第4章 原子結構 Atomic Structure

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1 第4章 原子結構 Atomic Structure
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2 內容單元 4.1 核原子 4.2 電子軌域 4.3 原子光譜 4.4 波耳原子 4.5 能階和光譜 4.6 對應原理 4.7 原子核運動
4.8 原子激發 4.9 雷射 附錄

3 4.1 核原子 The Nuclear Atom 原子內部具有很大的空間
西元1898年時，英國的物理學家湯姆森(J.J. Thomson)提出一個假設，認為原子其實只是一團帶正電的物質，而電子埋在這些物質裡面，好像水果蛋糕裡面的葡萄乾一樣（圖4.1）。 拉塞福散射公式 (4.1)

4 4.1 核原子 The Nuclear Atom(續)
原子核的尺寸 最小距離 (4.2)

5 圖4.1　湯姆森原子模型。拉塞福散射實驗證實其謬誤。

6 圖4.2　拉塞福散射實驗。

7 圖4.3　拉塞福原子模型。

8 圖4.4　拉塞福散射。代表單位面積上以散射角到達屏幕的入射粒子；代表反方向散射的粒子數。這個實驗的結果符合原子核模型推論的曲線。

9 中子星 原子核的密度大約為　　　　　　 ，相當於每立方英吋40億噸的重量。在9.11節會討論到，中子星為一種被壓縮至其組成原子內的質子和電子都已經融合到中子上，這是一種物質在承受巨大壓力下最穩定的狀態。中子星的密度相當於原子核的密度：一個中子星相當於把一個或兩個太陽的質量塞進一個半徑大約只有10 km的圓球中。如果地球的密度變成這樣，將會縮小到可以塞入一個大公寓中。

10 4.2 電子軌域 Electron Orbits 原子的行星模型及其謬誤
拉塞福原子模型經過實驗的強力佐證，描繪的是一個緊密、厚實的正電原子核，在相對遙遠的外圍環繞著相當數量的電子，使整個原子保持電中性。 電子速度 氫原子的總能量 (4.3) (4.4) (4.5)

11 範例4.1 實驗顯示需要13.6 eV的能量才能將氫原子的質子和電子分離；也就是說，氫原子的總能量為。求出氫原子的軌道半徑和電子速度。 答
因為 　　　　　　　　 ，由 (4.5) 式 求出的原子半徑和利用其他方法得到的答案一致。電子速度可利用式 (4.4) 求得： 因為　　 ，在氫原子的情況下可以忽略特殊相對論的效應。

12 圖4.5　氫原子內的力平衡。

13 圖4.6　因為原子內的電子在加速度運動過程中會向外輻射能量，根據古典物理的觀念，電子會以螺旋形的軌跡快速地墜落至原子核。

14 古典力學的矛盾 以上的分析結果是基於牛頓運動定律和庫侖定律——古典力學的兩大棟樑——並且按照實驗的觀察，原子會處於穩定狀態。然而，這樣的分析並不能滿足電磁學理論——古典力學的另一個棟樑——所預測加速運動中的電荷會以電磁波的形式輻射出能量。電子沿著曲線軌道加速行進，因此會持續地失去能量並且很快地以螺旋形的軌跡向內墜落至原子核（圖4.6）。 但實際上原子並沒有崩潰。這個矛盾進一步說明了前兩章所看到的問題：在巨觀世界裡適用的物理定律，在微觀世界裡不一定成立。

15 拉塞福的分析是有效的嗎？ 拉塞福推導散射公式的時候，運用了相同的物理公式，因此在原子穩定性的問題上招致令人沮喪的挫敗。
拉塞福建構的電子在遙遠的距離圍繞中心原子核的原子模型，實際上並不是原子真正的結構模型。 為了驗證古典力學至少是近似正確的結果，首先考慮在速度為　　　　　的時候，粒子的德布羅依波長為 此波長的粒子最接近金原子核的距離為　　　　　，是德布羅依波長的六倍。因此，在整個作用過程中將粒子視為古典粒子恰好是合理的。

16 4.3 原子光譜 Atomic Spectra 每個元素具有特定的線光譜
當原子氣體或蒸氣壓力小於大氣壓力時，是適合被激發的狀態，通常以施加電流的方式達成，而產生的輻射光譜僅包含一些特定的波長。 光譜系。萊曼系包含了紫外光的部分，波長的公式為 巴默 雷德堡常數 萊曼 (4.6) (4.7)

17 4.3 原子光譜 Atomic Spectra 紅外光的部分，已發現三個族系的光譜線，由以下的公式可以得到波長 帕申 布萊克 方德
(4.8) (4.9) (4.10)

18 圖4.7　理想的光譜儀。

19 圖4.8　一些氫原子、氦原子以及汞原子的主要輻射光譜線。

20 圖 4.9　一個元素的吸收光譜中的暗線對應到其輻射光譜中的亮線。

21 圖4.10　氫原子的巴默系光譜。譜線為紅色，譜線為藍色，和譜線為紫色，其他的譜線則在紫外光範圍附近。

22 圖4.11　氫原子的光譜族系。每個族系中的波長可以簡單的公式表示。

23 4.4 波耳原子 The Bohr Atom 原子中的電子波動 第一個成功的原子理論由波耳在1913年所提出。 軌道上的電子波長
穩定軌道條件 波耳原子的軌道半徑 波耳半徑 (4.11) (4.12) (4.13) (4.14)

24 圖4.12　氫原子中電子的軌道對應到一個可以頭尾相連的德布羅依電子波。

25 圖4.13　線圈的一些振動模態。在每個情況下線圈的圓周長正好為波長的整數倍。

26 圖4.14　非整數倍波長的情況不能持續存在，因為會產生破壞性干涉。

27 4.5 能階和光譜 Energy Levels and Spectra
當電子由一個能階躍遷至另一個較低能量的能階時會釋放出光子 能階 (4.15)

28 範例4.2 一個電子和一個基態的氫原子相撞並且將它激發到 的受激態。在這個非彈性碰撞（動能不守恆）中氫原子獲得多少能量？ 答
一個電子和一個基態的氫原子相撞並且將它激發到　　　的受激態。在這個非彈性碰撞（動能不守恆）中氫原子獲得多少能量？ 答 在式 (4.15) 氫原子由量子數初始狀態到量子數最終狀態的能量變化為 在本題，　　　, 　　　，且　　　　　　 ，因此

29 範例4.3 在實驗室裡已經可以製造出處於高量子數狀態的氫原子並且可在太空中觀察到。這些氫原子稱為雷德堡原子。(a) 求出一個半徑為 mm的波耳氫原子軌道量子數。(b) 在這個狀態下的氫原子能量為何？ 答 (a) 由式 (4.14) 且　　　　　　　， (b) 由式 (4.15)， 雷德堡原子明顯地非常脆弱且容易被游離，這也是為什麼在自然的情況下，只有接近真空的環境才可以發現它們的存在。雷德堡原子光譜分布範圍至無線電波頻帶，它們的存在便是透過無線電波望遠鏡所觀測到的資料而確定的。

30 圖4.15　氫原子的能階。

31 原子世界中的量子化 如果初始（能量較高）狀態的量子數為 ，最終（能量較低）狀態的量子數為 ，我們推斷 氫原子光譜 光子頻率為 (4.16)
如果初始（能量較高）狀態的量子數為　，最終（能量較低）狀態的量子數為　，我們推斷 光子頻率為 氫原子光譜 (4.16) (4.17) (4.18)

32 圖4.16　光譜線起源於能階之間的遷移。圖示為氫原子的光譜系。當時，電子為自由狀態。

33 範例4.4 求出氫原子巴默系光譜中最長的波長，且對應到 的譜線。 答
求出氫原子巴默系光譜中最長的波長，且對應到　　的譜線。 答 巴默系中最終狀態的量子數為　　　。在這個譜系中波長最長的譜線對應到的是能量差最小的兩個能階。因此初始能階必為 位於可見光波長內的紅光波段邊緣。

34 4.6 對應原理 Correspondence Principle
量子數越大時，量子物理越接近古典物理 依照電磁理論，一個繞行圓形軌道的電子所輻射出來的電磁波頻率會等於運轉的頻率和運轉頻率之諧波頻率（也就是運轉頻率的整數倍）。 運轉頻率 光子頻率 穩定軌道的條件 (4.19) (4.20) (4.21)

35 範例4.5 (a) 求出和的波耳軌道運轉頻率。(b) 當電子由的軌道落到的軌道時放出的光子頻率為何？(c) 基本上電子落到較低能階並放出光子之前停留在受激態的時間大約為秒。在這段時間內電子在的波耳軌道上轉了幾圈？ 答 (a) 由式 (4.19) (b) 由式 (4.17) 這個頻率介於之間。 (c) 電子運轉圈數為 地球需要8.23百萬年才能繞行太陽這麼多圈。

36 4.7 原子核運動 Nuclear Motion 原子核質量影響光譜線的波長
目前為止我們都假設軌道上的電子運轉時，氫原子核（質子）是靜止不動的。 減縮質量 考慮原子核運動後修正的能階 (4.22) (4.23)

37 圖4.17　氫原子中的電子和原子核均圍繞著一個共同的質量中心運轉（沒有按比例！）。

38 範例4.6 正電子原子(positronium atom)為一個正電子(positron)和一個電子相互繞行的系統。試比較正電子原子的光譜線波長與一般氫原子光譜線的波長。 答 在這裡兩個粒子具有相同的質量m，因此縮減質量為 m為電子質量。由式 (4.23) 可得正電子「原子」的能階為 這表示雷德堡常數——式 (4.18) 中的常數項——在正電子原子中為一般氫原子的一半。因此正電子原子光譜線所有的波長均為氫原子光譜線波長的兩倍。

39 範例4.7 介子(muon)是一種不穩定的基本粒子，質量為電子質量(　　)的207倍，帶一單位的正電或負電，一個負介子(　　)可以攫取一個原子核而形成一個介子原子。(a) 一個質子攫取一個負介子。求出這個原子的第一波耳軌道半徑。(b) 求出這個原子的游離能。 答 (a) 此處，　　　　，且　　　　　，所以減縮質量為 　　　依照式 (4.13) 對應到　　的軌道半徑為 　　　其中 　　　　　　　　　。因此對應到減縮質量的半徑為

40 範例4.7(續) 介子比電子靠近質子，大約為186倍，因此一個包含介子的氫原子會遠小於一般的氫原子。
(b) 由式 (4.23)，　　且　　　　　　，可以得到 因此游離能為2.53 keV，為一般氫原子的186倍。

41 4.8 原子激發 Atomic Excitation
原子如何吸收和釋放能量 圖4.18　碰撞激發。一些能量被原子吸收，使原子達到受激態。之後原子釋放出一個光子並回到基（正常）態。

42 圖4.19　輻射和吸收光譜的起源。

43 圖4.20　吸收光譜中的暗線不是完全黑暗的。

44 法朗克－赫茲實驗 圖4.21　法朗克－赫茲實驗裝置圖。

45 圖4.22　法朗克－赫茲實驗的結果，顯示出水銀蒸氣的臨界電壓。

46 4.9 雷射 The Laser 如何產生完全一致的光波 雷射是一種可以產生具有下列卓越特性光的位置。 幾乎為單色光。
具有同調性，也就是完全相同的相位（圖4.23）。 雷射光幾乎完全不會散開。 能量很強，到目前為止比起任何其他的方法產生的光束都強得多。

47 圖4.23　雷射產生的光波具有相同的頻率（單色光）和相位（同調）。光束彼此之間非常的平行，經過很長的距離後散開的程度仍然非常微小。

48 圖4.24　在產生輻射以前，原子相對於一般能階而言，在亞穩態能階可以停留較長的時間。

49 圖4.25　在一個原子中兩個能階之間的遷移，可以藉由受激吸收、自發輻射以及受激輻射而產生。

50 圖4.26　雷射的原理。

51 圖4.27　紅寶石雷射。為了使受激輻射效應超過受激吸收效應，紅寶石棒中半數的正三價鉻離子必須處於亞穩態。這種雷射在每一次氙氣燈閃光後會產生一個紅光脈衝。

52 圖4.28　四能階雷射。

53 圖4.29　氦氖雷射。像這樣的四能階雷射，連續運作是可能的。氦氖雷射常被用來讀取條碼。

54 啾頻光脈衝放大(Chirped Pulse Amplification)
脈衝雷射是功率最強的雷射，可以產生週期很短的雷射光。1996年，脈衝週期小於百萬兆分之一秒的出現已經跨越了霹瓦(petawatt, 　　)的臨界點――不是每一個脈衝都有這麼大的能量，而是其傳遞能量的速率大約超過了整個美國電力網路傳輸速率的1000倍。 一種巧妙的方法稱為啾頻光脈衝放大(chirped pulse amplification)實現了這個可能，並且在過程中不會對雷射裝置造成破壞。 半導體雷射對於光纖傳輸線來說是理想的光源，通常用銅線傳輸的電子訊號則依照標準編碼格式轉換成一連串的脈衝。

55 附 錄 拉塞福散射 Rutherford Scattering 散射角 (4.24) (4.25) (4.26) (4.27) (4.28)

56 附 錄(續) 拉塞福散射公式 截面積 將 (4.30) 式的b代入 散射角 (4.29) (4.30) (4.31) (4.32)

57 範例4.8 求出能量為7.7 MeV的　粒子束入射到厚度為　　　　　的金箔片時，散射角大於　　的比例。這些數據為蓋格和馬士丹當初使用的數據。做個比較，人類的毛髮直徑大約為　　　 。 答 首先，利用下式求出單位體積金箔內所含的金原子數n 因為金的密度為　　　　　　，金原子質量為197 u，　　　　　　　　　，可得 金的原子序為79，動能為7.7 MeV相當於　　　　　 且　　　　；從這些數據可以得到被散射的角度大於　　以上的　粒子比例f為 大約只有0.007% 。一個這麼薄的金箔對於粒子來說幾乎是透明的。

58 圖4.30　拉塞福散射。

59 圖4.31　拉塞福散射圖的幾何關係。

60 圖4.32　散射角隨著撞擊參數的增加而遞減。

61 圖4.33　在拉塞福實驗中，偵測到的散射　粒子是介於　與　　　　的散射角之間。