「拈」：歷史 據說，「拈」遊戲源自中國，經由被販賣到美洲的奴工外傳。所以這個小遊戲先在工人間流行，他們就地取材撿小石子來玩。後來流傳到上流人士，改以銅板在酒吧櫃檯上玩。最有名的玩法是將十二枚銅板分三列排成「三、四、五」的遊戲，如下圖：

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1 「拈」：歷史 據說，「拈」遊戲源自中國，經由被販賣到美洲的奴工外傳。所以這個小遊戲先在工人間流行，他們就地取材撿小石子來玩。後來流傳到上流人士，改以銅板在酒吧櫃檯上玩。最有名的玩法是將十二枚銅板分三列排成「三、四、五」的遊戲，如下圖：

2 「拈」：玩法 「拈」是二人對奕的遊戲。 對奕時，先擺出數行(橫行)任意數量的棋子。對奕者須交替地每次選取任意一行，並於該行中拈走(取走)最少一只棋子，但不能同時取兩行的棋子。能拈走最後的一只棋子者勝。 玩法： 拈走三行三子

3 「拈」：玩法 取勝： 對奕 拈走二行二子 犯規： 拈走一行二子及三行三子

4 「拈」：玩法 例子：

5 「拈」活動 時間：５分鐘

6 「拈」：相關理論 Theorem： In any finite two-person game of perfect information in which the players move alternately and in which chance does not affect the decisionmaking process, either （a）one of the two plays must have a winning strategy or （b）the game is a theoretical draw (both players must have drawing strategies).

7 「拈」：取勝策略（一） 甲若欲取勝，就得避免將某一列完全取光，否則對方可全取剩下的一列，而拿到最後一枚棋子。
若甲留下兩列枚數相同的棋子給對方，必可獲勝。如下圖： ．．． 甲取 甲勝 ．．． 甲取 甲勝

8 「拈」：取勝策略（一） 若甲欲贏得勝利，就必需避免在留下的三列棋子中，有兩列的棋子數相同。如下圖： ．．． 甲取 乙勝 乙取 ．．． 甲取

9 「拈」：取勝策略（一） 甲取完之後，若三列的棋子數分別剩下1, 2, 3，則甲勝。如下圖： ．．． 甲取 甲勝 乙取 ．．． 甲取 甲勝

10 「拈」：取勝策略（一） ．．． 甲取 甲勝 乙取 ．．． 甲取 甲勝 乙取

11 「拈」：取勝策略（一） 開始時，若甲在第一列取二枚，則一定可取得勝利。如下圖： 甲取 乙取 甲取 乙取

12 「拈」：取勝策略（一） 甲取 乙取 甲取 乙取

13 「拈」：取勝策略（一） 甲取 乙取

14 「拈」：取勝策略（一） 甲取 乙取

15 「拈」：取勝策略（二） 在上世紀初，哈佛大學數學系副教授查理士．理昂納德．包頓 (Chales Leonard Bouton) 提出一篇極詳盡的分析和證明，利用數的二進位表示法，解答了這個遊戲的一般法則。 將開局時的情況列表，以二進數來表示棋子數量，並計算各列（直行）的總和，但不進位，然後再看各個位數。 例子： 棋子數量 二進數 第一行 4 1 第二行 2 第三行 3 列的總和（不進位） 觀察各位值

16 「拈」：取勝策略（二） 用列的總和的奇偶性將棋局作分類，若所得各列的總和全是偶數，則稱為「好局」／「安全殘局」，否則稱為「壞局」 ／「不安全殘局」 。 「好局」： 棋子數量 二進數 第一行 5 1 第二行 第三行 4 列的總和（不進位） 2 棋子數量 二進數 第一行 6 1 第二行 5 第三行 3 列的總和（不進位） 2 全是偶數

17 「拈」：取勝策略（二） 「壞局」： 不全是偶數 棋子數量 二進數 第一行 5 1 第二行 2 第三行 4 列的總和（不進位） 棋子數量
第二行 2 第三行 4 列的總和（不進位） 棋子數量 二進數 第一行 3 1 第二行 第三行 5 列的總和（不進位） 2 不全是偶數

18 「拈」：取勝策略（二） 「壞局」 「好局」 「好局」 「壞局」 棋子數量 二進數 第一行 3 1 第二行 4 第三行 5 列的總和（不進位）
「壞局」　　「好局」 棋子數量 二進數 第一行 3 1 第二行 4 第三行 5 列的總和（不進位） 2 棋子數量 二進數 第一行 1 第二行 4 第三行 5 列的總和（不進位） 2 拈走一行二子 「好局」　　「壞局」 棋子數量 二進數 第一行 1 第二行 4 第三行 5 列的總和（不進位） 2 棋子數量 二進數 第一行 第二行 4 1 第三行 5 列的總和（不進位） 2 拈走一行一子

19  「拈」：取勝策略（二） 「壞局」 「壞局」 「好局」 「好局」 「好局」 棋子數量 二進數 第一行 3 1 第二行 4 第三行 5
「壞局」　　「壞局」 棋子數量 二進數 第一行 3 1 第二行 4 第三行 5 列的總和（不進位） 2 棋子數量 二進數 第一行 3 1 第二行 2 第三行 5 列的總和（不進位） 拈走二行二子 「好局」　　「好局」 棋子數量 二進數 第一行 1 第二行 4 第三行 5 列的總和（不進位） 2 「好局」　 

20 「拈」：取勝策略（二） 每次拈走棋子之後，剩下的棋局不是「好局」就是「壞局」。
在所有「好局」的情況下，不管對方如何拈走棋子，剩下的棋局總是「壞局」，你可以再拈走適當的棋子達到「好局」的情況，這樣一直到拿光棋子為止，也就是說你必勝了。 「好局」 「壞局」 反之，你如果留下「壞局」的情況，對方必有方法在適當的某一列，取走適當枚數的棋子，達到「好局」的情況，也就是說你輸定了。

21 「拈」：取勝策略（二） 乙取 甲取 ．．． 「好局」 「壞局」 1 2 1 棋子數量 二進數 列的總和 （不進位） 棋子數量 二進數
「好局」　 「壞局」 　 棋子數量 二進數 1 列的總和 （不進位） 2 棋子數量 二進數 1 列的總和 （不進位） 棋子數量 二進數 列的總和 （不進位）

22 「拈」：問題思考１ 小明和小英一起對奕，小明先取。棋子的擺放如下： 第一、二及三行分別有四只、五只及一只棋子，
問那位可勝？取勝者的第一步應該是怎樣？試解釋你的答案。 答：１，４，５形態是「好局」，先取者把形態轉為「壞局」，所以先取 　　者會敗。小英勝。 棋子數量 二進數 第一行 1 第二行 4 第三行 5 列的總和（不進位） 2

23 「拈」：問題思考２ 「取勝策略」是一定可行的嗎？在一個「好局」中拈走棋子後，仍可以是一個「好局」嗎？
答：不可以。若留下是「好局」，即總和的每一位數都是偶數，由於不論 　　對方取那一列的多少枚棋子，該列棋子數所對應的二進位數中，必定 　　至少有一位數會由０變成１或者由１變成０，於是其總和的相對位數 　　也會由偶數變成奇數，即「壞局」。 棋子數量 二進數 第一行 3 1 第二行 4 第三行 7 列的總和（不進位） 2 棋子數量 二進數 第一行 2 1 第二行 4 第三行 7 列的總和（不進位） 拈走一行一子 「好局」 「壞局」

24 「拈」：問題思考３ 有其他「取勝策略」嗎？ 答：沒有其他「取勝策略」。 但拈走那一行的多少枚棋子可以多於一種方式。 拈走一行三子
　　但拈走那一行的多少枚棋子可以多於一種方式。 １４　 　０　 １ ０ １５ 　０ １８ 　１ ２２　 　２ ２ ３ ４ １１ 　０ １　 ０ １ １５ １８ 　１ ２２ 　２　 ２ ４ 拈走一行三子 １４ 　０ １　 １ ０ １５ １８ 　１ ０　 ２２ 　２ ２ ３ ４ 拈走二行五子 １４ 　０　 １ ０ １０ 　０ １８ 　１ ２２ 　２ ２ ４

25 「拈」：教學建議 相關數學課程： （1）二進數 （2）數學歷史

26 「拈」的變形遊戲 （1）擦線遊戲 ： 在一張紙上用筆做出任意線段數條，兩人輪流用橡皮擦擦去若干相連的小段，如此輪流擦線，最後一個擦線而再無線段留下的人勝（或敗）。 （2）單堆遊戲： 置若干火柴（或小石子）於桌上，兩人輪流取，每人每次最少取一根，最多取ｋ根，取得最後一根火柴者獲勝。

27 「拈」的變形遊戲 （3）方形棋 ： 將１６個棋子排列成方形，兩人輪流從中拿取棋子，取子的時候，可以在任一行或列中取一枚或多枚棋子，但所取的子必須為同一直線上相連的棋子，直到最後將棋子取光的人勝（或敗）。

28 「拈」的變形遊戲 （4）三角棋 ： 將１５個棋子排列成三角形，兩人輪流從中拿取棋子，取子的時候，可以是一枚或多枚棋子，但所取的子必須為同一直線上相連的棋子，最後將棋子取光的人勝（或敗） 。

29 參考網址／資料 http://www.edp.ust.hk/previous/math/

30 多謝！