4.1.2 圆的一般方程 南溪中学 周翔.

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1 圆的一般方程 南溪中学 周翔

2 复习 圆的标准方程: 特征： 直接看出圆心与半径 指出下面圆的圆心和半径： (x-a)2+(y-b)2=r2 (x-1)2+(y+2)2=2
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)

3 动动手 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 - 2 = + r b a by ax y x 结论：任何一个圆方程可以写成下面形式
把圆的 标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得 - 2 = + r b a by ax y x 由于a, b, r均为常数 结论：任何一个圆方程可以写成下面形式 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0

4 思考 2.下列方程表示什么图形？ （1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x-4y+5 =0；
1.是不是任何一个形如 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示 的曲线是圆呢？ 2.下列方程表示什么图形？ （1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x-4y+5 =0； （3）x2+y2-2x+4y+6=0.

5 动动脑 把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 配方可得： (1) 当D2+E2-4F>0时,表示以（ ）
为圆心，以( ) 为半径的圆. (2) 当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解x=-D/2 y=-E/2，表示一个点（ ）.

6 所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程

7 圆的一般方程： x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0) （2）标准方程易于看出圆心与半径
圆的一般方程与标准方程的关系： （1）a=-D/2，b=-E/2，r= （2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点： ①x2与y2系数相同并且不等于0； ②没有xy这样的二次项

8 圆的一般方程与二元二次方程的关系 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 二元二次方程表示圆的一般方程 圆的一般方程： 与二元二次方程：
A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0的关系: x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0) 1. A ＝ C ≠ 0 二元二次方程表示圆的一般方程 2. B=0 3. D2＋E2－4F＞0

9 练习 判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径 (1) x2+y2-2x+4y-4=0 是 (2) 2x2+2y2-12x+4y=0
圆心（1，-2）半径3 (2) 2x2+2y2-12x+4y=0 圆心（3，-1）半径 是 (3) x2+2y2-6x+4y-1=0 不是 (4) x2+y2-12x+6y+50=0 不是 (5) x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是

10 练习 已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于
2. x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的方程的充要条件是

11 举例 例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ， M2（4，2）的方程，并求出这个圆 的半径和圆心坐标.

12 举例 例2. 已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线. 直译法 y . x
（-1，0） A(3,0) M(x,y) 直译法

13 举例 例3. 已知线段AB的端点B的坐标是 （4，3），端点A在圆（x+1）2+y2=4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程.

14 练习 圆x2+y2+8x-10y+F=0 与x轴相切,则这个圆截y轴所得的弦长是
4. 点A(3,5) 是圆 x2+y2-4x-8y-80=0 的一条弦的中点,则这条弦所在的直线方程是

15 3. 已知：一个圆的直径的两端点是A(x1，y1) 、B(x2，y2).
证明：圆的方程是 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 解法一： 求圆心、求半径 • P 解法二： 直译法 P点满足PA⊥PB A B • C 即

16 4.已知点P是圆x2+y2=1上的一个动点，又A(3，0)，求
(1)线段AP的中点M的轨迹方程； (2)分 的比为 的点Q的轨迹方程. 【小结】求一个随着已知曲线(伴随曲线)上的动点(伴随点) 而动的点(生成点)的轨迹(生成曲线)方程用的方法 叫 代点法 课堂练习

17 知识结构 知a、b、r （x-a)2+(y-b)2=r2 展开 配方 圆的方程 D2+E2 －4F>0 x2+y2+Dx+Ey+F=0

18 小结 1. 本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为 2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系 一般方程 标准方程(圆心,半径)
3. 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? (用配方法求解)

19 小结 4. 要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式: ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.