自我評量.

Presentation on theme: "自我評量."— Presentation transcript:

1 自我評量

2 小雯與家人到農場踏青，已知全票每張 x 元，且一張全票比優待票貴 15元。他們買了 2 張全票及 4 張優待票共需 210 元，求全票、優待票每張各為多少元？

3 如何解決上面的問題呢？可依下列步驟： 步驟 1：以文字符號表示問題中不同的數量。 步驟 2：將各數量的關係列成一元一次方程式。 步驟 3：解一元一次方程式。 步驟 4：將方程式的解代回原問題中，檢驗後依題意寫答。

4 以下將逐步分析此問題中的各個段落，分別找出它們蘊涵的意義。
留意標示粗體字的部分，其目的是學習如何將已知條件轉譯為數學式子或方程式，再進行適當的解題步驟。

5 小雯與家人到農場踏青，已知全票每張 x 元，且一張全票比優待票貴 15 元。他們買了 2 張全票及 4 張優待票共需 210 元，求全票、優待票每張各為多少元？
步驟 1：以文字符號來表示問題中不同的數量。 已知全票每張 x 元，則優待票每張（ x－15） 元。

6 小雯與家人到農場踏青，已知全票每張 x 元，且一張全票比優待票貴 15 元。他們買了2 張全票及 4 張優待票共需 210 元，求全票、優待票每張各為多少元？
步驟 2：將各數量的關係列成一元一次方程式。 2張全票需2x元，4張優待票需 4(x－15)元，因為共需 210元， 因此可列出2x＋4 ( x－15 )＝210。

7 小雯與家人到農場踏青，已知全票每張 x 元，且一張全票比優待票貴15 元。他們買了 2 張全票及 4 張優待票共需 210 元，求全票、優待票每張各為多少元？
步驟 3：解一元一次方程式。 解 2x＋4 ( x－15 )＝210 2x＋4x－60＝ x＋4x＝210＋60 6x＝270 x＝45

8 步驟 4：將方程式的解代回原問題中，檢驗後依題意寫答。
全票每張 45 元， 優待票每張為 x－15＝45－15 ＝30（元）， 2×45＋4×30＝90＋120＝210 (元) 滿足方程式， 所以全票每張 45 元，優待票每張 30 元。

9 倍數問題 這次段考，光耀的國文成績為 x 分，如果光耀的數學成績是國文成績的2 倍少 40 分，且這兩科的成績合計為 170 分。則光耀的國文成績、數學成績各為多少分？ 因為國文成績為 x 分， 所以數學成績為 ( 2x－40 )分， 由於兩科的成績合計為 170 分， 因此可列出 x＋( 2x－40 )＝170。

10 解　x＋( 2x－40 )＝170 3x－40＝170 3x＝210 x＝70 所以國文成績為 70 分， 數學成績為2x－40＝2 × 70－40 ＝100(分)。

11 在例題 1 中，如果光耀的國文成績為 x 分，依題意「兩科的成績合計為 170分」，可得數學成績為（170－x）分。則：
(1)依據「數學成績是國文成績的 2 倍少 40 分」列出一元一次方程式。 (2)分別求出國文成績與數學成績。 170－x＝2x－40 國文成績 70 分，數學成績 100 分

12 日常生活中所遇到的問題並不會設定好未知數，通常會依據題目的敘述，將希望求得的答案直接假設為未知數，並根據相關數量關係列成一元一次方程式，以解決應用問題。

13 年齡問題 已知父親的年齡比維德年齡多 30 歲，且 6 年後父親的年齡剛好是維德的3 倍，則維德今年的年齡是多少歲？ 設維德今年x歲， 今年(歲) 6年後 (歲) 維德 x x＋6 父親 x＋30 (x ＋30)＋6 則父親今年 (x＋30)歲； 6年後，維德為(x＋6)歲， 父親為〔(x＋30)＋6〕歲，

14 由於6年後父親的年齡是維德的3倍， 因此可列出(x＋30)＋6＝3(x＋6)。 解 (x＋30)＋6＝3(x＋6) x＋30＋6＝3x＋18 18＝2x x＝9 所以維德今年 9 歲。 維德9歲，父親9＋30＝39歲， 6年後，維德15歲，父親45歲， 45÷15＝3，父親年齡是維德的3倍。

15 3 年前，媽媽的年齡是玉婷年齡的 4 倍；3 年後，媽媽的年齡是玉婷年齡的3 倍，則玉婷今年的年齡是多少歲？
設玉婷今年 x 歲， 3 年前，玉婷(x－3)歲，媽媽 4(x－3)歲； 3 年後，玉婷(x＋3)歲，媽媽 3(x＋3)歲。 從 3 年前到 3 年後一共過了 6 年， 4(x－3)＋6＝3(x＋3) 4x－12＋6＝3x＋9，x＝15 所以玉婷今年 15 歲。

16 相反數問題 怡嘉設計一個電腦小程式，每按一次按鈕，螢幕左邊的數字會自動加 1，同時間螢幕右邊的數字則會自動減 2，如果一開始螢幕左邊的數字為－15，螢幕右邊的數字為 128，則要按幾次按鈕，螢幕兩邊的數字會互為相反數？

17 設須按 x 次按鈕， 則螢幕左邊的數字等於(－15＋x)，螢幕右邊的數字等於(128－2x)。 由於(－15＋x)和(128－2x)互為相反數， 因此可列出(－15＋x)＋(128－2x)＝0。 如果 A、B 兩數互為相反數， 則 A＋B＝0。

18 解 (－15＋x)＋(128－2x)＝0 －15＋x＋128－2x＝0 113－x＝0 x＝113 所以要按 113 次按鈕。 －15＋113＝98， 128－2×113＝－98， 兩數互為相反數。

19 在例題 3 中，如果怡嘉修改此電腦程式，使得每按一次按鈕，螢幕左邊的數字會自動加
2，同時間螢幕右邊的數字則會自動減 3，而且一開始螢幕左邊的數字為 50，螢幕右邊的數字為－16，則要按幾次按鈕，螢幕兩邊的數字會互為相反數？

20 設須按 x 次按鈕， 則螢幕左邊的數字為（50＋2x），螢幕右邊的數字為（－16－3x）。 （50＋2x）＋（－16－3x）＝0，x＝34 所以要按 34 次按鈕。

21 點餐問題 某速食店一份套餐和一份兒童餐共需 180 元，小萱和家人共點了 2 份套餐和 3 份兒童餐，合計為 430 元。則一份套餐多少元？ 設一份套餐 x 元， 則兒童餐一份為（180－x）元， 由於2份套餐和3份兒童餐合計430元， 因為想求出一份套餐多少元，所以直接假設套餐一份 x 元。 因此可列出 2x＋3(180－x)＝430。

22 解 2x＋3(180－x)＝430 2x＋540－3x＝430 －x＝－110 x＝110 所以一份套餐是 110 元。 一份套餐 110 元， 一份兒童餐 180－110＝70 元， 110 × 2＋70 × 3＝430 (元)。

23 在例題 4 中，如果設兒童餐一份 y 元，試以此未知數 y 列出一元一次方程式，並求出兒童餐一份的售價，再算出套餐一份的售價。
兒童餐一份 70 元，套餐一份 110 元

24 由例題 4 及隨堂練習可以發現，隨著假設對象的不同，列出來的方程式會不一樣，但是將方程式所求得的解代回原題目時，並不會影響最後的答案。

25 三數和差問題 甲、乙、丙三人共同儲蓄，已知甲比乙少存 270 元，乙比丙多存 100 元，且三人共存 1520 元。則甲、乙、丙三人各存多少元？ 設甲存 x 元， 則乙存的錢為 (x＋270)元， 丙存的錢為 求甲、乙、丙三人各存多少元，可以先假設甲存了 x 元。 (x＋270)－100 ＝x＋170 (元)，

26 因此可列出 x＋(x＋270)＋(x＋170)＝1520。 解　 x＋(x＋270)＋(x＋170)＝1520 3x＋440＝1520 3x＝1080 x＝360 所以甲存的錢為 360 元， 乙存的錢為 x＋270＝360＋270＝630(元)， 丙存的錢為 x＋170＝360＋170＝530(元)。

27 在例題 5 中，如果設乙存 y 元，試以此未知數 y 列出一元一次方程式，並求出甲、乙、丙三人各存多少元？ 甲、乙、丙三人中，乙和甲、丙都有直接的數量關係，所以選擇乙當未知數較為方便。 (y－270)＋y＋(y－100)＝1520 甲存360元，乙存630元，丙存530元

28 有餘不足問題 將一袋桃子平均分給一群學生，如果每人分 10 個，則剩 8 個；如果每人分 12 個，則不足 6 個。求學生有多少人？桃子總共有多少個？

29 設學生有x人， 每人分10個 剩8個 每人分12個 不足6個 則10x＋8＝12x－6 8＋6 ＝12x－10x 10x＋8 12x－6 14 ＝2x 2x ＝14 兩者都表示桃子的總數 x ＝7 桃子的總數也可以這樣算： 所以學生有7人， 桃子總數為10x＋8＝10×7＋8 12x－6 ＝12×7－6＝78(個) ＝78 (個)。

30 設桃子有x個， 兩者都表示學生的總數 每人分10個 剩8個 每人分12個 不足6個 則 ＝ 兩邊同乘以60 得 6(x－8)＝5(x＋6) 6x－48＝5x＋30 6x－5x＝30＋48 x＝78 學生的人數也可以這樣算： 所以桃子有78個， 學生有 ＝7(人)。

31 由例題 6 可以發現，選擇不合適的未知數，可能會列出較複雜的方程式，而增加解題的難度。

32 老師買了一桶棒棒糖，發給數學成績優良的學生作為獎勵，如果每人分 8根棒棒糖，則剩下 3 根；如果每人分 10 根棒棒糖，則不夠 5 根。
(1)此次數學成績優良的學生有多少人？ (1)設學生有 x 人， 則8x＋3＝10x－5 x＝4 所以學生有 4 人。

33 老師買了一桶棒棒糖，發給數學成績優良的學生作為獎勵，如果每人分 8根棒棒糖，則剩下 3 根；如果每人分 10 根棒棒糖，則不夠 5 根。
(2)此桶棒棒糖有多少根？ (2) 8x＋3 ＝8 × 4＋3 ＝35， 所以棒棒糖有 35 根。

34 折扣問題 已知某臺電腦以定價的七五折賣出，則賠本2000元；如果改以定價的九折賣出，可賺4000元。這臺電腦的定價是多少元？ 設這臺電腦的定價x元， 則 x＋2000＝ x－4000 75x＋ ＝ 90x－400000 ＝ 15x x＝ 40000 所以這臺電腦的定價是40000元。

35 定價的七五折賣出賠2000元 定價的九折 賣出賺4000元 兩者都表示電腦的成本

36 已知某商品以定價的七五折賣出，則賠本 40 元；如果改以定價的九折賣出，可賺 110 元。求此商品的成本是多少元？
設此商品的定價為 x 元， 則 x＋40＝ x－110 75x＋4000＝90x－11000，x＝1000 所以此商品的成本為 ×1000＋40 ＝790(元)。

37 買賣小常識 大賣場內商品的價格是如何被標訂出來的？ 當賣場從工廠買進一批商品時，所付出的價錢稱為「成本」。 販售商品時，為了賺取利潤，因此將商品按照進貨時的成本，加上一定的百分比，訂為「定價」，這個過程稱為「加成」。(「一成」＝10％ )

38 賣場舉辦促銷活動時，為了吸引消費者的購買，會將商品的定價減少一定的百分比，這個過程稱為「打折」。（「 一 折」＝10％）
例如：以定價的 70％ 售出商品，稱為「打七折」或「30％ off」。

39 解的合理性 杰倫問老師今年幾歲，老師說：「我的年齡與我兒子的年齡相差 28 歲；且 8 年後，我的年齡是兒子的 5 倍多 4 歲。」則老師今年幾歲？ 老師的兒子今年幾歲？ 設老師今年x歲， 今年(歲) 8年後 (歲) 老師 x x＋8 兒子 x－28 (x－28)＋8 則兒子今年為( x－28 )歲； 8年後，老師為 ( x＋8 ) 歲，

40 兒子為(x－28)＋8＝x－20(歲)， 由於老師的年齡是兒子的5倍多4歲， 因此可列出 x＋8＝5(x－20)＋4。 解 x＋8＝5(x－20)＋4 x＋8＝5x－100＋4 104＝4x x＝26 所以老師今年為 26 歲， 兒子今年為x－28＝26－28＝－2(歲)， 但年齡為負數不合常理，因此這個問題沒有解。

41 小夢說自己的生日日期為月分的 15 倍，且其月分和日期的和為 32。則小夢的說法正確嗎？為什麼？
設小夢生日月分為 x，則日期為 15x。 x＋15x＝32，x＝2 所以小夢生日為 2 月 30 日，但 2 月不會有 30 日， 故小夢的說法不正確。

42 一元一次方程式應用問題之解題步驟： 以文字符號表示問題中不同的未知數量 依各數量的關係列出一元一次方程式 解一元一次方程式 檢驗答案，並依題意寫答案

43 數學小語錄 只要給我一個立足點和支點，還有一根夠長的木棒，我就能移動地球。 — 阿基米德(Archimedes，287B.C.-212B.C.)

44 1.惠霖到文具店影印，每張紙的影印費是 2 元，封面裝訂費用是 50 元。如果惠霖影印了 x 張紙，並裝訂封面，一共付了 290 元，則惠霖影印了多少張紙？
答 ：120 張。

45 2.奶茶每杯 x 元，如果加珍珠粉圓，每杯要多加 5 元。已知銘雄買了 5 杯奶茶，其中
2 杯有加珍珠粉圓，一共要付 110 元，則奶茶每杯多少元？ 5 x＋5 × 2＝110 5x＝100 x＝20 答 ：20 元。

46 3.小茵的年齡比老師小 20 歲，6 年後，老師的年齡是小茵年齡的 2 倍。求小茵今年多少歲？
設小茵今年 x 歲，則老師今年(x＋20)歲， 6 年後，小茵(x＋6)歲， 老師(x＋20＋6)歲。 x＋20＋6＝2（x＋6） x＋26＝2 x＋12 x＝14 答 ：14 歲。

47 4.一群學生分配宿舍，如果 8 人住一間，則有 3 人無宿舍可住；如果 9 人住一間，則有一間只住 3 人。求宿舍有多少間？學生有多少人？
設宿舍有 x 間， 8 x＋3＝9 x－6 x＝9 8 x＋3＝8 × 9＋3＝75 答 ：宿舍有9間，學生有75人。

48 5.右表為某照相館的價目表，今逢周年慶，底片沖洗與照片沖洗的費用皆打九折。如果瑞皇帶了一卷底片去沖洗規格
( 3 × 5 ) 的照片，打折後共付了 189 元。則瑞皇洗了多少張照片？

49 設瑞皇洗了 x 張照片， （4 x＋70）× ＝189 4x＋70＝210 x＝35 答 ：35 張。

50 6.壁虎有斷尾求生的本能，某日壁虎小白遇到 了調皮的人類小新，嚇得斷掉尾巴趕緊逃 走，小白回家後，發現牠斷掉的尾巴長為 2 公分，且此時的身長（尚未長出尾巴） 為原 來身長的 多 2 公分。小白原身長為多少 公分？ 設小白原身長為 x 公分， x－2＝ x＋2 3x－6＝2x＋6 x＝12 答 ：12 公分。

51 代數之父－丟番圖 丟番圖（Diophantus of Alexandria，希臘人， ）被譽為代數學（algebra）的鼻祖。丟番圖引入未知數，創造未知數的符號，並架構方程式的思想體系。

52 左圖內的文字，是引用自丟番圖的墓誌銘，內容是用數學來介紹丟番圖的一生：
設丟番圖活了 x 年 （用 x 表示各 時期的年數）

53 設丟番圖活了 x 年 （用 x 表示各 時期的年數） 5 4

54 算算看： (1)丟番圖幾歲結婚？ (2)丟番圖幾歲當爸爸？ (3)丟番圖的兒子幾歲就去世了？ (4)丟番圖在幾歲時失去兒子？ 列式與求解 x＝84（歲）