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上 讲 回 顾 近自由电子近似模型 —— 金属中电子受到原子实 周期性势场的作用 —— 假定势场的起伏较小 零级近似
—— 金属中电子受到原子实 周期性势场的作用 —— 假定势场的起伏较小 零级近似 —— 用势场平均值代替原子实产生的势场 周期性势场的起伏量作为微扰来处理 哈密顿量
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根据微扰论，电子的能量本征值 零级近似下电子的波函数和能量本征值 周期性边界条件 (l 为整数) 波函数满足正交归一化 一级能量修正
二级能量修正
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—— 周期场V(x)的第n个傅里叶系数， 对应倒格矢Kn=n*2π/a —— 由晶格的周期性决定的 二级能量修正
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计入微扰后电子的能量
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3) 微扰下电子的波函数 电子的波函数 波函数的一级修正
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计入微扰的电子波函数
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令 可以证明 电子波函数 —— 具有布洛赫函数形式
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电子波函数的意义 i ) 电子波函数和散射波 波矢为k的前进的平面波 平面波受到周期性势场作用产生的散射波 散射波的波矢 相关散射波成份的振幅
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散射波 散射波能量和入射波能量相同时 入射波和散射波的传播方向相反 电子入射波波长 —— 布拉格反射条件在正入射时的结果
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入射波波矢 散射波波矢 散射波成份的振幅 波函数一级修正项 —— 微扰法不再适用了
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ii ) 电子波函数和不同态之间的相互作用 在原来的零级波函数 中，掺入与它有微扰矩阵元的其它零级波函数 —— 它们的能量差越小掺入的部分就越大
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当 时 —— 两个状态具有相同的能量， k和k’态是简并的 —— 掺入的与它有微扰矩阵元的其它零级波函数的部分 变成无穷大,导致了波函数的发散 —— 电子的能量是发散的，非简并微扰法不再适用了
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4) 电子波矢在 附近的能量和波函数 —— 简并微扰法 —— 只考虑影响最大 的状态，忽略其 它状态的影响 状态
4) 电子波矢在 附近的能量和波函数 —— 简并微扰法 —— 只考虑影响最大 的状态，忽略其 它状态的影响 状态 —— 是一个小量 (>0) 周期性势场中，对其有主要影响的状态
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简并波函数 薛定谔方程 考虑到
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分别以 或 从左边乘方程，对 x 积分 利用 线性代数方程 a, b有非零解 能量本征值
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i ) 波矢k离 较远，k状态的能量和状态k’差别较大 —— 泰勒级数展开
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k’ k
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—— k和k’能级相互作用的结果是原来能级较高的k’稍微提高 原来能级较低的k稍微下压(简并微扰修正后能级近似相等)
—— 量子力学中微扰作用下，两个相互影响的能级，总是 原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了 —— 能级间“排斥作用”
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ii ) 波矢k非常接近 ，k状态的能量和k’能量差别很小 —— 泰勒级数展开
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结果分析： k’ 1) 两个相互影响的状态k和k’微扰后，能量变为E+和E-，原来能量高的状态 ，能量提高；原来能量低的状态 能量降低 k
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2) 当 0 时 k’ k —— > 0与 < 0两种情 形下，能级图完全 对称 —— A和C、B和D代表 同一状态 —— 它们是从>0与<0 两个方向，向0 处趋近的共同极限
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能带和带隙（禁带） —— 零级近似下，将电子看作是自由粒 子，能量本征值曲线为抛物线
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电子的k不处于n/a附近时，与k状态相互作用的其它态k’ 的能量与k状态的能量相差大
—— (非简并)微扰情形下 电子的k不处于n/a附近时，与k状态相互作用的其它态k’ 的能量与k状态的能量相差大 —— 周期性势场的微 扰产生的二级能 量修可忽略 —— 抛物线
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—— (简并)微扰情形下 电子的k处于n/a附近时，与k状态相互作用的其它态 k’= -n/a的能量与k状态的能量相同。由于周期性势场 的微扰，能量本征值在 k=±n/a 处断开，能量的突变 为 两个态的能量间隔： —— 禁带宽度
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周期性边界条件: 电子波矢取值 —— 每一个l，对应一个量子态k —— 当N很大时，Ek 视为准连续 自由电子能量本征值 —— 由于晶格周期性势场的影响，晶体中电子的准连续能级分 裂为一系列的能带
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能带的一般性质 能带底部，能量向上弯曲；能带顶部，能量向下弯曲 在远离布里渊区边界，近自由电子的能谱和自由电子的能谱相近
每个波矢k对应一个量子态，当晶体中原胞的数目趋于无限大时，波矢k变得非常密集，这时能级的准连续分布形成了一系列的能带
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2) 禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处—— 布里渊边界
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3) 禁带的宽度 —— 取决于金属中势场的形式 —— 在完整的晶体中，禁带内没有允许的能级
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4) 一维布拉伐格子，能带序号、能带所涉及波矢k的范围和
布里渊区的对应关系 E4 E3 E2 E1
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一维布拉伐格子，能带序号、波矢k和布里渊区对应关系
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5) 每个能带中包含的量子态数目 波矢k的取值 k空间的状态分布密度 每个能带对应k的取值范围 各个能带k的取值数目 —— 原胞的数目 —— 计入自旋，每个能带中包含2N个量子态
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电子波矢和平移算符本征值量子数(简约波矢)的关系
电子波矢 k 平移算符本征值量子数 k (简约波矢，计为 ) —— 第一布里渊区 简约波矢 的取值范围 近自由电子中电子的波矢 —— l 为整数 在一维情形中 —— m为整数
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电子的波函数 可以表示为 —— 晶格周期性函数 将 代入:
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—— 晶格周期性函数 晶体中电子的波函数 —— 在 以外的 ，如果用 来标志，应当通过把 改 变 的倍数，使它们落于 范围内
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用简约波矢来表示能级 —— 电子的能级 —— m为整数，对应于不同的能带
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—— 简约波矢的取值被限制在简约布里渊区，要标志一个状态
需要表明： 1) 它属于哪一个能带（能带标号） 2) 它的简约波矢 是什么？ —— 第一能带位于简约布里渊区 —— 其它能带 可以通过倒格矢移到简约布里渊区 —— 每一个能带在简约布里渊区都有各自的图像，最终得到所 有能带在简约布里渊区的图像
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电子波矢k和简约波矢 的关系
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—— 周期性势场的起伏使得不同能带相同简约波矢 的状态之间的相互影响
—— 对于一般的 （远离布里渊边界）这些状态间的能量相差较大，在近自由电子近似的微扰计算中，采用非简并微扰
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—— 简约波矢 及其 附近，存在两个能量相同或能量相近的态，需要简并微扰理论来计算 —— 结果表明在 和 不同能带之间出现带隙——禁带
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用简约波矢来表示零级波函数 零级波函数 将 代入得到 —— 与用简约波矢表示能带一样，必须指明波函数属于 哪一个能带
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总结：近自由电子模型 (The Nearly Free Electron Model)
假设在周期场中，电子的势能随位置的变化(起伏)比较 小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时， 电子的运动就几乎是自由的。 自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成 小的微扰来处理(也称为弱周期场近似)。 这个模型虽然简单，但却给出周期场中运动电子本征态 的 一些最基本特点。 这个模型得到的结果可以作为简单金属(如：Na, K, Al)价 带的粗略近似。
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