第一节 二次型的矩阵表示 一、二次型的定义 二、二次型的矩阵表示 三、非退化线性替换 四、矩阵的合同.

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1 第一节 二次型的矩阵表示 一、二次型的定义 二、二次型的矩阵表示 三、非退化线性替换 四、矩阵的合同

2 在解析几何中， 一、二次型的定义 1.问题的引入 当坐标原点与中心重合时， 一个有心二次曲线的一般方程是 可以选
为了便于研究这个二次曲线的几何性质， 择适当的角度θ作转轴（反时针方向转轴）

3 把方程化成标准方程。 在二次曲面的研究中也有类似的情况 . 从代数的观点看， 所谓化标准方程就是对二次齐 次多项式， 作适当的非退化线性替换, 使它化为只含 平方项的多项式。

4 2、二次型的定义 设P为数域， n个文字 的二次齐次多项式 ① 称为数域P上的一个n元二次型．

5 二次齐次多项式 ( 二次型 ) : 三次齐次多项式 ( 三次型 ) :

6 例如 就是有理数域上的一个三元二次型 。 注： 1) 为了计算和讨论的方便,式①中 　　 的 系数写成 　　 2) 式① 也可写成

7 二、二次型的矩阵表示 1) 用和号表示 约定①中 由 有 ②

8 2) 用矩阵表示

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10 二次型可表示为 因为 所以 矩阵A称为二次型 的矩阵.

11 例1 二次型 用矩阵可表示为 注： 1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即 2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即 若 　且 　　　　，则

12 若 A, B都 是实对称矩阵, 且对应的二次型 相同，即
证 先取x为单位向量 ei = (0, ,1, ,0)T (第i个分量为1, 其余为 0)，代入上式得 aii=bii (i=1, 2, , n) 再取 x 为向量 eij = (0, ,1, ,1,  ,0)T (第 i, j个分量为1,其余为0)，代入上式得 aij=bij (ij) 所以 A=B

13 例2 1）写出二次型 所对应的矩阵。 2）写出矩阵 所对应的二次型。

14 解 1）原二次型所对应的对称矩阵为： 2）矩阵对应的二次型为：

15 例3 指出下列二次型的矩阵 　1）实数域R上的2元二次型 2） 实数域R上的3元二次型 3）复数域C上的4元二次型 它们的矩阵分别是：

16 三、非退化线性替换 1、定义： 是两组文字, ，关系式 ③ 称为由　　　　　　　　　　　的一个线性替换;

17 则③可表示为　　　　　　 　④ 若 则④为非退化线性替换. 注： 1）③或④为非退化的 为可逆矩阵 . 2）若 为非退化线性替换，则有非退化　　　　　 线性替换

18 2、二次型经过非退化线性替换仍为二次型 事实上， ———— ———— 即，B为对称矩阵. 是一个 　　　　　 二次型.

19 四、矩阵的合同 　1、定义：设 　，若存在可逆矩阵 使 ，则称A与B合同. 注: 1）合同具有 反身性: 对称性：

20 传递性: 即C1C2可逆. 2）合同矩阵具有相同的秩. C可逆 3）经过非退化线性替换，新二次型矩阵与 原二次型矩阵是合同的.

21 例2　证明：矩阵A与B合同，其中 一个排列. 证：作二次型

22 对　　　　　　　作非退化线性替换 则二次型化为（注意 　的系数为 　） 故矩阵A与B合同.