第十章　图像的频域变换.

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1 第十章　图像的频域变换

2 问题的提出： 人类视觉所感受到的是在空间域和时间域的信号。
但是，往往许多问题在频域中讨论时，有其非常方便分析的一面。例如，空间位置上的变化不改变信号的频域特性。　　　

3 10.1 二维离散Fourier变换 正变换： 二维Fourier变换可以转化为两次一维Fourier变换。
注：这里给出的一维正变换的系数为1。 二维Fourier变换可以转化为两次一维Fourier变换。

4 10.1 二维离散Fourier变换 反变换： 注：逆变换的系数不为1。

5 10.1 二维离散Fourier变换 因为Fourier变换是一种正交变换，所以其正、反变换的系数可以有几种表示形式。
按照严格意义上的正交变换，正、反变换的系数相等，为： 按照计算方便的角度，正、反变换的系数可以按照前面的方式给出，并且正、反变换的系数可以互换。

6 10.1 二维离散Fourier变换 Fourier变换有两个好处： 1）可以得出信号在各个频率点上的强度。
2）可以将卷积运算化为乘积运算。

7 10.2 快速Fourier变换（FFT） 快速Fourier变换的提出，是为了减少计算量。
律，按照其规律整理出适合计算机运算的逻辑 结构。

8 FFT的推导 （分成奇数项和偶数项之和）

9 FFT的推导 （又可分成奇数项和偶数项之和）

10 10.2.1 FFT的推导 = = = = = …… …… FFT的数据变换规律之一是： 1)可以不断分成奇数项与偶数项之加权和。
2)奇数项、偶数项可分层分类。

11 FFT的推导 至此，计算量可减少近一半。

12 10.2.2 FFT的设计思想 首先，将原函数分为奇数项和偶数项，通过不断的一个奇数一个偶数的相加（减），最终得到需要的结果。
加（减）的简单运算的重复。

13 FFT算法 1. 先将数据进行奇、偶分组。 例： 下标为2x 下标为2x+1

14 10.2.3 FFT算法 偶数部分： 奇数部分： 下标用二进制数表示为： 下标用二进制数表示为：
0000，0010，0100，0110，1000，1010，1100，1110 奇数部分： 下标用二进制数表示为： 0001，0011，0101，0111，1001，1011，1101，1111

15 10.2.3 FFT算法 2.对偶数部分进行分层分组排序 第一层下标为： 0 2 4 6 8 10 12 14
第一层下标为： 二进制数为：0000，0010，0100，0110，1000，1010，1100，1110 /2 移位：000，001，010，011，100，101，110，111 偶数组：000，010，100，110 奇数组：001，011，101，111 *2 第一层下标分组为： 0， 4，8，12； 2，6，10，14

16 10.2.3 FFT算法 第二层下标为： 0 4 8 12 二进制数为： 0000， 0100， 1000， 1100 /4 0 2 1 3
第二层下标为： 二进制数为： 0000， 0100， 1000， 1100 /4 移位：00，01，10，11 偶数组：00，10 奇数组：01，11 0 2 1 3 *4 第二层下标分组为： 0， 8； ，12；

17 10.2.3 FFT算法 3. 根据每层偶数组的排序方式，获得奇数组的排序方式。 因为偶数项的系数为f(2x)，奇数项的系数为f(2x+1)
所以由第二层偶数排序： 0， 8， 4，12； 可以得到第一层偶数排序为：0，8，4，12，2，10，6，14； 再根据第一层的偶数排序，获得原始数据的排序为： 0，8，4，12，2，10，6，14，1，9，5，13，3，11，7，15

18 FFT算法 4. 进行分层的奇、偶项相加。 对第二层偶数排序： 0， 8， 4，12； 对上面的结果再进行相加运算： ………

19 FFT算法图示

20 FFT计算例 设对一个函数进行快速Fourier变换，函数在采样点上的值设为：

21 偶数项部分： 奇数项部分： 下标值分别为：000，010，100，110 排序为： 000, 100, 010, 110
排序为： , 100, 010, 110 奇数项部分： 下标值分别为：001，011，101，111 排序为： , 101, 011, 111

22 分成偶数、奇数为（偶数在左，奇数在右）：

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24 按照前面叙述的FFT方法,第1层(4组2个点的运算)：
同理：

25 第2层（2组4个点的运算）： 同理：

26 第3层（1组8个点的运算）：

27 对函数： 按照定义，可得其Fourier变换为： 下面，我们以F3为例验证结果是否正确：

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29 10.3 二维Fourier变换的应用 前面已经提到了Fourier变换有两个好处，即：可以获得信号的频域特性；可以将卷积运算转换为乘积运算。 因此二维Fourier变换的应用也是根据这两个特点来进行的。

30 10.3.1 在图像滤波中的应用 首先，我们来看Fourier变换后的图像，中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。

31 10.3.2 在图像压缩中的应用 变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅值。在小波变换没有提出时，用来进行压缩编码。
在图像压缩中的应用 变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅值。在小波变换没有提出时，用来进行压缩编码。 考虑到高频反映细节、低频反映景物概貌的特性。往往认为可将高频系数置为0，骗过人眼。

32 在卷积运算中的应用 从前面的图像处理算法中知道，如果抽象来看，其实都可以认为是图像信息经过了滤波器的滤波（如：平滑滤波、锐化滤波等 ）。 如果滤波器的结构比较复杂时，直接进行时域中的卷积运算是不可思议的。 Fourier变换可以卷积运算转换为点乘运算，由此简化运算，提高计算速度。

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34 10.4 离散余弦变换（DCT） 问题的提出： Fourier变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。

35 10.4 离散余弦变换（DCT） 正变换： 逆变换： 其中：

36 10.4 离散余弦变换（DCT） DCT变换的应用： 余弦变换实际上是利用了Fourier变换的实数部分构成的变换。
余弦变换主要用于图像的压缩，如目前的国际压缩标准的JPEG格式中就用到了DCT变换。 具体的做法与DFT相似。即高频部分压缩多一些，低频部分压缩少一些。

37 作 业（共1题） 1. 第230页 第1题。

38 Fourier 变换示意图

39 Fourier变换的频率特性

40 Fourier变换的低通滤波

41 Fourier变换的高通滤波

42 基于Fourier变换的压缩 压缩率为：3.3：1 压缩率为：2.24：1 压缩率为：1.7：1 另一幅图像效果

43 基于Fourier变换的压缩 压缩率为：16.1：1 压缩率为：8.1：1 压缩率为：10.77：1