶最大值的上面) 或間接的 (E, k) 能帶結構。(E, k) 圖的曲率反比於載子的等效質量 m*。m* 是載子與週期晶格位能互動的結果。

75 3.6 在無摻雜的半導體中，有本質電子 (或電洞) 濃度 ni，這是由於熱能在價帶和導帶間 (或斷鍵) 所產生-復合而來。如果我們將矽原子以具有五個價電子的施體雜質代替，可以貢獻出導帶電子 n (＝Nd+)；同樣的，受體可以創造出電洞 p。 3.7 電子數 n 是有效的能態密度 (DOS) 和費米-迪拉克 (FD) 分佈的乘積，接下來由導帶的底端積分到頂端所得到。拋物線的能帶結構可以得到拋物線的能態密度 (DOS)。費米-迪拉克 (FD) 方程式是電子能態的平均佔有機率。電子濃度表示為能帶邊緣的等效能態密度和在 Ec 處的費米-迪拉克佔有機率的乘積。相同的觀念亦可適用在電洞 p。np 的乘積在平衡時是一個常數 (ni平方)。

76 3.8 電子在固體中進行隨機布朗 (random Brownian) 運動，擁有平均能量為 kT。電子在電場中漂移 (隨機運動)，其速度為遷移率乘以電場，在低電場時速度以歐姆定律增加，而在高電場時速度會呈現飽和的狀態。漂移電流正比於載子濃度乘以速度。帶負電的電子漂移的方向與電場相反，而且電流與電子運動方向亦相反。帶正電的電洞漂移的方向與電場相同，而且電流與電洞運動方向相同。 3.9 載子的遷移率是由散射所控制，而散射是由於晶格振動 (聲子) 或離子化的雜質所形成的週期性晶格位能的影響造成。載子遷移率和濃度可以由霍爾效應和電阻率的量測得知。