相对论 基础 爱因斯坦 习题总目录 结束.

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1 相对论 基础 爱因斯坦 习题总目录 结束

2 相对论习题 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 5-7 5-8 5-9 5-10 5-11 5-12 5-13 5-14 5-15 5-16 5-17 5-18 5-19 5-20 5-21 5-22 5-23 习题总目录

3 5-1 一个质点，在惯性系K′中作匀速圆 周运动，轨道方程为： a ´ x = + y = ´ z 试证：在惯性系K中的观察者测得该质
2 x = + y = z 试证：在惯性系K中的观察者测得该质 点作椭圆运动，椭圆的中心以速度u 移动。 结束 目录

4 解：设K′系相对K系以速度 v 沿x 轴正向运 动，由洛仑兹坐标变换
t = x v 2 1 c z y a 2 x = + y z 代入式 2 y = + t x v 1 c a 2 y = + t x v 1 c a ( ) 在K系中的观察者测得该质点作椭圆运 动，椭圆的中心以速度v 移动。 结束 目录

5 5-2 一观察者测得运动着的米尺长0.5m， 问此尺以多大的速度接近观察者？ 结束 目录

6 解：由长度收缩公式： l v 2 1 c = 1 0.5 c 2 = l v 0.08c = 2.6×108 m/s 结束 目录

7 5-3 一张宣传画5m见方，平行地贴于铁 路旁边的墙上，一高速列车以 2×108m/s 速度接近此宣传画，这张画由司机测量将成 为什么样子？
结束 目录

8 解：由长度收缩公式： 2 3 5 3.7m ( ) l v 1 c = h l = 5 画面的尺寸为 5×3.7 m2 结束 目录

9 5-4 远方的一颗星以0.8c的速度离开我 们，接受到它辐射出来的闪光按 5昼夜的周 期变化，求固定在此星上的参考系测得的闪 光周期。 结束
目录

10 τ τ τ τ ,还包括光信号传递的时间vτ/c ，即： 解：固定在此星上的参照系测得的闪光 周期为固有时间τ0
时间Δt =5既包括地球上测得的闪光周期 τ ,还包括光信号传递的时间vτ/c ，即： τ t Δ = v c + t Δ = v c τ + 1 ( ) = t Δ v c + 1 ( ) 2 τ = v 2 1 c 5 1 0.8 2 = 1+0.8 = 3 5 在此星上测得的闪光周期为5/3昼夜 结束 目录

11 5-5 假设宇宙飞船从地球射出，沿直线 到达月球，距离是3.84×108m，它的速率 在地球上被量得为0.30c。根据地球上的时
5-5 假设宇宙飞船从地球射出，沿直线 到达月球，距离是3.84×108m，它的速率 在地球上被量得为0.30c。根据地球上的时 钟，这次旅行花多长时间？根据宇宙飞船所 做的测量，地球和月球的距离是多少？怎样 根据这个算得的距离，求出宇宙飞船上时钟 所读出的旅行时间？ 结束 目录

12 ′ 解：设地球至月球的距离为H0,飞船的速度为v,地 球上的观察者测得飞船从地球到月球的时间为Δt 3.84×108 H t v Δ =
= 0.3×3.0×108 4.27s 在飞船上测量，地球到月球的距离H为 H = v 2 1 c = 3.84×10 2 1-0.3 3.67×108m = 在飞船上测量，飞船的旅行时间为： ′ 3.67×108 H t v Δ = 0.3×3.0×108 4.08s 结束 目录

13 τ τ0由时间膨胀公式可得: t Δ = v 1 c 4.08s 4.27 1 0.3 = 飞船的飞行时间也可以这样求得：对于飞船
上的观察者来说，从地球出发及到达月球这两事 件都发生在飞船上，他所测得的时间为固有时间 τ0由时间膨胀公式可得: τ t Δ = v 2 1 c 4.08s 4.27 1 0.3 2 = 结束 目录

14 5-6 在K系中观察到两个事件同时发生在 x 轴上，其间距离是1m，在K′系中观察这 两个事件之间的空间距离是2m，求在K′系
中这两个事件的时间间隔。 结束 目录

15 向运动,K系中观测到两事件同时发生Δt =0， 空间间隔Δx =1m；K′系中观测到这两事 件发生的时间间隔为Δt′，空间间隔Δx′
解：设 K′系相对于K 系以速度v 沿x 轴正 向运动,K系中观测到两事件同时发生Δt =0， 空间间隔Δx =1m；K′系中观测到这两事 件发生的时间间隔为Δt′，空间间隔Δx′ =2m。 v Δ x 2 1 c = t = Δ t v c 2 3 = 1 2 = Δ x v c 解得： 结束 目录

16 发生。若K′系相对于K系沿 x 轴负向运动， 则 ,Δt′= 0.577×10-8 s
= v 2 1 c ( ) = × 2 c 3 1 0.577×10-8s = 所以在K′系中观测两事件相隔0.577×10-8s 发生。若K′系相对于K系沿 x 轴负向运动， 则 ,Δt′= 0.577×10-8 s = c 2 3 v 结束 目录

17 同一地点，第二事件发生在第一事件以后2s。 在另一相对K系运动的K′系中观察到第二事 件是在第一事件3s之后发生的，求在K′系
中测量两事件之间的位置距离。 结束 目录

18 τ τ τ Δ x = 解：由已知条件 2s = t Δ t Δ = ´ 3s t Δ = v 1 c ´ 由时间膨胀公式： c ( ) =
Δ x = 解：由已知条件 2s = τ t Δ t Δ = 3s τ t Δ = v 2 1 c 由时间膨胀公式： c ( ) = 1 2 τ t Δ 3 5 v 可得： v Δ x 2 1 c = t = × 2 3 c 5 ( ) = 6.71×108 m 所以在K′系测得两事件发生的空间间隔为： 6.71×108 m 结束 目录

19 度运动，那么实验室坐标系中测量的π+介子寿命为多长？ （2）π+介于在衰变前运动了多长距离？
5-8 π+介于是一不稳定粒于，平均寿命 是2.6×l0-8 s（在它自己参考系中测得）． （1）如果此粒于相对于实验室以0.8c的速 度运动，那么实验室坐标系中测量的π+介子寿命为多长？ （2）π+介于在衰变前运动了多长距离？ 结束 目录

20 τ τ 解：由已知条件可得π+介子衰变的固有 时间为： 2.6×10-8 s = (1)在实验室中观测到π+介子的寿命为： t Δ = v
(1)在实验室中观测到π+介子的寿命为： τ t Δ = v 2 1 c = 2.6×10-8 1 0.8 2 4.33×10-8 s = (2)在实验室坐标系中观测到π+介子的飞 行距离为： L t v Δ = 0.8×3.0×108×4.33×108 10.4m = 结束 目录

21 5-9 地球上一观察者，看见一飞船A以速 度2.5×l03 m／s从他身边飞过，另一飞船B 以速度2.0×l08m／s 跟随A飞行。求：
（1）A上的乘客看到B的相对速度； （2）B上的乘客看到A的相对速度。 中 国 航 天 A 中 国 航 天 B 结束 目录

22 解：(1)设地球为K系，飞船A为K′系。由 已知条件可知K′系相对K系是速度为
= v 2.5×108 m/s 中 国 航 天 A B K′ K u v x 飞船B 在K系中的速度为 = u x 2.0×108 m/s 飞船B 在K′系中的速度为 1 u = x v c 2 2.5×108 = 2.0×108 9.0×1016 ×2.5×108 1 = 1.125×108 m/s 结束 目录

23 (2) 设地球为K系，飞船B为K′系。由 已知条件可知K′系相对K系是速度为 = v 2.0×108 m/s K u K′ v ´
中 国 航 天 A B K u x K′ v 飞船A 在K系中的速度为 = u x 2.5×108 m/s 飞船A在K′系中的速度为 1 u = x v c 2 2.0×108 = 2.5×108 9.0×1016 ×2.0×108 1 = 1.125×108 m/s 结束 目录

24 5-10 二只宇宙飞船相对某遥远的恒星以 0.8c 的速率向相反方向移开。试用速度变换 法则证明，二飞船的相对速度是1.6c/1.64，
5-10 二只宇宙飞船相对某遥远的恒星以 0.8c 的速率向相反方向移开。试用速度变换 法则证明，二飞船的相对速度是1.6c/1.64， 并与们利略变换所得的结果进行比较。 结束 目录

25 (2) 设恒星为K系，飞船A为K′系。由已知 条件可知K′系相对K系是速度为：
= v 0.8c 飞船B 在K系中的速度为： = u x 0.8c 飞船B在K′系中的速度为： 1 u = x v c 2 = + 0.8c ( ) 2 c 1 0.98c 而根据咖利略速度变换 u = x v > c = 0.8c 1.6c 结束 目录

26 5-11 一原子核以0.5c 的速度离开一观察 者而运动。原子核在它运动方向上向前发射 一电子，该电子相对于核有0.8c 的速度；此
原子核又向后发射了一光子指向观察者。对 静止观察者来讲， （1）电子具有多大的速度； （2）光子具有多大的速度。 结束 目录

27 解：设观测者为K系，原子核为K′系。 电子在K′系中的速度为： 0.8c = u ´ K′系相对K系是速度为： = v 0.5c
x K′系相对K系是速度为： = v 0.5c 电子在K 系中的速度为： + 1 u = x v c 2 + × = 0.8c 0.5c 0.8 1 0.5 0.93c 根据光速不便原理，光子的速度为 c 。 结束 目录

28 5-12 一光源在K′坐标系的原点0 ″ 发出一光线。光线在 x′y′平面内与x′ 轴的交角为θ′。设 K′相对K以速度
u 沿 x 轴运动。试求在 K 坐标中看到这 光线的传播方向。 结束 目录

29 解：设该一光线在K系 x 轴的交角为θ。 光子在K′系中的速度为： ´ q c cos = u sin q c ´ = u ´ = u
y = u z 在K 系中观察 + 1 u = x v c 2 + 1 v c 2 u x q cos = ( ) + 1 u = y v c 2 x g sin q c v 2 1 + u x = = tg q u y x sin q c v 2 1 + cos = 结束 目录

30 问电子速度为多少？（m。为电子的静止质量）
结束 目录

31 2 m = v 1 c 解： 2 1 = v c 0.866 v c = 2 3 结束 目录

32 于是求得此棒线密度为ρ=m/l 。假定此棒 以速度 v 在棒长方向上运动，此人再测棒的 线密度应为多少，若棒在垂直长度方向上运
动，它的线密度又为多少？ 结束 目录

33 ρ ρ ρ l ´ = v 1 c 解：(1) = ´ l m m ´ = v 1 c = v 1 c m = ´ l v 1 c ( )
2 1 c 解：(1) ρ = l m m = v 2 1 c = ρ v 2 1 c m ρ = l v 2 1 c ( ) 解得： 结束 目录

34 ρ ρ ρ l ´ = (2) = ´ l m m ´ = v 1 c m = ´ l v 1 c 解得： = v 1 c 2 2 2 结束
目录

35 如果不考虑相对论效应，它的速度又是多少？ 这两个速度间有什么关系？讨论之。
5-15 设有一静止质量为 m0 、带电荷量 为 q 的粒子，其初速为零，在均匀电场E 中 加速，在时刻 t 时它所获得的速度是多少？ 如果不考虑相对论效应，它的速度又是多少？ 这两个速度间有什么关系？讨论之。 结束 目录

36 E t q = m v 解： m v = 1 c E t q m v = 1 c = + E t q c m v = + E t q c m
= 2 1 c 2 E t q m v = 1 c = + 2 E t q c m v = + E t q c 2 m v 若不考虑相对论效应 E t q = m v E t q = m v 结束 目录

37 5-16 设电子的速度为 (1)1.0×106 m/s; (2) 2.0×108m/s,试计算电子的动能各是多
少？如用经典力学公式计算电子动能又各为 多少？ 结束 目录

38 解： (1)按《相对论》计算 当电子的速度为v1=1.0×106 m/s时的动能 = v 1 c m E m c = 1 ( ) = v c
2 1 c m E m c k1 1 2 = 1 ( ) = v 2 c m = ×0.511×106×1.602×10-19 ( ) 1 2 300 = 4.55×10-19 J 结束 目录

39 当电子的速度为v2=1.0×108 m/s时的动能 = v 1 c m E m c = 1 ( ) = v c m = =
E m c k2 2 = 1 ( ) = v 2 c m = ×0.511×106×1.602×10-19 ( ) 1 2 3.0 2.0 = 2.79×10-14 J 结束 目录

40 (2)按《经典力学》计算 m v E = = 2 1 = 4.55×10-19 J m v 1 E = = 2 1 =
E k1 = = 2 1 × 9.1×10-31× (1.0×106 )2 = 4.55×10-19 J m v 2 1 E k2 = = × 9.1×10-31× (1.0×108 )2 2 1 = 1.82×10-14 J 结束 目录

41 5-17 两个氖核组成质量数为4、原子量 为4.0015u 的氦核。试计算氦核放出的结合 能。 结束 目录

42 E H Δ + 解： 氘核静止质量 m = 2.0136u 其中u为原子质量单位 1u = 1.658×10-27 kg = E Δ mc
4 解： 氘核静止质量 m = 2.0136u 其中u为原子质量单位 1u = 1.658×10-27 kg 2 = E Δ mc = 1.602×10-19 ×1.658×10-27× 9.0×1016 2×2.0136 4.0015 ( ) = 23.9×106 eV 23.9 MeV 结束 目录

43 5-18 太阳由于向四面空间辐射能量， 每秒损失了质量 4×109kg。求太阳的辐 射功率。 结束 目录

44 1 P = 2 Δ mc t 解： 4×109×(3×108) = 2 = 3.6×1026 J/s = 3.6×1026 W 结束 目录

45 5-19 在什么速度下粒子的动量比非相 对论动量大两倍？在什么速度下的动能等于 它的静止能量？ 结束 目录

46 2 m v = 1 c (1)由题意 解： 0.08c = v 2.6×108 m/s 解得 = m v 1 c E m c = (2) =
= 1 c (1)由题意 解： 0.08c = v 2.6×108 m/s 解得 = m v 2 1 c E m c k 2 = (2) = E m c 2 E k = 当 时 ( ) = v 2 1 c m 解得 0.866 v c = 2 3 结束 目录

47 5-20 一个电子从静止开始加速到0.1c 的 速度，需要对它作多少功？速度从0.9 c 加速 到0.99 c 又要作多少功？ 结束 目录

48 = m c A 解：(1) = v 1 c m ( ) = v 1 c m ( ) = 1 0.1 = 2.57×103 eV keV
A 解：(1) = v 2 1 c m ( ) = v 2 1 c m ( ) = 1 0.1 2 ×0.511×106 = 2.57×103 eV keV 2.57 结束 目录

49 (2) = m c A ( ) = v 1 c m = = 2.45×103 eV keV 2.45 ( ) 1 0.99 0.9
( ) = 1 0.99 2 ×0.511×106 0.9 = 2.45×103 eV keV 2.45 结束 目录

50 衰变为μ+子和中微子ν，三者的静止质量分 别为mπ，mμ和 0。求μ+子和中微子的动 能。
5-21 设有一π+介子，在静止下来后， 衰变为μ+子和中微子ν，三者的静止质量分 别为mπ，mμ和 0。求μ+子和中微子的动 能。 结束 目录

51 n 解： m c 介子的静能为 设 P 中微子的动量为 m c E 介子的静能为 动能为 E 中微子 的动能为 P 介子的动量为
π m c 2 介子的静能为 设 + P n 中微子的动量为 m c 2 E k + 介子的静能为 动能为 n E k 中微子 的动能为 P m + 介子的动量为 由能量守恒和动量守恒可得 π E m c k 2 = + n = E k 2 P c n P = m n 2 ( ) + E m c k = P 4 结束 目录

52 ( ) + E m c = P (1) (4) (3) (2) 2 = P c E + 由式(3)可得： = P E c 由式(4)可得：
k = P 4 π n (1) (4) (3) (2) 2 = P m c E k + 由式(3)可得： n = P E k c 由式(4)可得： = E k n 2 m c + 代入式(4)可得： 将上式代入式(1)可得： 2 m c E k + π = 结束 目录

53 2 m c E + = 经整理后可得： = m c ( ) E 代入式(1)可得： = E m c ( ) π π π n k k k 2
结束 目录

54 θ（见题图）．证明： 5-22 一中性π介子相对于观察者以速 度 v= kc 运动，后衰变为两个光子。两光子
5-22 一中性π介子相对于观察者以速 度 v= kc 运动，后衰变为两个光子。两光子 的运动轨迹与π介子原来方向成相等的角度 θ（见题图）．证明： （1）两光子有相等的能量； （2） cosθ = k 。 结束 目录

55 π q y x v g 解： 由动量守恒和能量守恒得： n q h m v cos = + k c + n h m c = k sin =
2 1 解： 由动量守恒和能量守恒得： n q h m v 1 cos = + k 2 c + n h 1 2 m c = k sin = q n h 1 + c 2 结束 目录

56 (1) (2) (3) 由式(2)可得： 所以两光子能量相等 v = k c 把 及 代入式(1)、(3)可得： n q h m cos =
cos = + k 2 c sin (1) (2) (3) n 1 2 = 由式(2)可得： 所以两光子能量相等 v = k c 把 及 代入式(1)、(3)可得： n 1 2 n q h m cos = k 2 1 c n h m c = k 2 1 = k q cos 结束 目录

57 5-23 质量为m0 的一个受激原子，静止 在参考系 K 中，因发射一个光子而反冲， 原子的内能减少了ΔE，而光子的能量为 hν。试证： m
c 2 = n h ( ) E Δ 1 结束 目录

58 ´ m 解：设反冲原子的静质量为 速率为 v 由动量守恒、能量守恒及已知条件可得： ´ + n h = m c v 1 (1) E Δ =
解：设反冲原子的静质量为 速率为 v 由动量守恒、能量守恒及已知条件可得： + n h = m c 2 v 1 (1) E Δ = m c 2 (3) c = n h m v 2 1 (2) 由式(3)可得： E Δ = m c 2 令 β v c = 结束 目录

59 ´ m 将 代入式(2)可得： ( ) + n h 1 E Δ = m c ´ m 将 及上式代入式(2)可得： = n h ( ) + E
将 代入式(2)可得： ( ) + n h 2 1 β E Δ = m c m 将 及上式代入式(2)可得： ( ) = + n h E Δ m c 2 = n h ( ) + 2 E Δ m c 经整理后得： m c 2 = n h ( ) E Δ 1 结束 目录

60 习题总目录

61 π τ π » . ò ρ ¹ a x = t ´ v 1 c 1 u = v c ´ t = x ´ v 1 c + + + + + +
2 1 c 1 u = x v c 2 t = x v 2 1 c + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x d t x d t v 2 1 c = = = = 1 β 2 = = = = = = = = = = = = m/s v 2 1 c 2.6×108 × × × × × × × x y z × × A B C I J D E F G H K L M N O P × × × × × 2 1 a b c d e o p f g h i j k l m n r s t u v ( ) π ρ τ ( ) ( ) ò m φ π 2 a q g ( ) β a b c d 2 ( ) 1 3 ( ) o Δ Σ d x y z ( ) ≥ ≤ i j k sin cos . v 2 m A m 1 2 T M A v 2 ∵ ∴ > < 1 2 3 4 5 6 7 8 9

62 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 1516 17 18 19 20 21 22 23 13 24

63 5-24 假定观察者o测得两个事件相距 3.6×108米、相隔2秒发生。发生这两个事件 之间的固有时间是多少？

64 π τ π » . ò ρ ¹ a v x t ´ ´ x v t + c x t ´ = = + + + + v + + + + v +
2 x t = 2 2 = + + 2 + + v + + + + v 2 + + + + 2 + + + + 1 + + + + 1 + + + + + + + c + + c 2 + + 2 + + + = = = = = = = = = = = = = = = = m/s 2.6×108 × × × × × × × I J x y z × × A B C D E F G H K L M N O P × × × × × 2 1 a b c d e f g h i j k l m n o p r s t u v ( ) π ρ τ ( ) ( ) ò m φ π 2 a q g ( ) β a b c d ( ) 1 3 ( ) o Δ Σ d x y z ( ) ≥ ≤ i j k sin cos . v 2 m A m 1 2 T M A v 2 ∵ ∴ > < 1 2 3 4 5 6 7 8 9

65 5-25 宇宙飞船A和B的静止长度分别是 90米和200米，如两者相向飞行，宇宙飞船A 中的宇航员测定出宇宙飞船B的头部越过A的 长度须 5×10-7秒。这两艘宇宙飞船的相对速 度是多少？若按照B头部的一个宇航员的测 定，通过A的头尾之间的时间间隔是多少？

66 π τ π » . ò ρ ¹ a x = t ´ v 1 c 1 u = v c ´ t = x ´ v 1 c + + + + + +
2 1 c 1 u = x v c 2 t = x v 2 1 c + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x d t x d t v 2 1 c = = = = 1 β 2 = = = = = = = = = = = = m/s v 2 1 c 2.6×108 × × × × × × × x y z × × A B C I J D E F G H K L M N O P × × × × × 2 1 a b c d e o p f g h i j k l m n r s t u v ( ) π ρ τ ( ) ( ) ò m φ π 2 a q g ( ) β a b c d 2 ( ) 1 3 ( ) o Δ Σ d x y z ( ) ≥ ≤ i j k sin cos . v 2 m A m 1 2 T M A v 2 ∵ ∴ > < 1 2 3 4 5 6 7 8 9

67 5-26 O和O ′的相对速度是0.8c 。在 t′=2×10-7秒时，一粒高速子弹由x′= 100m米处射出,该子弹以一恒定速度向负 x′方向飞行，在 6×10-7 s时击中x′原点 的一个靶子。按O的测定，这粒子弹的速度 是多少？飞行了多远？

68 π τ π » . ò ρ ¹ a x = t ´ v 1 c 1 u = v c ´ t = x ´ v 1 c + + + + + +
2 1 c 1 u = x v c 2 t = x v 2 1 c + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x d t x d t v 2 1 c = = = = 1 β 2 = = = = = = = = = = = = m/s v 2 1 c 2.6×108 × × × × × × × x y z × × A B C I J D E F G H K L M N O P × × × × × 2 1 a b c d e o p f g h i j k l m n r s t u v ( ) π ρ τ ( ) ( ) ò m φ π 2 a q g ( ) β a b c d 2 ( ) 1 3 ( ) o Δ Σ d x y z ( ) ≥ ≤ i j k sin cos . v 2 m A m 1 2 T M A v 2 ∵ ∴ > < 1 2 3 4 5 6 7 8 9

69 5-27 一个静质量为m0 、以0.8c 的速 度运动的粒子，与一个静质量为 3m0 、开 始时处于静止状态的粒子发生完全非弹性碰 撞。这样组合的单个物体的静质量是多少？

70 5-28 在海拔100公里的地球大气层中 产生了一个静止能量为140兆电子伏的π+ 介子，这个π+介子的总能量是1.5×105兆 电子伏，竖直向下运动，按它自身参考系 中的测定，它在产生后21×10-8秒衰变。它 将在海平面以上多大高度发生衰变？

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