1.2.2函数的表示法 圆的一般方程 （第一课时） 高二数学组 平度九中---张杰

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1 1.2.2函数的表示法 4.1.2 圆的一般方程 （第一课时） 高二数学组 平度九中---张杰 2012-9-14
圆的一般方程 （第一课时） 高二数学组 平度九中---张杰 山东省平度市第九中学高二数学组

2 复习回顾 圆的标准方程 是什么？ 其中圆心的坐标和半径各是什么？ 山东省平度市第九中学高二数学组

3 指出下面圆的圆心和半径： (x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=25 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
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4 思考1： 把圆的标准方程 展开可得到一个什么式子？ 思考2：方程 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
是二元二次方程，一般形式是什么？ 山东省平度市第九中学高二数学组

5 思考3： 山东省平度市第九中学高二数学组

6 新课探究： 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在什么条件下表示圆？
形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）的方程表示圆，它叫做圆的一般方程。 表示圆， （1）当 时， （2）当 时， 表示点 （3）当 时， 不表示任何图形 山东省平度市第九中学高二数学组

7 思 考 4 圆的标准方程与一般方程各有什么优点？ 1、标准方程易于看出圆心与半径,几何特征明显。 2、一般方程突出形式上的特点：
思 考 4 圆的标准方程与一般方程各有什么优点？ 1、标准方程易于看出圆心与半径,几何特征明显。 2、一般方程突出形式上的特点： x2与y2系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项； 它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显。 山东省平度市第九中学高二数学组

8 思 考 5 圆的一般方程与圆的标准方程有什么联系？ 一般方程 标准方程(圆心,半径)
思 考 5 圆的一般方程与圆的标准方程有什么联系？ 一般方程 标准方程(圆心,半径) ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解. 山东省平度市第九中学高二数学组

9 例题1： 判断下列方程能否表示圆的方程, 若能，写出圆心与半径 （1）x2+y2-2x+4y-4=0 是 是
圆心（1，-2）半径3 是 （2）2x2+2y2-12x+4y=0 圆心（3，-1）半径 不是 （3）x2+2y2-6x+4y-1=0 不是 （4）x2+y2-12x+6y+50=0 （5）x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是 山东省平度市第九中学高二数学组

10 练习1：方程 表示的图形是一个圆，求a的取值范围. 解：∵Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ＞０ ∴ａ２＋４ａ２－４（２ａ２＋ａ－１）＞０ 整理得
3ａ２＋4ａ－4<０ 解得－２＜ａ＜ 山东省平度市第九中学高二数学组

11 例4 求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标.
解：设所求圆的方程为： y 方法一： A(1,1) A(4,2) 几何方法 x 山东省平度市第九中学高二数学组

12 例4 求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标.
解：设所求圆的一般方程为： 方法二： 待定系数法 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则 ï ì í î F=0 D+E+F+2=0 4D+2E+F+20=0 ï ì í î F=0 D=-8 E=6 解得 所求圆的方程为: x2+y2-8x+6y=0 即（x-4）2+（y+3）2=25 山东省平度市第九中学高二数学组

13 即（x-4）2+（y+3）2=25 例4 求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标.
解：设所求圆的标准方程为： （x-a）2+（y-b）2=r2 方法三： 待定系数法 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上 （4-a）2+（2-b）2=r2 ï ì í î （a）2+（b）2=r2 （1-a）2+（1-b）2=r2 ï ì í î a=4 b=-3 r=5 解得 所求圆的方程为： 即（x-4）2+（y+3）2=25 山东省平度市第九中学高二数学组

14 [小结]: 注意:求圆的方程时,要学会根据题目 条件,恰当选择圆的方程形式: ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用 圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆 的一般方程用待定系数法求解. (特殊情况时,可借助图象求解更简单) 山东省平度市第九中学高二数学组

15 例3 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标为（x0,y0） y A B M x o 由于B点坐标为（4，3），M为AB的中点，所以 整理得 又因为点A在圆上运动，所以A点坐标满足方程，又有（x0+1）2+y02=4 所以（2x-4+1）2+(2y-3)2=4 整理得 所以，点Ｍ的轨迹是以（　 ）为圆心，１为半径的圆 山东省平度市第九中学高二数学组

16 [课堂小结] (1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为 (2)[圆的一般方程与圆的标准方程的联系] 一般方程 标准方程(圆心,半径)
(用配方法求解) (3)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式: ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解. 山东省平度市第九中学高二数学组