假設檢定之基本概念 單一母體平均數之假設檢定 假設檢定與信賴區間之相關性 兩母體平均數之假設檢定 　

Presentation on theme: "假設檢定之基本概念 單一母體平均數之假設檢定 假設檢定與信賴區間之相關性 兩母體平均數之假設檢定 　"— Presentation transcript:

1 假設檢定之基本概念 單一母體平均數之假設檢定 假設檢定與信賴區間之相關性 兩母體平均數之假設檢定 　

2 單一母體變異數之假設檢定 兩母體變異數之假設檢定 單一母體比例值之假設檢定 兩母體比例值之假設檢定 結論

3 10.1 假設檢定之基本概念(1/13) (一)假設檢定(test of hypothesis)
對母體參數作出一適當的假設，然後根據隨機抽樣 之樣本，利用樣本統計量之抽樣分配來決定接受或 拒絕假設的過程。而假設檢定的第一個步驟便是建 立假設 ，因此以下須定義統計假設。 (二)統計假設(statistical hypothesis) 指對一個或多個母體參數的一個推測。 參見例10.1

4 10.1 假設檢定之基本概念(2/13) 例題 10.1 統計假設依其性質可分為以下兩種 ： 以下為幾個統計假設的例子：
(1)中華沙拉油的平均容量大於3公升。 (2)台灣電腦公司所生產的電腦之不良率小於0.1。 (3)福特汽車公司所生產的Tierra與Mondeo具有相同的汽車耗油率。 前兩個敘述為對單一母體參數之推測，而第三個敘述為兩母體 參數比較之一推測，均可稱為統計假設。 統計假設依其性質可分為以下兩種 ： (1)虛無假設(null hypothesis)：通常為研究者欲推翻之統計假設，即假設檢定中之主要假設，一般以 表之。 (2)對立假設(alternative hypothesis)： 假設虛無假設不成立，即虛無假設之互補假設，一般以 表之。 參見例10.2

5 10.1 假設檢定之基本概念(3/13) 例題 10.2 某手機業者宣稱其手機之平均待機時間為96小時，請問
消費者欲檢定此手機業者之宣稱是否為真，請問該如何 假設？ 【解】 虛無假設 ：平均待機時間大於或等於96小時。 即 。 對立假設 ：平均待機時間小於96小時。即 。

6 10.1 假設檢定之基本概念(4/13) 假設檢定的形式分成以下兩種： 另外，根據樣本統計量所定訂拒絕 範圍的不同，可將
另外，根據樣本統計量所定訂拒絕 範圍的不同，可將 假設檢定的形式分成以下兩種： (1)單尾檢定(one-tailed tests)：當樣本統計量僅在大於某個數 值或小於某個數值之其中一種情形之下拒絕 之檢定。 若拒絕 為樣本統計量大於某個數值時，則此單尾檢定 又稱右尾檢定，反之若小於某個數值時，則稱左尾檢定。 (2)雙尾檢定(two-tailed tests)：當樣本統計量大於某個數值或 小於某個數值均可能拒絕 之檢定。 參見例10.3

7 10.1 假設檢定之基本概念(5/13) 例題 10.3 ； 。 請問上述何者為單尾檢定之假設，何者為雙尾檢定之假設？ 【解】
(1)及(3)為單尾檢定之假設且(1)為左尾檢定之假設。 (3)為右尾檢定之假設。 (2)為雙尾檢定之假設。

8 10.1 假設檢定之基本概念(6/13) 根據要求程度可決定一個拒絕虛無假設的範圍，而
此範圍稱之為臨界域或拒絕域(critical region)。決定 了拒絕域，相對地便產生接受域(acceptance region) 。 以 為例。

9 10.1 假設檢定之基本概念(7/13) 當虛無假設 為真而拒絕 ，稱之為型 I 錯誤。 (三)型 I 錯誤
參見例10.4 參見例10.5

10 10.1 假設檢定之基本概念(8/13) 例題 10.4 一常態母體之變異數為5，今對此母體平均數作以下之假設， ，並決定其拒絕域為 。
，並決定其拒絕域為 。 請問以樣本個數為20之一組樣本所得之樣本平均數來檢定母 體平均數所造成之型 I 錯誤之機率， 值為何？ 【解】

11 10.1 假設檢定之基本概念(9/13) 例題 10.5 承例10.4，若　　時，求造成型II 錯誤之機率，　值。 【解】

12 10.1 假設檢定之基本概念(10/13)

13 10.1 假設檢定之基本概念(11/13) 在假設檢定中，通常事先並不控制β值，而先決定容許犯型
I 錯誤的最大機率α值，即為顯著水準。相對地，在給予對 立假設成立之參數後，1－β則稱為此檢定之「檢定力」 (power of the test)， 此時β值越小，其檢定力越大。 檢定統計假設的兩種方法如下： (1)臨界值法(critical value method)：給定顯著水準α值，然後決 定拒絕域後，再依所得之樣本，計算其樣本之統計量(即為檢定 值)，最後再判定上述檢定值是否落在拒絕域中。 (2)P 值法(P-value method)：在　 為真的條件下，計算由給定之 樣本導致拒絕 的最大機率。不論是單尾或雙尾檢定，若P 值 小於α值，則拒絕虛無假設 ，否則便勉強接受 。

14 10.1 假設檢定之基本概念(12/13)

15 10.1 假設檢定之基本概念(13/13) (五)假設檢定程序 臨界值法：若檢定值落在拒絕域，則拒絕 ，否則便接
(1)建立假設(虛無假設與對立假設)。 (2)選擇檢定之統計量，並給定顯著水準α值。 (3)決定檢定方法(臨界值法或P 值法)，若選擇臨界值法，則 決定拒絕域。 (4)蒐集樣本並計算檢定值。 (5)下結論： 臨界值法：若檢定值落在拒絕域，則拒絕 ，否則便接 受 。 P 值法：計算P 值，若P 值小於 ，則拒絕 ，否則便接

16 10.2 單一母體平均數之假設檢定 (一)常態母體且 已知 (二)常態母體且 未知 (三) 大樣本 (1)左尾檢定 (2)右尾檢定
(一)常態母體且　 已知 (1)左尾檢定 (2)右尾檢定 　 (3)雙尾檢定 (二)常態母體且 　 未知 　 (3)雙尾檢定 (三) 大樣本 　 (1)左尾檢定 (3)雙尾檢定

17 10.2 單一母體平均數之假設檢定(1/7) (一)常態母體且 已知 在常態母體且 已知之條件下，若 為隨機樣本
(一)常態母體且 已知 在常態母體且 已知之條件下，若 為隨機樣本 之平均數，且顯著水準為 ，則以 為檢 定值，其拒絕域與 P 值如下： (1)左尾檢定： 之拒絕域為　　　 ，P 值 　　　 。 (2)右尾檢定： 之拒絕域為　　　 (3)雙尾檢定： 之拒絕域為　　　 ，P 值 　　　 。 參見例10.7

18 10.2 單一母體平均數之假設檢定(2/7) 例題 10.7 某一廠商產品重量之標準差為5公克。今此廠商宣稱其產品的平
均重量恰為250公克，若隨機由該公司抽取16件產品秤其重量， 得其平均數為246公克，請以顯著水準 檢定此廠商宣稱 是否為真？(假設母體具常態分配) 【解】 方法一：臨界值法 step 1 ： step 2 ： 且 　 ，　 以　　　　 為檢定 之統計量 step 3 ： step 4 ： step 5 ：拒絕　，即此廠商宣稱非真。

19 10.2 單一母體平均數之假設檢定(3/7) 承上頁 方法二：P 值法 step 1 與 step 2 同上。 step 3 ：

20 10.2 單一母體平均數之假設檢定(4/7) (1)左尾檢定： 之拒絕域為 (二)常態母體且 未知
(二)常態母體且 未知 若 、 分別為隨機樣本 之平均數與變異數， 且顯著水準為α，以 為檢定值，則其拒絕域 與P 值如下： (1)左尾檢定： 　　　 之拒絕域為　　　 (2)右尾檢定： 　　　 之拒絕域為　　 (3)雙尾檢定： 　　　 之拒絕域為　　 參見例10.8

21 10.2 單一母體平均數之假設檢定(5/7) 例題 10.8 某一廠牌行動電話宣稱其平均重量不超過78公克，今隨機抽
取此廠牌行動電話10支，得其平均重80公克，標準差4公克。 請以顯著水準 來檢定此廠商宣稱是否為真？(假設母 體具常態分配) 【解】 利用臨界值法，得其拒絕域為 其檢定值 勉強接受此廠商之宣稱平均重量不超過78公克 。

22 10.2 單一母體平均數之假設檢定(6/7) (1)左尾檢定： 之拒絕域為 (三)大樣本 在隨機樣本為大樣本之條件下，若 、 為隨機樣本
在隨機樣本為大樣本之條件下，若 、 為隨機樣本 之平均數與變異數，以 或 為檢定值(視 已知與否)，則其拒絕域與P 值如下： (1)左尾檢定： 之拒絕域為　　　 (2)右尾檢定： 之拒絕域為 (3)雙尾檢定： 之拒絕域為　 參見例10.11

23 10.2 單一母體平均數之假設檢定(7/7) 例題 10.11 某個工廠過去所生產之產品平均重量為25公斤，標準差4公斤，
今隨機抽取該工廠產品49件作檢查，得其平均重量為27公斤， 請問假設在標準差未改變條件下，該工廠產品之重量是否有明 顯地改變？ 【解】 假設 ，其檢定統計量　　　　 ， 拒絕域為 而檢定值 因此拒絕　 ，即此工廠產品之平均重量已有顯著地改變 。

24 10.3 假設檢定與信賴區間之相關性 (1/2) 信賴區間之假設檢定決策法則 在常態母體且 已知之條件下，若 為隨機樣本
在常態母體且 已知之條件下，若 為隨機樣本 之平均數且顯著水準為 ，則雙尾檢 定： 之決策法則如下： 參見例10.12

25 10.3 假設檢定與信賴區間之相關性 (2/2) 例題 10.12 請以信賴區間之決策法則重作例10.11。 【解】
假設 為雙尾檢定形式，已顯著 水準 ，因此平均數α之95％之信賴區間為 未包含 ，拒絕 。 　　

26 10.4 兩母體平均數之假設檢定(1/12) 先視樣本為獨立樣本或成對樣本，再進一步地就母體是否
10.4　兩母體平均數之假設檢定(1/12) 先視樣本為獨立樣本或成對樣本，再進一步地就母體是否 為常態分配或大樣本及兩母體變異數已知與否加以討論。 (一)獨立樣本 　 (1)常態母體且變異數已知：若　　　　　 、　　　　　 為取自於已知變異數為　 及　 之兩常態母體之獨立樣 本，且　、　分別表其樣本平均數，以　　　　 為 檢定值，則兩母體平均數假設檢定之拒絕域與P 值如下：　　　　

27 10.4 兩母體平均數之假設檢定(2/12) 承上頁 左尾檢定： 之拒絕域為 ， 右尾檢定： 之拒絕域為 ， 雙尾檢定： 之拒絕域為
10.4　兩母體平均數之假設檢定(2/12) 承上頁 左尾檢定： 之拒絕域為 ， 右尾檢定： 之拒絕域為 ， 　　 雙尾檢定： 之拒絕域為 參見例10.13

28 10.4 兩母體平均數之假設檢定(3/12) 例題 10.13 想瞭解A、B兩條生產線所生產之產品平均重量之差異性，且由過
10.4　兩母體平均數之假設檢定(3/12) 例題 10.13 想瞭解A、B兩條生產線所生產之產品平均重量之差異性，且由過 去經驗得知此兩條生產線產品重量之標準差分別為5公克及6公克， 今隨機從A生產線抽取25件、B生產線抽取36件產品，得其平均重 量分別為95公克、98公克。請以顯著水準 檢定兩生產線平 均重量是否有顯著地差異。(假設兩母體均具有常態分配) 【解】 假設 以P 值法檢定 P值＝0.034<0.05，因此拒絕

29 10.4 兩母體平均數之假設檢定(4/12) (2)常態母體、變異數未知但相等：若 、 為兩
10.4　兩母體平均數之假設檢定(4/12) (2)常態母體、變異數未知但相等：若　　　　 、　　　 為兩 常態母體之獨立樣本，且　、 、 、　 分別表其樣本平均數與 變異數，則以 為檢定值，其中 ，兩母體平均數假設檢定之拒絕域與P 值如下： 左尾檢定： 之拒絕域為 右尾檢定： 之拒絕域為 雙尾檢定： 之拒絕域為

30 10.4 兩母體平均數之假設檢定(5/12) (3)常態母體、變異數未知且不相等：若 、 為
10.4　兩母體平均數之假設檢定(5/12) (3)常態母體、變異數未知且不相等：若　　　　 、　　　 為 兩常態母體之獨立樣本，且　、 、 、　 分別表其樣本平均數 與變異數，以 為檢定值，且 ，兩母 體平均數假設檢定之拒絕域與P 值如下： 左尾檢定： 之拒絕域為 右尾檢定： 之拒絕域為 雙尾檢定： 之拒絕域為 參見例10.14

31 10.4 兩母體平均數之假設檢定(6/12) 例題 10.14 若A公司行銷人員宣稱其產品的容量比B公司至少多10毫升。今
10.4　兩母體平均數之假設檢定(6/12) 例題 10.14 若A公司行銷人員宣稱其產品的容量比B公司至少多10毫升。今 隨機從A、B兩家公司各抽取一組樣本，得其結果如下： 假設兩家公司產品的容量均具常態分配且變異數不相等，請以 顯著水準 檢定A 公司行銷人員之宣稱是否為真？ A B 樣本個數 8 6 樣本平均數 104 120 樣本變異數 32 50

32 10.4 兩母體平均數之假設檢定(7/12) 承上頁 【解】 假設 以臨界值法檢定，其拒絕域為 其中， 檢定值
10.4　兩母體平均數之假設檢定(7/12) 承上頁 【解】 假設 以臨界值法檢定，其拒絕域為 其中， 檢定值 拒絕 ，即A公司行銷人員之宣稱非真。

33 10.4 兩母體平均數之假設檢定(8/12) (4)大樣本：若 、 為兩母體之獨立樣本，且 、 、 、 分別表其樣本平均數與變異數，當
10.4　兩母體平均數之假設檢定(8/12) (4)大樣本：若　　　　 、　　　 為兩母體之獨立樣本，且 　、 、 、　 分別表其樣本平均數與變異數，當 時，以 為檢定值，兩母體平均數 假設檢定之拒絕域與P 值如下： 左尾檢定： 之拒絕域為 右尾檢定： 之拒絕域為 雙尾檢定： 之拒絕域為 參見例10.15

34 10.4 兩母體平均數之假設檢定(9/12) 例題 10.15 一年前從某國中隨機抽取60位學生作智力測驗，得其平均數
10.4　兩母體平均數之假設檢定(9/12) 例題 10.15 一年前從某國中隨機抽取60位學生作智力測驗，得其平均數 為120、標準差20，今再度從此國中隨機抽取80位學生作智力 測驗，得平均數為130、標準差為30。請問根據這些資料是否 可以證明今年此國中之學生智力顯著地高於一年前的這所國 中學生之智力？(顯著水準 ) 【解】 假設

35 10.4 兩母體平均數之假設檢定(10/12) (二)成對樣本 令 為一組成對樣本，且 、 分別表成對樣本資料差 之平均數與
10.4　兩母體平均數之假設檢定(10/12) (二)成對樣本 　 令　　　　　　　　 為一組成對樣本，且 、　 分別表成對樣本資料差　　　　　　 之平均數與 變異數，則兩母體平均數假設檢定之檢定值如下：(　　　　　 (或　 　　 或　　　　 )) (1)若母體為常態、 已知：Z 檢定之檢定值 (2)若母體為常態、 未知：T 檢定之檢定值 (3)若樣本為大樣本、　已知：Z 檢定之檢定值 (4)若樣本為大樣本、　未知：Z 檢定之檢定值 參見例10.16

36 10.4 兩母體平均數之假設檢定(11/12) 例題 10.16 瘦身公司宣稱其顧客平均三個月可瘦身10公斤，今隨機抽
10.4　兩母體平均數之假設檢定(11/12) 例題 10.16 瘦身公司宣稱其顧客平均三個月可瘦身10公斤，今隨機抽 取15 位該公司瘦身者做測量，發現其三個月瘦身前後之體 重如下： 以顯著水準 並假設瘦身前後體重差具常態分配來 檢定此公司之宣稱是否為真？ 前 70　70　82　76　66　76　62　68　72　54　60　92　58　65　74 後 68　62　72　70　48　66　58　42　54　62　57　60　62　65　64

37 10.4 兩母體平均數之假設檢定(12/12) 承上頁 【解】 假設 利用臨界法，可得拒絕域為 而抽樣所得之檢定值
10.4　兩母體平均數之假設檢定(12/12) 承上頁 【解】 假設　　　　　　　　　　　 利用臨界法，可得拒絕域為 而抽樣所得之檢定值 不落在拒絕域，因此勉強接受此公司之宣稱。

38 10.5 單一母體變異數之假設檢定(1/2) 單一母體變異數假設檢定之決策法則 若 表一常態母體之隨機樣本， 為其樣本變
10.5　單一母體變異數之假設檢定(1/2) 單一母體變異數假設檢定之決策法則 若 表一常態母體之隨機樣本， 為其樣本變 異數，以 為檢定值，則其檢定決策法則如下： (1)左尾檢定：　　　　　　　　　 之拒絕域為　　　　　 (2)右尾檢定：　　　　　　　　　 之拒絕域為　　 　　　　 (3)雙尾檢定：　　　　　　　　　 之拒絕域為 參見例10.17

39 10.5 單一母體變異數之假設檢定(2/2) 例題 10.17 廠商宣稱其產品厚度之標準差為1公分，今隨機抽取該產品30件
10.5　單一母體變異數之假設檢定(2/2) 例題 10.17 廠商宣稱其產品厚度之標準差為1公分，今隨機抽取該產品30件 檢查，得其樣本標準差為1.5公分，請以顯著水準 來檢 定該廠商之宣稱是否為真(假設該產品厚度具常態分配)。 【解】 假設 拒絕域為 檢定值 拒絕　 ，即此廠商之宣稱非真

40 10.6 兩母體變異數之假設檢定(1/3) 若 、 分別取自於兩常態母體之 隨機樣本，且 、 為其樣本變異數在兩母體變異
10.6　兩母體變異數之假設檢定(1/3) 若 、　　　　　分別取自於兩常態母體之 隨機樣本，且　、　為其樣本變異數在兩母體變異 數之假設檢定中，以 為檢定值，則其檢 定之決策法則如下： (一)左尾檢定 　　　　　　　　 之拒絕域為　　　　　 或　　 　　　　　　　　

41 10.6　兩母體變異數之假設檢定(2/3) (二)右尾檢定 　　　　　　　　 之拒絕域為　　　　　 (三)雙尾檢定 　　　　　　　 之拒絕域為　　　　　　　 或　　　　　　　　　　　　　　　 參見例10.18

42 10.6 兩母體變異數之假設檢定(3/3) 例題 10.18 一公司由A、B兩條不同的生產線分別抽出16及10件產品作檢查，
10.6　兩母體變異數之假設檢定(3/3) 例題 10.18 一公司由A、B兩條不同的生產線分別抽出16及10件產品作檢查， 發現A、B兩條生產線之樣本變異數分別為16及50，請以顯著水 準　 檢定此兩條生產線所生產之產品變異數是否有顯著地 差異？(假設兩母體均具有常態分配) 【解】 假設 拒絕域為 檢定值 ，因此拒絕　，即兩條生產線之 產品變異數有顯著地差異

43 (1)左尾檢定： 決策法則之P 值 10.7 單一母體比例值之假設檢定(1/4) (一)單一母體比例值假設檢定之決策法則
10.7　單一母體比例值之假設檢定(1/4) (一)單一母體比例值假設檢定之決策法則 若隨機變數X 具有二項分配 ，令 表 次試驗中 事件成功之次數，則以 為檢定值，其母體比例值 p 值假設檢定之決策法則如下： (1)左尾檢定： 決策法則之P 值 (2)右尾檢定： 決策法則之P 值 (3)雙尾檢定： 決策法則之P 值 參見例10.19

44 10.7 單一母體比例值之假設檢定(2/4) 例題 10.19 某公司宣稱其產品不良率不高於10％，今隨機抽取該公司
10.7　單一母體比例值之假設檢定(2/4) 例題 10.19 某公司宣稱其產品不良率不高於10％，今隨機抽取該公司 產品20件，發現有 3 件不良品，請問在顯著水準0.05條件 下，此公司之宣稱是否為真？ 【解】 假設 無法拒絕　，即沒有充分的理由推翻此公司之宣稱。

45 10.7 單一母體比例值之假設檢定(3/4) (1)左尾檢定： 之拒絕域為 (2)右尾檢定： 之拒絕域為 (3)雙尾檢定： 之拒絕域為
10.7　單一母體比例值之假設檢定(3/4) (二)大樣本時之決策法則 若隨機變數 具有二項分配 ，令 表 次試 驗中事件成功之次數，則以 為檢定值 ，其母體比例值 p 值假設檢定之決策法則如下： (1)左尾檢定： 之拒絕域為 (2)右尾檢定： 之拒絕域為 (3)雙尾檢定： 之拒絕域為 參見例10.20

46 10.7 單一母體比例值之假設檢定(4/4) 例題 10.20 候選人宣稱其支持度至少為30%，今隨機抽取100位該選區
10.7　單一母體比例值之假設檢定(4/4) 例題 10.20 候選人宣稱其支持度至少為30%，今隨機抽取100位該選區 之選民作調查，發現支持此候選人者有25位，請以顯著水 準 來檢定此候選人之宣稱是否正確？ 【解】 假設 拒絕域為 檢定值 勉強接受此候選人之宣稱

47 10.8 兩母體比例值之假設檢定(1/3) 若兩獨立隨機變數 ， ，且 x、y 分別 表兩隨機變數在 及 次試驗中事件成功之次數，以
表兩隨機變數在 及 次試驗中事件成功之次數，以 為檢定值(視虛無假設 而定)，其中 、 且 ，則其決策法則如下：

48 10.8 兩母體比例值之假設檢定(2/3) (1)左尾檢定： 時， 當 時，拒絕域為 ，P值= 。 當 時，拒絕域為 ，P值= 。
(1)左尾檢定： 時， 當 時，拒絕域為 ，P值= 。 當 時，拒絕域為 ，P值= 。 (2)右尾檢定： 時， 當 時，拒絕域為 ，P值= 。 (2)雙尾檢定： 時， 當 時，拒絕域為 ，P值= 。 參見例10.22

49 10.8 兩母體比例值之假設檢定(3/3) 例題 10.22 估計行動電話在鄉村與都市的普及率是否有顯著的差異，某研究
單位於鄉村與都市中各抽樣1000位民眾進行調查，發現鄉村中有 800位，都市中有900位擁有行動電話，試問以此資料是否可判定 兩者之間有顯著差異( =0.05) 【解】假設 拒絕域為 而 檢定值 鄉村與都市民眾擁有行動電話之比例有顯著地差異

50 10.9 結論(1/2) 在假設檢定程序中，首先須建立假設，假設可分 為虛無假設與對立假設，虛無假設是研究者欲推
10.9　結論(1/2) 在假設檢定程序中，首先須建立假設，假設可分 為虛無假設與對立假設，虛無假設是研究者欲推 翻之假設，而對立假設是研究者想找到充分的證 據證明的假設。建立假設後，研究者可利用樣本 統計量之抽樣分配來作為決策法則之依據，可採 用臨界值法或P值法，最後若P值小於顯著水準， 則拒絕 ，否則便接受 。而在決策的結論中， 若結論為接受 ，則表示研究者並未找到充分之 證據證明 不成立；若結論為拒絕 ，則表示研 究者找到充分之證據證明 不成立。

51 10.9 結論(2/2) 在單一母體變異數的假設檢定中，由於樣本變異數 之抽樣分配為卡方分配，因此其檢定值為 值。
10.9　結論(2/2) 在單一母體變異數的假設檢定中，由於樣本變異數 之抽樣分配為卡方分配，因此其檢定值為 值。 在兩母體變異數比的假設檢定中，由於兩樣本變異 數比之抽樣分配為 分配，因此其檢定值為 。 在母體比例值的假設檢定中，由於母體比例值可視 為二項分配 之 值，因此可利用二項分配作 為其決策法則之依據，不過，當 使得 不近 似於 0 時，可利用中央極限定理，將二項分配轉換 成常態分配，如此便可利用 檢定之方式進行母體 比例值之假設檢定。