代数模型：Dürer魔方（或幻方）问题 

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1 代数模型：Dürer魔方（或幻方）问题 
德国著名的艺术家Albrecht Dürer( )于1514年曾铸造了一枚名为“Melencotia I”的铜币。令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了数学符号、数字及几何图形。这里，我们仅研究铜币右上角的数字问题

2 什么是Dürer魔方 所谓的魔方是指由1~n2这n2个正整数按一定规则排列成的一个n行n列的正方形 。n称为此魔方的阶 。 多么奇妙的魔方！
铜币铸造时间：1514年

3 构造魔方是一个古老的数学游戏，起初它还和神灵联系在一起，带有深厚的迷信色彩。传说三千二百多年前（公元前2200年），因治水出名皇帝大禹就构造了三阶魔方（被人们称“洛书”），至今还有人把它当作符咒用于某些迷信活动，大约在十五世纪时，魔方传到了西方，著名的科尼利厄斯·阿格里帕（ ）先后构造出了3~9阶的魔方 。

4 如何构造魔方 奇数（不妨n=5）阶的情况 Step1: 在第一行中间写1
Step2: 每次向右上方移一格依次填按由小到大排列的下一个数，向上移出界时填下一列最后一行的小方格；向右移出界时填第一列上一行的小方格。若下面想填的格已填过数或已达到魔方的右上角时，改填刚才填的格子正下方的小方格，继续Step2直到填完 偶数阶的情况 偶数阶的魔方可以利用奇数阶魔方拼接而成，拉尔夫·斯特雷奇给出了一种拼接的方法 ，这里不作详细介绍 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9

5 魔方数量随阶数n增长的速度实在是太惊人了！
同阶魔方的个数 五阶 没人知道有多少个！！！ 三阶 个 反射和中心旋转生成8个 四阶 个 反射和中心旋转生成7040个 魔方数量随阶数n增长的速度实在是太惊人了！

6 松驰问题的讨论 允许构成魔方的数取任意实数 问题已发生了实质性变化 n阶魔方A、B，任意实数α、β αA+βB是n阶魔方 允许取实数
具有指定性质的魔方全体构成一个线性空间 注：刻画一个线性空间只需指出它的维数并求出此线性空间的一组基底

7 仍以4阶方阵为例。 令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和 定义0-方：R=C=D=S=0 定义1-方：R=C=D=S=1 R=C=D=S=1的方阵构成的线性空间具有什么样的性质？ 类似于构造n维欧氏空间的标准基，利用0和1我们来构造一些R=C=D=S=1的最简单的方阵。 1在第一行中共有4种取法，为保持上述性质的成立，第二行中的1还有两种取法。当第二行的1也取定后，第三行与第四行的1就完全定位了，故一共可作出8个不同的最简方阵，称之为基本魔方并记之为Q1，… ，Q8

8 显然， Dürer空间（简称D空间）中任何一个元素都可以用Q1，Q2，…，Q8来线性表示，但它们能否构成D空间的一组基呢？
显然， Dürer空间（简称D空间）中任何一个元素都可以用Q1，Q2，…，Q8来线性表示，但它们能否构成D空间的一组基呢？

9 容易看出： Q1，…，Q8这8个基本方是线性相关的，即至少存在一个Qj，可以通过其它7个基本方的线性组合得到。这8个基本方的地位是等同的，故可不妨设j=8。下面验证Q1，Q2，…，Q7是否线性相关。 令： ，即 =

10 = 等号两边对应元素相比较，得r1=r2=…=r7=0， 所以 是线性无关 是D空间的最小生成集。
所以 是线性无关 是D空间的最小生成集。 研究Albrecht Dürer铸造的铜币 令D 即解方程组： = 解得 D=

11 The End