In our classes, all the mobile phones should be switched off !

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1 In our classes, all the mobile phones should be switched off !

2 上课啦！ 本学期共计上课时间17周(每周一, 3学时), 国庆10.4放假1次, 期中考试1次11.15， 课外上习题课3次，正式课内课时15次. The class is begin!

3 高 等 几 何 (江苏省一类精品课程) 主讲教师：周兴和 (数学与计算机科学学院党委书记、教授) 教材：周兴和编《高等几何》, 科学出版社
高 等 几 何 (江苏省一类精品课程) 主讲教师：周兴和 (数学与计算机科学学院党委书记、教授) 教材：周兴和编《高等几何》, 科学出版社 (校优秀教材一等奖, 江苏省高校精品教材) (“十一五”国家级规划教材) 参考书：见教材中所列：“参考书目” 2006级数学与应用数学专业

4 课程主页: 数科院网站/精品课程/高等几何(密码: 0602)
如何与我联系？ 仙林校区 S3五楼529，数科院书记室 随园校区 400号二楼，数科院书记室 课程主页: 数科院网站/精品课程/高等几何(密码: 0602) 答疑时间 每周一晚上 16:00－18:00 S3 – 529室

5 综合大学：空间解几＋仿射几何、射影几何, 一个学期
课 程 概 论 一、高等几何的内容 高等几何 数学与应用数学专业主干课程之一 数学分析 实变函数 前三高 高等代数 后三高 近世代数 高等几何 点集拓扑 综合大学：空间解几＋仿射几何、射影几何, 一个学期 射影几何 主要介绍平面射影几何知识(教材前四章) 高等几何 几何基础 本课程 ……

6 课 程 概 论 一、高等几何的内容 什么是射影几何？ 直观描述 鸟瞰下列几何学 欧氏几何 仿射几何 射影几何 十九世纪名言
课 程 概 论 一、高等几何的内容 什么是射影几何？ 直观描述 鸟瞰下列几何学 欧氏几何 仿射几何 射影几何 十九世纪名言 一切几何学都是射影几何

7 (统称不变性，如距离、角度、面积、体积等)
欧氏几何(初等几何) 研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数量 (统称不变性，如距离、角度、面积、体积等) 对图形作有限次的平移、旋转、轴反射的结果 搬动 正交变换 研究图形的 正交变换不变性的科学 欧氏几何

8 仿射几何 平行射影 透视仿射变换 有限次平行射影的结果 仿射变换 仿射几何 仿射不变性 研究图形的 仿射变换不变性的科学
比如——平行性、两平行线段的比等等 仿射不变性

9 射影几何 中心射影 透视变换 有限次中心射影的结果 射影变换 射影几何 射影不变性 研究图形的 射影变换不变性的科学
比如——几条直线共点、几个点共线等等 射影不变性 射影变换将彻底改变我们原有的几何空间观念！

10 课 程 概 论 一、高等几何的内容 二、高等几何的方法 综合法 解析法 本课程
课 程 概 论 一、高等几何的内容 二、高等几何的方法 给定公理系统(一套相互独立、无矛盾、完备的命题系统)，演绎出全部内容 综合法 形、数结合，利用代数、分析的方法研究问题 解析法 本课程 以解析法为主，兼用综合法

11 课 程 概 论 一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的 学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换知识，接受变换群思想
课 程 概 论 一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的 学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换知识，接受变换群思想 训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数学审美意识，提高数学修养 新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何和其他学科，提高观点，加深理解，举一反三

12 课 程 概 论 一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的 四、计划及注意点
课 程 概 论 一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的 三维线性空间的商空间上的几何学 其他课程无可替代的数学思想与方法 代数角度 本课程 亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学 几何角度 四、计划及注意点 周学时5，一个学期，第一～四章；(第五章：自学阅读材料) 把好入门关，牢固掌握基本概念，反复思考，认真体会。 线性代数＋齐次性 必须充分预习，带着问题听课；有选择地做笔记。

13 课 程 概 论 一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的 四、计划及注意点 课程学习成绩计算办法

14 2、必须提前10分钟到达教室，不得在课堂内吃东西。
特别约定 1、本课程的课堂内，手机一律关闭。 2、必须提前10分钟到达教室，不得在课堂内吃东西。 第一课时结束 以上约定适用于师生双方，请相互监督。

15 本教材中的科学错误、印刷错误 课堂随时提问、课后答疑提问 回报方式 印象调整加分
特别征集 本教材中的科学错误、印刷错误 特别鼓励 课堂随时提问、课后答疑提问 第一课时结束 回报方式 印象调整加分

16 特为一年级而增加的准备知识, 教材上没有, 可适当做笔记
第0章 几何变换概论 特为一年级而增加的准备知识, 教材上没有, 可适当做笔记 一、对应与变换 1. 集合之间的对应(关系、映射) 定义0.1. 设A, B为两个集合, f 是一种将A中的元素与B中的元素配对的法则. 则称f 为集合A与B之间的一个关系, 记作 设在f 下A中的元素a配对为B中的元素b. 则称b为a在f 下的一个像, 称a为b在f 下的一个原像, 或者说a是b在逆关系f -1 下的像, 即有 注：关于关系的严格和详细论述, 请参阅任一本《集合论》.

17 第0章 几何变换概论 一、对应与变换 1. 集合之间的对应(关系、映射)
第0章 几何变换概论 一、对应与变换 1. 集合之间的对应(关系、映射) 定义0.2. 设f 为集合A到B的一个关系. 如果对于集合A中的每一个元素, f 都惟一地指定集合B中的一个元素与之配对, 则称f 为从集合A到B的一个对应(或映射).在f 下A中的元素a对应于B中的元素b的事实常记为 或者 军训时，列队报数，就是从队伍中的同学的集合A到非负自然数的对应。 注：对应也称为函数.

18 第0章 几何变换概论 一、对应与变换 1. 集合之间的对应(关系、映射)
第0章 几何变换概论 一、对应与变换 1. 集合之间的对应(关系、映射) 定义0.3. 设f 为集合A到B的一个对应. 如果对于集合A中的元素a≠b, 都有f (a)≠f (b), 则称f 为单射(injection),也称f 为从A到B内的对应. 军训报数的对应是单射而不是满射。全班同学A到男孩、女孩的集合是满射。 定义0.4. 设f 为集合A到B的一个对应. 如果集合B中的每一个元素都是A中某个元素的像, 则称f 为满射(surjection), 也称f 为从A到B上的对应.

19 第0章 几何变换概论 一、对应与变换 1. 集合之间的对应(关系、映射)
第0章 几何变换概论 一、对应与变换 1. 集合之间的对应(关系、映射) 定义0.5. 设f 为集合A到B的一个对应. 如果f 既是单射又是满射, 则称f 为一个双射(bijection),也称f 为一个一一对应. 初等几何中，我们讨论两个三角形的全等、相似，实际上是在两个三角形的元素之间建立了一个双射，然后讨论在这样的双射下，符合何种条件就是全等或相似。 注：在几何学中, 我们一般需要使用双射. 在以下的讨论中, 我们约定所论的对应都是双射. 定理0.1. 一个双射f 的逆对应f -1也是一个双射.

20 第0章 几何变换概论 一、对应与变换 2. 对应的乘积(复合)
第0章 几何变换概论 一、对应与变换 2. 对应的乘积(复合) 定义0.6. 设f 为集合A到B的一个对应, g 为集合B到C的一个对应. 则由此可确定集合A到C的一个对应h, 称h 为f 与g的乘积. 记作g◦f , 即 注：设a∈A, b∈B, c∈C, 而且f(a)=b, g(b)=c. 则

21 The class is over. Goodbye!
第0章 几何变换概论 今 天 作 业 温习课堂内容, 阅读思考题 正好三课时 The class is over. Goodbye! 课件作者：南京师大数科院周兴和